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集合知识总结


第二讲:集合
●知识点归纳 一、集合的相关概念 1.集合的概念 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合. 说明:常用大写的字母 A, B, C...表示集合,小写的字母 a, b, c... 表示元素. 2. 集合的三要素:元素的确定性;元素的互异性;元素的无序性. 说明:要构成一个集合,那么必须满足以上 3 个性质,缺一不可. 3.元素与集合的关系----属于( ? )或不属于( ? ) 说明: (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A ,记作 a ? A ; (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A ,记作 a ? A ; 4.数学中常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集) ,记作 N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作 N *或N ? ; 全体整数组成的集合称为整数集,记作 Z ; 全体有理数组成的集合称为有理数集,记作 Q ; 全体实数组成的集合称为实数集,记作 R ; 二、集合的表示方法 1.列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的 方法叫做列举法. 如: A ? {1,2,3,4,5,6} , A ? {(1,2), (2,1)} 等. 2 . 描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫描述法 . 如 :

A ? {x ? R | x 2 ? 1 ? 0} 等.
3.图示法( Venn 图) :用平面上封闭的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. 如: A 三、集合间的基本关系 (一)集合与集合之间的 “包含”关系; 1.子集:一般地,对于两个集合 A, B ,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合
不飞则已,一飞冲天;不鸣则已,一鸣惊人! 第 1 页 共 1 页

B 中的元素,那这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作

A ? B(或B ? A) ,读作“ B包含A(或A包含于B) ”.

B

A

2.真子集:如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,称集合 A 为集合 B 的 真子集,记作 A B(或 B A). 3.空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? . 说明: (1)规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. (2)任何一个集合是它本身的子集. (二)集合与集合之间的 “相等”关系;
A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样的,因此 A ? B

?A ? B 即 A? B?? ?B ? A
四、集合间的基本运算 1.并集 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集(Union) 记作:A∪B 即: 读作: “A 并 B”

A∪B={x|x∈A,或 x∈B}

Venn 图表示:
A B

A∪B

说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组 成的集合(重复元素只看成一个元素). 2.交集 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B
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的交集(intersection). 记作:A∩B 即: 读作: “A 交 B”

A∩B={x∈A,且 x∈B}

交集的 Venn 图表示

说明: (1)两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元 素组成的集合. (2)当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能 说两个集合没有交集
B A A(B) A B A B A B

3.全集: 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称 这个集合为全集(Universe) ,通常记作 U. 4.补集 对于全集 U 的一个子集 A, 由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集 合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set),简称为集合 A 的补 集,记作:CUA 即:CUA={x|x∈U 且 x ? A} 补集的 Venn 图表示

U A CUA
说明:补集的概念必须要有全集的限制.
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