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山东省威海市2012届高三第一次模拟考试数学理(附答案)


理科数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 5 页.考试时间 120 分钟. 满分 150 分析.答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在 答题纸规定的位置. 第 I 卷(选择题 共 60 分) 注意事项: 每小题选出答案后, 用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选

涂其它答案,不能答在试题卷上. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.复数 z ? 1 ? i, 则 A.

1 3 ? i 2 2

1 ?z? z 1 3 B. ? i 2 2

C.

3 3 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

2.设集合 A ? ?? 1, p,2?, B ? ?2, ?,则“p=3”是“ A ? B ? B ”的 3 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.已知 ? ? ? ?, B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

? ?

3? 2

5 ? , tan 2? ? ?,cos? ? ? 5 ?

A.

4 3

B. ?

4 3

C. ? 2

D.2

4.在一次数学测验中,统计 7 名学生的成绩分布茎叶如右图所示, 若这 7 名学生的平均成绩为 77 分,则 x 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 5.设 l , m, n 为三条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l ? ? , m // ? , ? ? ? , 则 l ? m C.若 l // m, m // n, l ? ? , 则 n ? ? B.若 m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n, 则 l ? ? D. 若 m // ? , n // ? , ? // ? , 则 m // n
2 2 2

* n 6. 数列 ?an ? 中,已知对任意 n ? N ,a 1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 3 ? 1, 则 a1 ? a2 ? a3 ? ?

? an 等于
2

A. 3 ? 1
n

?

?

2

B.

1 n 9 ?1 2
2 2

?

?

C. 9 ? 1
n

D.

1 n 3 ?1 4

?

?

7. 已知圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0, 设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积是 A. 10 6 B. 20 6 C. 30 6 D. 40 6

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8.设 a ? A.24

?

?

0

1 ? ? ? 的展开式的常数项是 sin xdx, 则二项式 ? a x ? x? ?
C.48 D. ? 48

4

B. ? 24

9. 已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若 OA ? 2OC ? 3OB, 则

BC AB

的值为

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

10. 甲乙两人进行跳绳比赛,规定:若甲赢一局,比赛结束,甲胜出;若乙赢两局,比赛结 束,乙胜出.已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为 A.

2 3 、 ,则甲胜出的概率为 5 5

16 25

B.

18 25

C.

19 25

D.

21 25

11.函数 y ? f ?x ??x ? R ? 的图象如右图所示,下列说法正确的是 ①函数 y ? f ?x ? 满足 f ?? x ? ? ? f ?x ?; ②函数 y ? f ?x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?? x ?; ③函数 y ? f ?x ? 满足 f ?? x ? ? f ?x ?; ④函数 y ? f ?x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?x ?. A.①③ B.②④ C.①② D.③④

12.已知函数 f ? x ? 在 R 上单调递增,设 ? ?

?
1? ?

,? ?

1 ?? ? 1? ,若有 f ?? ? ? f ?? ? > 1? ?

f ?1? ? f ?0? ,则 ? 的取值范围是
A. ?? ?,?1? B. ?? ?,?1? ? ?? 1,0? C. ?? 1,0? D. ?? ?,?1? ? ?1,?? ?

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第 II 卷(非选择题 共 90 分) 注意事项: 1.请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需改 动,要先划掉原来的答案,然后再写上新答案. 2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 3.第 II 卷共包括填空题和解答题两道大题。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 5,那么输出的 S 是_________.

? ? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 14.设实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 x ? 2 y 的最大值为 ? ? y > 0. ?
__________. 15.已知 f ? x ? ? ?

? x, x ? 0 ? , 则不等式 x ? x ? f ?x ? ? 2 的解 ?? x, x <0 ?

集是_________. 16.下列四种说法 ① 命 题 “ ?x ? R, x ? x > 0 ” 的 否 定 是
2

“ ?x ? R, x ? x ? 0 ” ;
2

②“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件; ③“若 am < bm ,则 a < b ”的逆命题为真; ④若实数 x, y ? ?0.1? ,则满足: x ? y >1 的概率为
2 2

2

2

? ; 4

正确的有___________________.(填序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? 2 cos x, 3 cos x ? sin x , n ? ? sin? x ? ?

?

?

? ?

? ?

??

? ?, sin x ?, 且满足 f ?x ? ? m ? n. ? 6? ?

(I)求函数 y ? f ?x ? 的单调递增区间; (II)设 ?ABC 的内角 A 满足 f ? A? ? 2, 且 AB ? AC ? 18.(本小题满分 12 分) 设 ?an ? 是单调递增的等差数列, S n 为其前 n 项和,且满足 4S3 ? S6 , a2 ? 2 是 a1 , a13 的等比 中项. (I)求数列 ?an ? 的通项公式;

3 ,求边 BC 的最小值.

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(II)是否存在 m, k ? N ,使 am ? am? 4 ? ak ? 2 ?说明理由;
*

(III)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?1, bn ?1 ? bn ? an , 求数列 ?bn ? 的通项公式. 19.(本小题满分 12 分) 如图三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 底面 ABC ? 侧面 AA1C1C , ?AA1C 为等边三角形,AB ? BC 且 AB=BC,三棱锥 B ? AA1C 的体积为 (I)求证: AC ? A1B ; (II)求直线 A1C 与平面 BAA1 所成角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分) 现有正整数 1,2,3,4,5,?n,一质点从第一个数 1 出发顺次跳动,质点的跳动步数通 过抛掷骰子来决定:骰子的点数小于等于 4 时,质点向前跳一步;骰子的点数大于 4 时,质 点向前跳两步. (I)若抛掷骰子二次,质点到达的正整数记为 ? ,求 E ? ; (II)求质点恰好到达正整数 5 的概率. 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

9 3 . 8

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (0<b<2)的离心率等于 , 抛物线 x 2 ? 2 py (p>0). 2 4 b
? ? 1? 2?

(1)若抛物线的焦点 F 在椭圆的顶点上,求椭圆和抛物线的方程; (II)若抛物线的焦点 F 为 ? 0, ? ,在抛物线上是否存在点 P,使得过点 P 的切线与椭圆相 交于 A,B 两点,且满足 OA ? OB ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ?

1 2 x ? ax ? ?a ? 1? ln x. 2

(I)若曲线 f ? x ? 在点 ?2, f ?2?? 处的切线与直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值; (II)若 f ? x ? 在区间 ?0,??? 单调递增,求 a 的取值范围; (III)若—1<a<3,证明:对任意 x1 , x 2 ? ?0,???, x1 ? x2 , 都有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? >1 成立. x1 ? x2

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