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2.1函数的概念与图象(1)


2.1 函数的概念 与图象 (1)
制作:江苏省清江中学 制作: 尚月如

? 在初中我们是如何认识函 数这个概念的? 数这个概念的

设在一个变化过程中有两个变量 x与y, 如果对于 的每一个值 y都有 与 如果对于x的每一个值, 都有 唯一的值与它对应 唯一的值与它对应, 那么就说 y是 x 与它对应 是 叫做自变量 的函数. x叫做自变量 函数 叫做自变量.

思考与交流教材中的实例
? P27 1. 2. 3

思考交流 在上述例子中,是否确定了函 在上述例子中 是否确定了函 数关系? 数关系

注 意
并非有依赖关系的两个变量 都有函数关系 都有函数关系. 关系

思考交流 如何用集合的观点来理解函 数的概念? 数的概念? 如何用集合的语言来阐述这 三个实例的共同特点? 三个实例的共同特点? 如何用集合的观点来表述函 数的概念? 数的概念?

?
设在一个变化过程中有两个变量 x与y, 如果对于 的每一个值 y都有 的每一个值, 与 如果对于x的每一个值 都有 唯一的值与它对应, 唯一的值与它对应 那么就说 y是 x 是 函数. 叫做自变量. 叫做自变量 的函数 x叫做自变量 思考: 是函数吗? 思考 (1) y=1(x∈R)是函数吗? ∈ 是函数吗
x 是同一函数吗? (2) y=x与y= 是同一函数吗? 与 x
2

? 如何利用集合的观点来 描述函数呢? 描述函数呢? ? 下列各组变量之间的关 系是函数吗? 系是函数吗?

乘2 1 A 2 3 1 2 3 B 4 5 6 1 -1 A2 -2 3 -3

平方 1 4 B 9

求倒数 1 2 A 3 4 1 1 2 B 1

3 1 4

(1)

(2)

(3)

定 义
给定两个非空数集A和 如果按 给定两个非空数集 和B,如果按 照某个对应关系f 对于 对于A中的任何一 照某个对应关系 ,对于 中的任何一 个数x, 在集合B中都存在唯一确定的 个数 在集合 中都存在唯一确定的 与之对应, 数 f (x) 与之对应 那么就把这个对应 f 叫做从 到B的一个函数 叫做从A到 的一个函数. 的一个函数 y= f (x) x∈A. ∈ 通常记作: 通常记作 其中,x叫做自变量, 叫做函数值 函数值. 其中 叫做自变量 y 叫做函数值 叫做自变量

习惯上我们仍称y 习惯上我们仍称y是x的函数 集合A叫做函数的定义域 集合A叫做函数的定义域 全体 y值的集合 值的集合 {f(x)|x∈A}叫函数的值域 叫函数的值域 ∈ 叫函数的值域. B与函数的值域{f(x)|x∈A}之间 与函数的值域 与函数的值域 ∈ 之间 的关系是 {f(x)|x∈A } ? B. ∈

你认为对一个函数来说最 重要的是什么?

定义域,值域 对应关系f 值域,对应关系 ⑴ 定义域 值域 对应关系 称为函 数的三要素 不一定是函数的值域 数的三要素.B不一定是函数的值域 三要素 不一定是函数的值域, 值域由定义域和对应关系 确定. 值域由定义域和对应关系f 确定 定义域 ⑵ 两个函数相同必须是它们的定 义域和对应关系分别完全相同. 义域和对应关系分别完全相同

⑶ 有时给出的函数没有明确说 明定义域,这时它的定义域就是使 明定义域 这时它的定义域就是使 函数有意义的自变量的取值范围 变量的取值范围. 常用f(a)表示函数 表示函数y=f(x)当x=a ⑷ 常用 表示函数 当 时的函数值.

数学应用: 数学应用 (1) y=1(x∈R)是函数吗? ∈ 是函数吗 是函数吗?

x 是同一个函数吗? 是同一个函数吗? (2) y=x与y= 与 x

2

1.初中学过的那些函数?定义域,值域怎样? 初中学过的那些函数?定义域,值域怎样? 初中学过的那些函数 (1)正比例函数:y=kx (k≠0) 正比例函数: 正比例函数 定义域为 R, 值域为 R. ,
k (2)反比例函数:y= ( k ≠ 0 ) 反比例函数: 反比例函数 x

定义域为 {x|x≠0,且x∈R} 且 ∈ 值域为 {y|y≠0} (3)一次函数 =kx+b )一次函数y= 定义域为 R, , 值域为 R.

k y= x (k ≠0)

(4) 二次函数 ) 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的 定义域是 R. 值域是 .

当a>0时,值域为: > 时

{y y ≥

4ac?b2 4a

} }

当a<0时,值域为: < 时

{y y ≤

4ac?b2 4a

2. 某山海拔 某山海拔7500m, 海平面温 0 度为25 气温是高度的函数 气温是高度的函数, 度为 C,气温是高度的函数 而 且高度每升高100m, 气温下降 且高度每升高 0 0.6 C.请你用解析表达式表示出 请你用解析表达式表示出 气温T随高度 变化的函数,并指 随高度x变化的函数 气温 随高度 变化的函数 并指 出其定义域和值域. 出其定义域和值域

例2

气温T(x),高度为 高度为x 气温 高度为
25 ? T 0 .6 = 100 x

函数的定义域:[0,7500] 7500m 值域为:[-20,25] 值域为: ,

与函数y=x有相同图象的函数是(3) 有相同图象的函数是( 例3 与函数 有相同图象的函数是

x 3 2 3 (1) y = ( x ) ; (2) y = ; (3) y = x ; (4) y = x x 结论: 结论:当两函数的定义域和对应法则分别
2

2

相同时, 相同时,这两函数才是同一函数。 换言之:定义域不同,两函数也不同; 换言之:定义域不同,两函数也不同; 值域不同,两函数也不同; 值域不同,两函数也不同; 不同 对应法则不同,两函数也不同。 对应法则不同,两函数也不同。

例4:已知函数 f (x) =3x ?5x+2 , 求f(3),f(a),f(a-1) 解:f (3) = 3 × 32 ? 5 × 3 + 2 = 14
2

f (a ) = 3a ? 5a + 2
2

f (a ? 1) = 3(a ? 1) ? 5(a ? 1) + 2 = 3a + a
2 2

例5 求下列函数的定义域
1 (1) f ( x) = , (2) f ( x) = 3x ? 2 x?2
(1)f(x)是整式时,则函数的定义域为R (2)f(x)是分式时,则函数定义域为使分 母不等于0的实数的集合 (3)二次根式时,则函数定义域是使根 号内的式子大于0的实数的集合

例6 求下列函数的值域

(1)y = 2x +1, x∈{ ,2,3,4,5} 1 (2)y = x +1 (3)y = x ?4x +6, x∈R
2

(4)y = x ?4x +6, x∈[1,5)
2

课堂练习
∈ 1. 已知 f (x)=3x-2, x∈{0,1,2,3} - 求 f (0), f (3)和函数的值域 和函数的值域. 和函数的值域 2. 教材 24 T1、2、3、4、 5、6、7. 教材P 、 、 、 、 、 、

1.用集合的观点描述函数的定义 用集合的观点描述函数的定义 2.函数定义域、值域的概念 函数定义域、 函数定义域

作业

P28 习题 (1) 习题2.1( )
2 、5 、10(选做 选做). 选做


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