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福建省安溪蓝溪中学2017届高三上学期第一次月考数学试题Word版含答案.doc


蓝溪中学 2017 届高三年(上)理科数学 10 月阶段考试
(集合、逻辑、函数与导数、三角函数) (本卷命题者:高如亮)

第Ⅰ卷:选择题部分(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ⒈已知集合 A ? {x || x ? 1|? 2}, B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,则 A∩B= (

)

( A) [-2,-1]

( B ) [-1,2)

(C ) [-1,1]

( D) [1,2)

⒉设命题 p:? n∈N,n2>2n,则 ? p 为 (

)
(C ) ? n∈N,n2≤2n ( D) ? n∈N,n2=2n

( A) ? n∈N,n2>2n
⒊函数 y=

( B ) ? n∈N,n2≤2n

1 +lg(2x-1)的定义域是 ( ) 3x-2 2 ?1,+∞? ?2,+∞? ,+∞? ( A) ? ( B ) ( C ) 3 2 ? ? ? ? ?3 ?

1 2? ( D) ? ?2,3?

1? 1 2 ⒋已知函数 f? ?x-x?=x +x2,则 f(3)= (

)
( D) 11

( A) 8

( B) 9

(C ) 10

2 ⒌函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是 ( x

)

( A) (0,1)

( B ) (1,2)

(C ) (2,e)

( D) (3,4)

⒍下列四个数中最大的是 (

)
(C ) ln 2 ( D) ln 2

( A) (ln 2)2

( B ) ln(ln 2)

⒎已知 f ( x) ? a x?2 , g ( x) ? loga | x | (a ? 0 且 a ? 1) ,若 f (4) g (?4) ? 0 ,则

y ? f ( x), y ? g ( x) 在同一坐标系内的图象大致是 (

)

⒏设函数 f ' ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数,f (?2) ? 0 , 当 x>0 时, xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 (

)

( A) (-∞,-2)∪(0,2) (C ) (-∞,-2)∪(-2,0)

( B ) (-2,0)∪(2,+∞) ( D) (0,2)∪(2,+∞)

?log 1 x , x ? 0 1 ? 3 ⒐已知函数 f ( x ) ? ? ,若 f(a)> ,则实数 a 的取值范围是 ( 2 x ? ,x ?0 ?2
( A) (-1,0)∪( 3,+∞) ( B ) (-1, 3)
3 (C ) (-1,0)∪? 3 ,+∞? ? ?

)

3 ( D) ?-1, 3 ? ? ?

⒑已知函数 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数,且当 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 2|x| ?1 ,则函数

F ( x) ? f ( x)? | lg x | 的零点个数是 ( ( A) 9 ( B ) 10 (C ) 11

)
( D) 18

π? ⒒设函数 f(x)=sin? ?2x-3?的图象为 C,下面结论中正确的是 (

)

( A) 函数 f(x)的最小正周期是 2π

( B ) 图象 C 可由函数 g(x)=sin 2x 的图象向右平移3个单位得到
π ? (C ) 图象 C 关于点? ?6,0?对称 π π - , ?上是增函数 ( D) 函数 f(x)在区间? ? 12 2? ⒓已知函数 y ? log a (2 ? ax) 在区间[0,1]上是关于 x 的减函数,则 a 的取值范围是 (

π

)

( A) (0,1)

( B ) (1,2)

(C ) (0,2)

( D) (2,+∞)

第Ⅱ卷:非选择部分(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置。
? 1 x ? ⒔已知集合 A=?x|2<2 <8?,B={x|-1<x<m+1},若 x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x ? ?

∈A,则实数 m 的取值范围是 _______ 。 ⒕若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a= _______ 。 ⒖曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积为 _______ 。 ⒗某类产品按工艺共分 10 个档次,最低档次产品每件利润为 8 元。每提高一个档次,每件利

润增加 2 元。用同样工时,可以生产最低档产品 60 件,每提高一个档次将少生产 3 件产品, 则获得利润最大时生产产品的档次是 _______ 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 x ⒘(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)= 1+x (ⅰ)画出 f(x)的草图; (ⅱ)指出 f(x)的单调区间。

π? ⒙(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=3sin? ?2x+6?,x∈R. π? (ⅰ)求 f? ?12?的值; π 5π 4 0, ?,求 f? -θ?。 (ⅱ)若 sin θ= ,θ∈? ? 2? ?12 ? 5

⒚(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) (ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极值。

π ? 2 ⒛(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=sin? ?2-x?sin x- 3cos x. (ⅰ)求 f(x)的最小正周期和最大值; π 2π? (ⅱ)讨论 f(x)在? ?6, 3 ?上的单调性。

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R) (ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (ⅱ)若 b=c-a(实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值 3 3 1, ?∪? ,+∞?,求 c 的值。 范围恰好是(-∞,-3)∪? ? 2? ?2 ?

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ( x ? ln x) ? (ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;
' (ⅱ)当 a ? 1 时,证明 f ( x) ? f ( x) ?

2x ?1 (a ? R) x2

3 对于任意的 x ? [1, 2] 成立。 2

蓝溪中学 2017 届高三(上)理科数学 10 月阶段考试 参考答案

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,共 60 分。 ⒈ ( A) ⒉ (C ) ⒊ (C ) ⒋ ( D ) ⒌ ( B ) ⒍ ( D ) ⒎ ( B ) ⒏ ( A) ⒐ ( D ) ⒑ ( B ) ⒒ (C ) ⒓ ( B )

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,共 20 分。 ⒔ (2, ??) 。⒕1。⒖

1 。⒗9。 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ⒘(本小题满分 12 分) x 1 1 解析:(ⅰ)f(x)= =1- ,函数 f(x)的图象是由反比例函数 y=- 的图象向左平移 x 1+x x+1 1 个单位后,再向上平移 1 个单位得到,图象如图所示.

(ⅱ)由图象可以看出,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(-1,+∞). ⒙(本小题满分 12 分) π? π 3 3 ? π π? 解析:(ⅰ)f? ?12?=3sin?2×12+6?=3sin3= 2 . π? 4 (ⅱ)∵sin θ= ,θ∈? ?0,2?, 5 ∴cos θ= 1-sin2θ= 4?2 3 1-? ?5? =5,

5π ? 4 3 72 ? ?5π ? π? f? ?12-θ?=3sin?2?12-θ?+6?=3sin(π-2θ)=3sin 2θ=6sin θcosθ=6×5×5=25.

⒚(本小题满分 12 分) 解析:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 1 ?

a . x

(ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2ln x ,则 f ?( x ) ? 1 ?

2 ( x ? 0) , x

? 得 f (1) ? 1, f (1) ? ?1 ,
所以 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (ⅱ) f ?( x) ? 1 ?

a x?a ? , x ? 0, a ? 0 x x

由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a ;? x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?( x) ? 0

? f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a) ? a ? a ln a ,无极大值.
所以当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值.

⒛(本小题满分 12 分) π ? 3 2 解析:(ⅰ) (x)=sin? ?2-x?sin x- 3cos x=cos xsin x- 2 (1+cos 2x) π? 1 3 3 3 = sin 2x- cos 2x- =sin? ?2x-3?- 2 , 2 2 2 2- 3 因此 f(x)的最小正周期为 π,最大值为 . 2 π 2π? π , 时,0≤2x- ≤π,从而 (ⅱ)当 x∈? 6 3 ? ? 3 π π π 5π 当 0≤2x- ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递增, 3 2 6 12 π π 5π 2π 当 ≤2x- ≤π,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 3 12 3 π 5π? ?5π 2π? 综上可知,f(x)在? ?6,12?上单调递增;在?12, 3 ?上单调递减.

21.(本小题满分 12 分) 2a 解析: (ⅰ)f′(x)=3x2+2ax,令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=- . 3 当 a=0 时,因为 f′(x)=3x2>0(x≠0),所以函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增; 2a? ? 2a ? 当 a > 0 时 ,x ∈ ? ?-∞,- 3 ? ∪ (0, + ∞) 时 ,f′(x) > 0,x ∈ ?- 3 ,0? 时 ,f′(x) < 0, 所 以 函 数 f(x) 在

?-∞,-2a?,(0,+∞)上单调递增,在?-2a,0?上单调递减; 3? ? ? 3 ?

2a 2a? ? ? 当 a<0 时,x∈(-∞,0)∪? ?- 3 ,+∞?时,f′(x)>0,x∈?0,- 3 ?时,f′(x)<0,所以函数 f(x)在(- 2a 2a? ? ? ∞,0),? ?- 3 ,+∞?上单调递增,在?0,- 3 ?上单调递减. 2a? 4 3 (ⅱ)由(ⅰ)知,函数 f(x)的两个极值为 f(0)=b,f? ?- 3 ?=27a +b, 2a? ? 4 3 ? 则函数 f(x)有三个零点等价于 f(0)· f? ?- 3 ?=b?27a +b?<0, a>0, a<0, ? ? ? ? 从而? 4 3 或? 4 - a <b<0 ?0<b<- a3. ? 27 27 ? ? 4 4 又 b=c-a,所以当 a> 0 时, a3-a+c>0 或当 a<0 时, a3-a+c<0. 27 27 4 设 g(a)= a3-a+c,因为函数 f(x)有三个零点时, 27 3 3 1, ?∪? ,+∞?, a 的取值范围恰好是(-∞,-3)∪? 2 ? ? ?2 ? 3? ?3 ? 则在(-∞,-3)上 g(a)<0,且在? ?1,2?∪?2,+∞?上 g(a)>0 均恒成立. 3? 从而 g(-3)=c-1≤0,且 g? ?2?=c-1≥0,因此 c=1. 此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a], 因函数有三个零点,则 x2+(a-1)x+1-a=0 有两个异于-1 的不等实根, 所以 Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0, 3? ?3 ? 解得 a∈(-∞,-3)∪? ?1,2?∪?2,+∞?.综上 c=1.

22.(本小题满分 10 分) (ⅰ)解析:
2 a 2 2 (ax -2)(x-1) f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a- - 2+ 3= x x x x3

当 a≤0 时,x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减. a(x-1)? 当 a>0 时,f′(x)= x- x3 ? ①0<a<2 时, 2 >1, a 2?? x+ a?? 2? . a?

当 x∈(0,1)或 x∈?

?

2 ? ,+∞ 时,f′(x)>0,f(x)单调递增, a ?

当 x∈?1,

?

2? 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. a? 2 =1,在 x∈(0,+∞)内,f′(x)≥0,f(x)单调递增. a

②a=2 时,

③a>2 时,0< 当 x∈?

2 <1,当 x∈?0, a ?

2? 或 x∈(1,+∞)时,f′(x) >0,f(x)单调递增, a?

?

2 ? ,1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. a ?

综上所述,当 a≤0 时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减; 当 0<a<2 时,f(x)在(0,1)内单调递增,在?1,

?

2? 内单调递减, a?

在?

?

2 ? ,+∞ 内单调递增; a ?

当 a=2 时,f(x)在(0,+∞)内单调递增; 当 a>2 时,f(x)在?0,

?

2? 内单调递增,在? a? ?

2 ? ,1 内单调递减, a ?

在(1,+∞)内单调递增. (ⅱ)证明:由(1)知,a=1 时, 2x-1 1 2 2? 3 1 2 f(x)-f′(x)=x-ln x+ 2 -? ?1-x-x2+x3?=x-ln x+x+x2-x3-1,x∈[1,2]. x 3 1 2 设 g(x)=x-ln x,h(x)= + 2- 3-1,x∈[1,2],则 f(x)-f′(x)=g(x)+h(x). x x x 由 g′(x)= x-1 ≥0,可得 g(x)≥g(1)=1, x

-3x2-2x+6 当且仅当 x=1 时取得等号.又 h′(x)= . x4 设 φ(x)=-3x2-2x+6,则 φ(x)在 x∈[1,2]单调递减. 因为 φ(1)=1,φ(2)=-10,所以? x0∈(1,2),使得 x∈(1,x0)时,φ (x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0. 所以 h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减. 1 1 由 h(1)=1,h(2)= ,可得 h(x)≥h(2)= , 2 2 当且仅当 x=2 时取得等号. 3 3 所以 f(x)-f′(x)>g(1)+h(2)= .即 f(x)>f′(x)+ 对于任意的 x∈[1,2]成立. 2 2


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