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换底公式的推导及特殊换底公式及练习


一、从对数的运算性质说起
?

则有: ? 1,M ? 0,N ? 0, 如果a ? 0, a ?

(1) loga (M ) ? loga (N ) ? loga (MN ); (加法)
(2) loga (M ) ? loga (N ) ? loga (MN ); (减法)
?1

(3) nloga M ? loga M , (n ? R );
n

(数乘)

?注意:1.在实际解题过程中以上三式从左向右运算

不必考虑 M ,N 是否非负;但是从右向左运算时必 须保证 M ,N 非负;2.两端的底数必须相同这就是 说利用对数的运算性质只能解决同底数的对数运算 .

二、换底公式
1、利用计算器计算 lg15 和 lg 2 ; 结果:1、 lg15 ? 1.7, 2、 ln15 ? 2.7,

2、利用计算器计算 ln15 ln 2 和 .

lg 2 ? 0.3;

ln 2 ? 0.7.

说明:第1题中是两个常用对数,它们的底数都是10; 第2题中是两个自然对数,它们的底数都是e.利用科学 计算器可以直接计算常用对数和自然对数.

问题1 可否利用计算器求出 log2 15 的值呢? 我们可设log 2 15 ? x , 从而有

2 x ? 15
对上式两边同取以10为底的对数可得

log10 2 ? log10 15,即
x

lg 2 ? lg15 ? x lg 2 ? lg15 ? lg15 lg15 x? , 即 log 2 15 ? lg 2 lg 2
x

lg15 ? x ? log 2 15 ? lg 2

? 3.91.

lg15 抽象推广到一般情况可得重要 由 log 2 15 ? lg 2

的对数转换公式:

换底公式

loga N logb N ? (其中a,b ? 0,a,b ? ? 1,N ? 0) loga b
说明:对数换底公式的证明方法并不唯一,前面 对log 2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法,可类 似证明对数换底公式,现在请同学们写出证明过程, 并思考如何将以 b 为底 N 的对数转换为以 a为底的对 数的比值.

证明

设 logb N ? x ,根据对数的定义,有

b ?N
x

两边取以 a为底的对数,得
x

loga b ? loga N .

由于b ? 0,所以可得 x loga b ? loga N, 又由于b ? ? 1,所以可得 log a N loga N . x? , 即 logb N ? log a b loga b

三、推论
令N ?

推论1
n

1 logb a ? log a b

log a N 则 logb N ? a, log a b

就变形为

1 ? log am b ? ? logbn a m m logbn a

1

1 1 ? m m log a b n n log a b

n 推论2 log am b ? m log a b
n

n ? log a b m

注:实际上由换底公式直接可得推论2,

请同学们自己推导.

log a b n ? log b n a log am b ? ? log a b m ? log a a m m
n

n

直接利用换底公式

推论3

loga b ? logb c ? logc d ? loga d

lg b lg c lg d lg d 证明 左边? ? ? ? lg a lg b lg c lg a

? loga d ?右边

四、应用
例1 计算:

(1) log9 27
例2



(2) log8 9 ? log 27 32

用科学计算器计算下列对数(精确到0.001):

log2 48 ; log3 10 ;
lg 48 ? lg 2
17 ? 0.3
? 56.7

log8? ;
=
?

lg10 ? lg 3
1 ? 0.48
? 2.1

lg ? lg 8
0.5 0.9

log5 50 ;

log1.082 2

? 0.56

例3 一种放射性物质不断变化为其他物质,每 经过一年剩留的质量约为原来的84%,估计约经过多 少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个 有效数字). 分析:对于实际问题的解答,其基本思路为: 1.分析实际问题; 2.建立数学模型; 3.利用数学方法求解; 4.解答. 解:设最初的质量为1,经过x年,剩留量是y,则 经过1年,剩留量是 y ? 0.84 经过2年,剩留量是 y ? 0.842 …… x 经过x年,剩留量是 y ? 0.84

(0, ? ?) 在 上是减函数,故可取 x =1,2,3,4,5, 6, .... 直至对应的y ? 0.5为止,如下表所示:
x y ? 0.84 方法一:利用指数函数的性质可知

x
y ? 0.84x

0
1

1
0.84

2
0.71

3
0.59

4
0.50

5
0.42

...
...

由表可知,当时 y ? 0.5,对应的 x ? 4 , 即约经过4年该物质的剩留量是原来的一半. 方法二: 由题意可得 0.84 x ? 0.5, 即x ? log0.84 0.5 lg 0.5 利用换底公式得 x ? , lg 0.84 用科学计算器计算得 x ? 3.98, 即月经过4年,该物质的剩留量是原来的一半.

例4 若lg2=m, lg3 ? n,求log512的值.
lg12 lg 4 ? lg 3 解:log 5 12 ? ? 10 lg 5 lg 2 lg 4 ? lg 3

?

lg10 ? lg 2

2 lg 2 ? lg 3 ? 1 ? lg 2

2m ? n ? 1? m

五、
终结
log a N logb N ? (其中a,b ? 0,a,b ? 1.换底公式: ? 1,N ? 0) log a b

2.推论: () 1 logb a ?
n

1 loga b

n () 2 logam b ? loga b m

() 3 loga b ? logb c ? logc d ? loga d

鸣谢马海红

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