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第22届“希望杯”全国数学邀请赛高二第一试试题和答案(word版)


第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二第一试试题
2011 年 3 月 13 日 上午 8:00————10:00

一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)以下每题的四个选项中,有且仅有一个是正确的,请将
正确答案前的英文字母写在下面的表格中。
题号 答案

1

2

/>3

4

5

6

7

8

9

10

共得分

1.已知 a, b ? R ? ,集合 A ? {x || x ? 1|? a, x ? R} , B ? {x || x ? 2 |? b, x ? R} ,且 A ? B , 则 a ? b 的最大值为( ) (A) 3 . (B)2. (C)3. (D)4. 2.已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的函数,且 y ? f ( x ? 2) 是偶函数,则 y ? f (2 x) 图象的一 条对称轴是直线( )

(A) x ? 1 . (B) x ? 4 . (C) x ? ?1 . (D) x ? ?4 . 3.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y ? f ( x) ,一种是平均价 格曲线 y ? g ( x) (如 f (2) ? 3 表示开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元; g (2) ? 4 表示 开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为 1 元) .下面给出的四个图象中,实线表 示 y ? f ( x) 的图象,虚线表示 y ? g ( x) 的图象,其中可能正确的是( )

4.设 Sn 是等比数列{ an }的前 n 项的和,若 a3 ? 2a6 ? 0 ,则 (A) ?

S6 的值是( S3



1 1 . (B) . 2 2


(C) -2. (D) 2.

5.一个几何体的三视图如图 1 所示,则此几何体 的全面积是(

(A) 102 ? 6 59 .

(B) 84 ? 14 2 .

(C) 84 ? 120 17 . (D) 150.

? x ? y ? ?1, ?2 x ? y ? 3, ? 6.已知 x, y 满足条件 ? 则 x ? y 的最小值是( ) ? x ? 2, ? y ? 1, ?
(A)3. (B)

7 . (C)2. 2

(D)

7 . 3

7. If a ? (0, ? ) , lg(1 ? cos ? ) ? m, lg( (A) m ? n . (B) m ?

1 ) ? n , then lgsin ? =( 1 ? cos ?

)

1 1 1 1 (m ? n) .(D) (m ? ) . . (C) n 2 2 n

8.已知椭圆 值范围是(

x2 y 2 ? ? 1 上的任意一点 P( x, y) 可使 x ? 2 y ? m ? 0 恒成立,则实数 m 的取 4 3
)

(A) (??, ?4] . (B) [?4, ??) . (C) (??, 4] .(D) [4, ??) . 9.如图 2,已知三点 A、B、E 在平面 ? 内,点 C、D 在 ? 外,并且 AC、 DE 都 ?

? , BD ? AB.若 AB=3, AC=BD=4, CD=5,则 BD 与
)
? ? ?

平面 ? 所成的角等于(
?

(A) 15 . (B)30 . (C)45 . (D)60 .

x2 y 2 3? 3 ? ? 1 上到直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离等于 10.椭圆 的 9 4 2
点的个数是( ) (D)4. (A)1. (B)2. (C)3.

图 2

二、A 组填空题(每小题 4 分,共 40 分)
11.当 x 在区间[0,1]上时,函数 f ( x) ? e x ? 2e? x 的值域是__________. 12.不等式 | x ? 1|?

1 的解集是__________. | x|

13.某商场在中秋节前 30 天内月饼的销售总量 f (t ) (单位:盒)与时间 t (0 ? t ? 30) (单 位:天)的关系大致满足 f (t ) ? t ? 10t ? 16 ,则该商场前 t 天平均售出(如前 10 天的平均
2

售出为

f (10) 盒)的盒数最少为__________. 10
2 2

14. 已知△ABC 的三条边的长分别是 a ? x ? x ? 1, b ? x ? 2x, c ? 2x ? 1 , 则△ABC 的内 角的最大值是__________. 15 . 已 知 数 列 { an } 对 任 意 正 整 数 n 都 有 an?1 ? an ? an?2 , 若 a2 ? ?1, a3 ? 1 , 则

a2011 =_________.
16. 如图 3, 直线 MN 过△ABC 的重心 G, A mBA nC 且 M ? N ,A A (其中 m ? 0, n ? 0 ),则 mn 的最小值是 __________.

???? ?

??? ???? ?

?

??? ?

17.若 tan? , tan? 是方程 x2 ? 2(log 21 log 21)? log 21 log ? 的两个根,则 ? 7 x ? 21 0 3 3 7

sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2sin ? sin ? 的值等于__________.
18.已知四面体 ABCD, AB=AC=AD=BC=BD=1,CD= 2 ,四该四面体的内切球半径等于 ______. 19.从直线 l :

x y ? ? 1 上的任意一点 P 作圆 O : x2 ? y 2 ? 8 的两条切线,切点为 A 和 B, 8 4

则弦 AB 长度的最小值为__________. 20.定义一个对应法则 P(m, n) ? P' ( m, n )(m ? 0, n ? 0) .现有直角坐标平面内的点 A (2,6) 与点 B(6,2), M 是线段 AB 上的动点, 点 按定义的对应法则 f : M ? M ' . 当点 M 在 线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 时, M 的对应点 M 经过的路线的长度为__________. 点
'

三、B 组填空题(每小题 8 分,共 40 分)
21.已知曲线 2 y 2 ? 4 y ? x ? 4 ? 0 是一条抛物线,则它的焦点坐标是_____,准线方程是 _________. 22.函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 3x ? 1 图象的对称中心的坐标是_____,现将 f ( x ) 的图象按向量 a 平移后,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若 y ? g ( x) 是奇函数,则向量 a =_________. 23. 已知数列 an } { 满足 an ? 此时 n =_________. 24.在半径为 1 的大球内放入 6 个半径相等的小球,当小球的体积最大时,小球的半径等于 ____,此时在 6 个小球之间的空隙里还可以放人一小球,该小球的最大半径等于______. 25. If the solution set of x for the inequality

?a 2 , a ? 5, n2 ? 4 ? (n ? N * ), y ? ? n n , y 的最小值是_________, 则 n ?5an , an ? 5. ?

mx ? 1 ? n(m, a, n are constants ) is 2 x 2 ? ax ? 1

1 [?2, ?1) ? ( ,1] then a = ______, m =_____. 2

第 22 届“希望杯”全国数学邀请赛答案高二第一试
一、选择题(每小题 4 分, 共 40 分) 1 2 3 4 5 6 题号 C A C B A C 答案 二、A 组填空题(每小题 4 分, 共 40 分) 7 C 8 D 9 B 10 B 共得分

1? 5 1? 5 ? (13)18 (14) 120 ,0) ? (0, ) 2 2 4 2 2? 6 2? (15)-2 (16) (17)0 (18) (19) 2 3 (20) 9 2 3
(11) [2 2, e ? ]

2 e

(12) (

三、B 组填空题(每小题 8 分,共 40 分,每小题两个空, 每空 4 分)

17 15 , ?1), x ? (22) (1,2)(-1,-2) ; (23)16;2 8 8 1 (24) 2 ?1;3 ? 2 2 (25) 1; ? 3
(21) (


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