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高中线性规划练习(含详细解答)


线性规划练习
1. “截距”型考题
在线性约束条件下, 求形如 z ? ax ? by(a, b ? R) 的线性目标函数的最值问题, 通常转化为求直线在 y 轴 上的截距的取值. 结合图形易知,目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因 画图太草而造成的视觉误差.

? y?2 ? 1.【2012 年高考· 广东卷 理 5】已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ? x ? y ?1 ?

)

( A) 12

( B) 11

(C ) ?

( D) ??

? x -y ? 10 ? 2. (2012 年高考· 辽宁卷 理 8)设变量 x,y 满足 ?0 ? x +y ? 20 ,则 2 x+3 y 的最大值为 ?0 ? y ? 15 ?
A.20 B.35 C.45 D.55

?x ? y ?1 ? 0 ? ? 3.(2012 年高考·全国大纲卷 理 13) 若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值 ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
为 。

4.【2012 年高考·陕西卷 理 14】 设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲 ??2 x ? 1, x ? 0


线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为

5.【2012 年高考· 江西卷 理 8】某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位: 亩)分别为( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 6. (2012 年高考· 四川卷 理 9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克. 每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙 产品的利润是 400 元. 公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、B 原料都不超过 12 千克. 通过 合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元

? x?0 ? 7. (2012 年高考· 安徽卷 理 11) 若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ . ?2 x ? y ? 3 ?

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8.(2012 年高考· 山东卷 理 5)的约束条件 ? A. [ ?

?2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z=3x-y 的取值范围是 ? 4 x ? y ? ?1
C.[-1,6] D.[-6,

3 ,6] 2

B.[ ?

3 ,-1] 2

3 ] 2
.

? x, y ? 0 ? 9. (2012 年高考· 新课标卷 理 14) 设 x, y 满足约束条件:? x ? y ? ?1 ; z ?x ? y 的取值范围为 则 2 ? x? y ?3 ?

2 . “距离”型考题
?x ? 1 ? 10.【2010 年高考· 福建卷 理 8】 设不等式组 ? x-2y+3 ? 0 所表示的平面区域是 ?1 ,平面区域是 ?2 与 ?1 关 ?y ? x ?
于直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, | AB | 的最小值等于( A. )

28 5

B.4

C.

12 5

D.2

11.( 2012 年高考· 北京卷 理 2) 设不等式组 ? 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点, ?0 ? y ? 2

? 4 3. “斜率”型考题
A

B

? ?2
2

C

? 6

D

4 ?? 4

12.【2008 年高考· 福建卷 理 8】 若实数 x、y 满足 ? B. ? 0,1?

?x ? y ?1 ? 0 y , 则 的取值范围是 x ? x?0
D. ?1, ?? ?





A.(0,1)

C.(1,+ ? )

c 13.(2012 年高考· 江苏卷 14)已知正数 a , , 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则 b c
值范围是 .

b 的取 a

4. “平面区域的面积”型考题
14.【2012 年高考· 重庆卷 理 10】设平面点集

? 1 ? A ? ?( x, y ) ( y ? x)( y ? ) ? 0 ? , B ? ( x, y ) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,则 A ? B 所表示的平面图形的面积为 x ? ?

?

?

A

3 ? 4

B

3 ? 5

C

4 ? 7

D

? 2

15.(2007 年高考· 江苏卷 理 10)在平面直角坐标系 xOy ,已知平面区域 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, 且 x ? 0, y ? 0} ,则平面区域 B ? {( x ? y, x ? y) | ( x, y) ? A} 的面积为 A. 2 B. 1 C. ( )

1 2

D.

1 4

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?x ? 0 ? 16.(2008 年高考· 安徽卷 理 15) 若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 ?y ? x ? 2 ?
1 时,动直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 .

?x ? 0 4 ? 17.(2009 年高考· 安徽卷 理 7) 若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为 3 ?3 x ? y ? 4 ? 面积相等的两部分,则 k 的值是 7 3 4 3 (A) (B) (C) (D) 3 7 3 4


? x ? 0, ? 18.(2008 年高考· 浙江卷 理 17)若 a ? 0, b ? 0 ,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ? 1 ,则以 a ,b 为坐标 ?x ? y ? 1 ?
点 P(a, b) 所形成的平面区域的面积等于__________.

5. “求约束条件中的参数”型考题
规律方法:当参数在线性规划问题的约束条件中时,作可行域,要注意应用“过定点的直线系”知识, 使直线“初步稳定”,再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.

?x ? y ?1 ? 0 ? 19.(2009 年高考· 福建卷 文 9)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表示的 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
平面区域内的面积等于 2,则 a 的值为 A. -5 B. 1
x

C. 2

D. 3

?x ? y ? 3 ? 0 ? 20. 2012 年高考· 【 福建卷 理 9】 若直线 y ? 2 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则实数 m 的 ?x ? m ?
最大值为( A. ) B.1 C.

1 2

3 2

D.2

? x ? 2 y ? 19 ≥ 0, ? 21.(2008 年高考· 山东卷 理 12)设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ≥ 0, 所表示的平面区域为 M ,使函数 ?2 x ? y ? 14 ≤ 0 ?
y ? a x (a ? 0,a ? 1) 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是(
A.[1,3] B.[2, 10 ] C.[2,9] ) D.[ 10 ,9]

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? x ? y ? 11 ? 0 ? 22.(2010 年高考· 北京卷 理 7)设不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域为 D,若指数函数 y= a x 的 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?
图像上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 A (1,3] B [2,3] C (1,2] D [ 3, ?? ]

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 2 2 23.(2007 年高考· 浙江卷 理 17)设 m 为实数,若{ ( x, y ) ? 3 ? x ? 0 } ? {( x, y ) | x ? y ? 25} ,则 m ? mx ? y ? 0 ?
的取值范围是___________.

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 24.(2010 年高考· 浙江卷 理 7) 若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实 ? x ? my ? 1 ? 0, ?
数 m ?( A ?2 ) B ?1 C1 D2

6. “求目标函数中的参数”型考题
规律方法:目标函数中含有参数时,要根据问题的意义,转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等 模型进行讨论与研究.

?x ? y ? 1 ? 25.(2009 年高考· 陕西卷 理 11)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0) ?2 x ? y ? 2 ?
处取得最小值,则 a 的取值范围是 ( A. ?1 ,2) ( B. ?4 ,2) ( ) C. (?4,0] D. (?2, 4)

?y ? x ? 26.(2011 年高考· 湖南卷 理 7)设 m>1,在约束条件 ? y ? mx 下, 目标函数 z=x+my 的最大值小于 2, ?x ? y ? 1 ?
则 m 的取值范围为 A. (1,1 ? 2 ) B. (1 ?

2 ,??)

C. (1,3)

D. (3,??)

7. 其它型考题
?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 27. (2009 年高考· 山东卷 理 12) 设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 ? x ? 0, y ? 0 ?

2 3 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的值是最大值为 12,则 ? 的最小值为( ) a b 25 8 11 A. B. C. D. 4 6 3 3

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?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 28. (2010 年高考· 安徽卷 理 13)设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 ?x ? 0 , y ? 0 ?
z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0 ? 的最大值为 8,则 a ? b 的最小值为________.

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线性规划问题 答案解析
1. “截距”型考题
在线性约束条件下, 求形如 z ? ax ? by(a, b ? R) 的线性目标函数的最值问题, 通常转化为求直线在 y 轴 上的截距的取值. 结合图形易知,目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因 画图太草而造成的视觉误差. 1、选 B 【解析】约束条件对应 ?ABC 内的区域(含边界),其中 A(2, 2), B(3, 2), C ( , ) 画出可行域, 结合图形和 z 的几何意义易得 z ? 3x ? y ?[8,11] 2、选 D; 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由图知目标函 数过点 A ? 5,15 ? 时, 2 x+3 y 的最大值为 55,故选 D. 3、答案: ?1 【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的为三角形,当目标函数过点 (3, 0) 时,目标函数最 大 ,当目标函数过点 (0,1) 时最小为 ?1 .

5 3 2 2

]

4、答案 2; 【解析】当 x > 0 时, f ' ?x ? ?

1 ' , f ?1? ? 1 , x

∴曲线在点 (1, 0) 处的切线为 y ? x ? 1 ,则根据题意可画出可行域 D 如右图: 目标函数 y ?

1 1 x ? z , ∴当 x ? 0 , y ? ?1 时,z 取得最大值 2 2 2

5、选 B; 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践 能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x、y 亩,总利润为 z 万元, 则目标函数为

z ? (0.55 ? 4 x ? 1.2 x) ? (0.3? 6 y ? 0.9 y) ? x ? 0.9 y .

? x ? y ? 50, ?1.2 x ? 0.9 y ? 54, ? 线性约束条件为 ? ? x ? 0, ? y ? 0. ?

? x ? y ? 50, ? 4 x ? 3 y ? 180, ? 即? ? x ? 0, ? y ? 0. ?

作出不等式组表示的可行域,

易求得点 A ? 0,50 ? , B ? 30, 20 ? , C ? 0, 45 ? . 平移直线 z ? x ? 0.9 y , 可知当直线 z ? x ? 0.9 y ,经过点 B ? 30, 20 ? , 即 x ? 30, y ? 20 时 z 取得最大值,且 zmax ? 48 (万元). 故选 B. 点评:解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: (1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;
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(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答. 6、答案 C 【解析]】 设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得利润为 Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y,

? X ? 2Y ? 12 ?2 X ? Y ? 12 ? 且? ,画可行域如图所示, ?X ? 0 ?Y ? 0 ?
目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= ?

3 z x? 4 400
?2x ? y ? 12 ?x ? 4 ,? ? ,即 A(4,4) ?y ? 4 ?x ? 2 y ? 12

这是随 Z 变化的一族平行直线,解方程组 ?

? Z max ? 1200 ? 1600 ? 2800
7、答案 [?3,0] ; 【解析】约束条件对应 ?ABC 内的区域(含边界),其中 A(0,3), B(0, ), C (1,1) ,画出可 行域,结合图形和 t 的几何意义易得 t ? x ? y ? [?3,0] 8、选 A; 【解析】 作出可行域和直线 l : 3x ? y ? 0 ,将直线 l 平移至点 (2,0) 处有最大值,点 ( ,3) 处 有最小值,即 ?

3 2

1 2

3 ? z ? 6 . ∴应选 A. 2

9、 答案[-3, 【解析】 3]; 约束条件对应区域为四边形 OABC 内及边界, 其中 O(0,0), A(0,1), B(1, 2), C (3,0) , 则 z ? x ? 2 y ?[?3,3]

2 . “距离”型考题
10、选 B ; 【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式(点到 直线的距离公式等)的应用,考查了转化与化归能力。 【解析】由题意知,所求的 | AB | 的最小值,即为区域 ?1 中的点到直 线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离的最小值的两倍, 画出已知不等式表示的平 面区域,如图所示,可看出点(1,1)到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离 最小,故 | AB | 的最小值为 2 ?

| 3 ?1 ? 4 ?1 ? 9 | ? 4 ,所以选 B。 5

评注:在线性约束条件下,求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题,通常转化 为求其中一点(x,y)到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知,可行域的顶点及可行域边界线上的点 是求距离最值的关键点.

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11、选 D; 【解析】题目中 ?

?0 ? x ? 2 表示的区域为正方形,如图所示,而动点 M 可 ?0 ? y ? 2

以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 因此 P ? ,故选 D. ? 2? 2 4

3. “斜率”型考题
12、选 C; 【解析】如图,阴影部分为不等式所对应的平面区域,

y 表示平面区域内的动点 ( x, y ) 与原点 x
y

O(0,0) 之间连线的斜率,由图易知,

y ? ?1, ?? ? ,选 C. x
y ?b (a, b ? R) 的目标函数的 x?a

评注:在线性约束条件下,对于形如 z ?

取值问题,通常转化为求点 ( x, y ) 、 (a, b) 之间连线斜率的取值. 结合图形 易知,可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点. 在本题中,要合理运用 极限思想,判定
-1 O

1 x

y 的最小值无限趋近于 1. x

图3

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ?a , ln b ≥a ?c lnc 可化为: ? c ? c ? 4 . c 7 【解析】条件 13、答案 ? e, ? ; ? a ?b ? ? ec ?c
?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 a b y ? 设 =x,y = ,则题目转化为:已知 x,y 满足 ? ,求 的取值范围. x c c x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x,y )所在平面区域(如图) ,求出 y =e x 的切线的斜 率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0 ? , 则

y0 ex0 ? m m ,要使它最小,须 m=0 . = =e ? x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e . 此时,点 P ? x0,y0 ? 在 x

y =e x 上 A, B 之间. 当( x,y )对应点 C 时,

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y y ?? ? y =7 x ? =7 , ∴ 的最大值 ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x x x ?

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在 C 处,最大值为 7.



y b 的取值范围为 ? e, ? , 即 的取值范围是 ? e, ? 7 7 a x

4. “平面区域的面积”型考题
14、选 D ; 【解析】由对称性: y ? x, y ?

1 , ( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 围成的面积与 x

1 y ? x, y ? , ( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 围成的面积相等,得: A ? B 所表示的平面图形的面积为 x 1 ? y ? x, ( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 围成的面积既 ? ? R 2 ? 2 2
15、选 B; 【解析】令 a ? x ? y, b ? x ? y ,则 x ?

1 1 (a ? b), y ? (a ? b) , 2 2

b A 1 O B 图5
y A D C 1 2

代入集合 A, 易得 a ? b ? 0, a ? b ? 0, a ? 1, 其所对应的平面区域如图阴影部 分,则平面区域的面积为

1 × 1=1,∴选 B. 2× 2

a

评注:本题涉及双重约束条件,解题的关键是采用换元的思想去寻求平 面区域 B 所对应的约束条件,从而准确画出相应的平面区域.

7 16、答案 ; 【解析】如图,阴影部分为不等式组表示的平面区域 A , 4
其中: l : x ? y ? a, l1 : x ? y ? ?2, l2 : x ? y ? 1 . 当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 l 扫过的平面区域即为 l1 与 l 2 之 间的平面区域,则动直线 l 扫过 A 中的那部分平面区域的面积即为四边 形 BOCD 的面积,由图易知,其面积为: S ? S? ABO ? S? ADC ?
B -2

O

1 l2 l

x

7 . 4 评注: 本题所求平面区域即为题设平面区域 A 与动直线 x ? y ? a 在

-2

l1

a 从-2 连续变化到 1 时扫过的平面区域之间的公共区域,理解题意,准确画图是解题的关键. 图6
17、选 A; 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

?x ? 3y ? 4 4 由? 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 ?3 x ? y ? 4

y

y=kx+ 3 D C O ∴ A x

4

1 4 4 (4 ? ) ?1 ? ,设 y ? kx 与 3x ? y ? 4 的交点为 D, 2 3 3 1 2 1 5 则 由 S?BCD ? S ?ABC ? 知 xD ? , ∴ yD ? , 2 3 2 2 5 1 4 7 ? k ? ? , k ? ,选 A. 2 2 3 3
∴ S △ABC=

y 1 A x+y=1 O B 1 x

18、答案 1; 【解析】如图,阴影部分为不等式组表示的平面区域, 要使得恒 有 ax ? by ? 1 成立,只须平面区域顶点 A, O, B 的坐标都满足不等式

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图7

ax ? by ? 1 ,易得 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1, 所以 P(a, b) 所形成的平面区域的面积等于 1.
评注:本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题,只须考虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题 的最后一题,熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生,但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方 法的考查,真可谓简约而不简单.

5. “求约束条件中的参数”型考题
?x ? y ?1 ? 0 ? 19、选 D; 【解析】 作出不等式组 ? x ? 1 ? 0 所围成的平面区域. 如图所示,由题 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
意可知, 公共区域的面积为 2; ∴|AC|=4, C 的坐标为 点 (1, 代入 ax ? 4) 得 a=3,故选 D. 点评:该题在作可行域时,若能抓住直线方程 ax ?
10

6

4

C

y ?1 ? 0

2

B

y ? 1 ? 0 中含有参数 a 这个 5
2

A o
5

特征,迅速与“直线系”产生联系,就会明确 ax ?

y ? 1 ? 0 可变形为 y ? 1 ? ax 的形

式,则此直线必过定点(0,1);此时可行域的“大致”情况就可以限定,再借助于题中的其它条件,就可轻 松获解. 4 20、选 B;分析:本题考查的知识点为含参的线性规划,需要画出可 y ? 2x (0,3) 行域的图形,含参的直线要能画出大致图像. 解答:可行域如图:所

?x ? y ? 3 ? 0 ? 以,若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 ?x ? m ?

(m,3 ? m)

(3,0)
3 (0, ) 2

3 ? m ? 2 m ,即 m ? 1 。
评注:题设不等式组对应的平面区域随参数 m 的变化而变化,先 局部后整体是突破的关键. 21、选 C; 【解析】区域 M 是三条直线相交构成的三角形(如图), 其中 A(1,9), B(3,8), C (2,10) , 使函数 y ? a (a ? 0,a ? 1) 的图
x

x

象过区域 M ,由图易知 a ? 1 ,只须区域 M 的顶点 A, B 不位于函
A

C y=ax B y 2x+y-14=0 x+2y-19=0 图12

数 y ? a 图象的同侧,即不等式 (a ? 9) ? (a ? 8) ? 0 (a>0,a≠1) x-y+8=0
x 3

1 O

恒成立,即 2 ? a ? 9. 评注: 首先要准确画出图形; 其次要能结合图形对题意进行等价 转化;最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律.

22、选 A; 【解析】这是一道略微灵活的线性规划问题,作出区域 D 的图象,联系指数函数 y ? a 的图象,
x

能够看出,当图象经过区域的边界点(2,9)时,a 可以取到最大值 3,而显然只要 a 大于 1,图象必然经 过区域内的点.
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23、答案 [0, ] ; 【解析】 如图 10,直线 l : y ? ?mx, l1 : y ? ?

4 3

4 x ,由 3
C -5

y B

题意,要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部,则直线 l 应位于直 线 l1 与 x 轴之间(包括直线 l1 及 x 轴) ,即 ? 值范围是 [0, ] . 评注:由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系是解 决本题的第一突破口;另外,在直线 l 的旋转变化中,确定关键的两个

4 ? ?m ? 0 ,所以 m 的取 3

O A

3

5 l l1

x

4 3

图10

特殊位置 l1 、 x 轴是解决本题第二突破口,这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.

24、选 C; 【思路点拨】画出平面区域,利用 x ? y 的最大值为 9,确定区域的边界. 【规范解答】选 C.令 z ? x ? y ,则 y ? ? x ? z ,z 表示 斜率为-1 的直线在 y 轴上的截距.当 z 最大值为 9 时,

y

x ? my ? 1 ? 0

A(4,5)

y ? ?x ? z 过点 A,因此 x ? my ? 1 ? 0 过点 A,
所以 m ? 1.

2x ? y ? 3 ? 0

1
O
3 2

12 3 ( , ) 7 7

x
x ? 3y ? 3 ? 0

3

y ? ?x

?3
6. “求目标函数中的参数”型考题
25、选 B; 【解析】如图,阴影部分△ABC 为题设约束条件所对应的可行 域,其中 A(1,0), B(3, 4) , C (0,1) ,
y B(3,4) 2x-y=2 (0,1)C A(1,0) o x-y=-1 图11 x

a 法一: ,目标函数 z ? ax ? 2 y 对应直线 l ,直线 l 的斜率为 ? ,在 y 2
轴上的截距为

z . 2

∵目标函数恰好在点(1,0)处取得最小值,

x+y=1

∴直线 l 落在的直线 x+y =1 按逆时针方向旋转到直线 2x-y =2 的 位置所扫过的区域,根据直线倾斜角与直线斜率的关系,可得-1< ?

a <2,解得-4< a <2,选 B. 2

法二:根据题意,目标函数 z ( x, y ) ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则有 z (0,1) ? z (1,0), 且 ,答案选 B. z (0,1) ? z (3, 4) ,解之得 a 的取值范围是( ?4 ,2 )
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评注:本题是以截距为背景,求满足题意的目标函数中所含的未知参数,对于这类问题,关键是要抓 住可行域的顶点就是取到最值的点. 26、选 A; 【解析】在平面直角坐标系中作出直线 y ? x和x ? y ? 1 ,再作出直线 y ? mx (m>1),由图可

1 m2 1 m ? 知目标函数 z=x+my 在点( , )处取得最大值 zmax ? ,由已知可解 m. m ?1 m ?1 m ?1 m ?1
7. 其它型考题
27、选 A; 【解析】如图,阴影部分为约束条件表示的平面区域,其中 A(2,0), B(4,6), C(0, 2) ,显然,当 直线 ax ? by ? z 过点 B(4,6) 时,目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 取得最 大值 12,即 4a ? 6b ? 12 ,
y B

2 3 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ,选 A. ? =( ? ) ? ?( ? ) ? ?2 ? a b a b 6 6 a b 6 6
评注: 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问 题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并根据图形建立关于参数

x-y+2=0

C o A 3x-y-6=0 图14 x

2 3 a, b 的等式;求 ? 的最小值时,常先用乘积进行等价变形,进而用基本 a b
不等式解答.

28、答案 4; 【解析】不等式表示的区域是一个四边形,4 个顶点是 (0, 0), (0, 2), ( , 0), (1, 4) ,由图易知, 目标函数在 (1, 4) 取最大值 8,所以 8 ? ab ? 4 ? ab ? 4 ,所以 a ? b ? 2 ab ? 4 ,在 a ? b ? 2 时是等号 成立.所以 a ? b 的最小值为 4. 综上可知,解决线性规划问题,首先要弄清题意;其次要准确画图、识图;最后是合理联想与转化, 并充分挖掘方法和规律.

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