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1.必修一 第一章《集合与函数概念》导学案


数学必修 1

第一章 集合与函数概念

§ 1.1 集合 § 1.1.1 集合的含义与表示(1)
【学习目标】 1. 体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程,了解集合的含义以及集合中元素的特性,培养 抽象、概括能力. 2. 掌握―属于‖关系的意义,知道常用数集及其记法,初步体会集合语言和符号语言表示数学内容 的简洁性和准确性. 【学习重点】集合概念的形成. 【学习难点】理解集合的元素的性质. 【学习过程】 一、自主学习 (阅读课本第 2—3 页,完成自主学习) 1. 某些指定的对象集在一起就成为一个_____,也简称____.集合中的每个对象叫做这个集合的 _______. 2. 集合与元素如何表示 (1)集合通常用大写的英文字母表示,如__________ . (2)元素通常用小写的英文字母表示,如__________ . 3. 元素与集合的关系 (1)属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a_______ A,记作 a ___ A. (2)不属于:如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a_______ A,记作 a____ A. 4. 空集 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做__________,记作________. 5. 集合中元素有那些特性?

6. 常用数集有那些,分别用哪个符号来表示? 自然数集:________________________, 记作_______. 正整数集:_________________________, 记作_______. 整数集:___________________________, 记作_______. 有理数集:__________________________, 记作_______. 实数集:_____________________________,记作_______. 二、合作探究 例 1:下列各组对象能否构成集合. 若能构成集合,则指出它们是有限集、无限集还是空集. 1. 中国的所有人口的全体; 2. 山东省 2008 年应届初中毕业生; 3. 数轴上到原点的距离小于 1 的点; 5. 你们班中成绩较好的同学; 7. 所有数学难题. 例 2:用― ? ‖或― ? ‖填空: 1 _______ N 1________ Z -3________ N -3________ Q 4. 方程 x ? 0 的解的全体;
2

6. 小于 1 的正整数的全体;

0 ________ N 0________ Z

2 _______ N 2 _______ R
1

例 3:已知集合 A ? {a ? 2,2a 2 ? a} ,若 3 ? A ,求 a 的值.

三、达标检测 1. 下列各项中,不可以组成集合的是( A. 所有的正数 B. 等于 2 的数

) C. 接近于 0 的数

D. 不等于 0 的偶数 )

2. 若集合 M ? ?a, b, c? 中的元素是△ ABC 的三边长,则△ ABC 一定不是( A. 锐角三角形 3. 方程组 ? A. 0 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 ) D. 4

D. 等腰三角形

?x ? y ? 2 ? 0 的解集中元素的个数为( ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0
B. 1 C. 2

4. 已知集合 A ? {a ? 2,(a ? 1)2 , a 2 ? 3a ? 3} ,若 1? A ,求实数 a 的值.

四、学习小结 1. 如何表示集合,元素与集合有什么关系?

2. 集合中元素有那些特性? 3. 这节课我们学习了哪些常用数集?

2

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第一章 集合与函数概念

§ 1. 1 集合 § 1.1.1 集合的含义与表示(2)
【学习目标】 1. 集合的三种表示方法(列举法、描述法、图示法). 2. 能选择适当的方法正确的表示一个集合. 【学习重点】集合的表示方法. 【学习难点】描述法表示集合. 【学习过程】 一、自主学习( 阅读课本第 3—5 页,完成自主学习) 1.集合中元素的特性:______________________________________. 2.常见的数集的简写符号:自然数集___________ 整数集____________正整数集 _______ 有理 数集__________实数集___________. 3.___________________________________________________________________________________ _____________________叫做列举法. 4.___________________________________________________________________________________ _____________________叫做描述法. 5. 用列举法,描述法表示集合时应注意些什么?

二、合作探究 例 1:用列举法表示下列集合. (1) A ? {x ? N ? 0 ? x ? 5} . (2) B ? {x ? x2 ? 5x ? 6 ? 0}. (3) C ? {x ? Z ?

6 ? Z} . 3? x

例 2:用描述法表示下列集合. (1) {?1,1} .

(2)大于 3 的全体偶数构成的集合. (3)方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的所有根组成的集合.

(4)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.

3

例 3:分别判断下列各组集合是否为同一个集合. (1) A ? {x ? x ? 3 ? 2}, B ? { y ? y ? 3 ? 2} . (2) A ? {1, 2}, B ? {2,1} .

(3) M ? {( x, y) ? y ? x2 ? 1}, N ? {y ? y ? x2 ? 1} .

三、达标检测 1.集合 A={ x ? N * | x <5}的另一种表示法是( A. {0,1, 2,3, 4} B. {1, 2,3, 4} ) D. {1, 2,3, 4,5}

C. A ? {0,1, 2,3, 4,5}

2.由大于-3 小于 11 的偶数所组成的集合是( ) A. {x ? ?3 ? x ? 11, x ? Q} B. {x ? ?3 ? x ? 11} C. {x ? ?3 ? x ? 11, x ? 2k , k ? N} D. {x ? ?3 ? x ? 11, x ? 2k , k ? Z} 3.方程组 ?

?x ? y ?1 的解集是( ?x ? y ? 9

) C. {(?5, 4)} ) D. {(5, ?4)}

A. (5, ?4) B. {5, ?4} 4.集合 M ? {( x, y ) ? xy ? 0, x ? R, y ? R} 是(

A. 第一象限内的点集 B. 第三象限内的点集 C. 第四象限内的点集 D. 第二、四象限内的点集 5.已知 A ? {?1,0,1, 2}, B ? { y ? y ?? x ?, x ? A} ,则集合 B=_____________. 四、学习小结 1.列举法,描述法的区别在哪?

2.用列举法,描述法表示集合时应注意些什么?

4

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第一章 集合与函数概念

§ 1.1.2 集合间的基本关系
【学习目标】 1.理解掌握集合间的基本关系包含,真包含关系,并能用韦恩图表示. 2.区别元素与集合,集合和集合间的关系. 3.了解空集的含义. 【学习重点】子集的概念. 【学习难点】元素与子集、属于与包含之间的区别. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 6—7 页,完成自主学习) 1.对于两个集合 A 和 B ,如果集合 A 中________一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 叫作集 合 B 的________,记作_____或_____(读作: A 包含于 B 或 B 包含 A ) (1)判定 A 是 B 的子集,即判定“______________________”. (2)_______是任何集合的子集;任何一个集合是它本身的___________; 2. 对于两个集合 A 与 B , 如果_____________,反过来, ___________就说_________, 记作 A = B(读 作集合 A 等于集合 B ) ; 3.如果集合 A ?

B ,但存在元素 x ? B ,且 X ? A ,那么集合 A 叫做 B 的______,记作:______

或_______,读作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A . (1)空集是任何_____________的真子集. (2)判定 A 是 B 的真子集,即判定“_______________________________” ; 4. 含 1 个元素的集合 A 的子集个数为_____________________, 含 2 个元素的集合 A 的子集个数 为__________, 含 3 个元素的集合 A 的子集个数为____________,想一想含 n 个元素的集合 A 的子集 个数为__________. 5.含 n 个元素的集合 A 的子集个数为____,真子集个数为________,非空真子集个数为________. 6.请用维恩图表示 A 是 B 的真子集. 二、合作探究 例 1:下列命题: (1)空集无子集; (3)空集是任何集合的真子集; 其中正确的有( ) C. 2 个 D. 3 个 (3) {0}?{0,1} ;

(2)任何集合至少有两个子集; (4)若 ? ? A 则 A ? ? .

A. 0 个 B. 1 个 变式训练:在以下六个选择中 (1) ? ? {0} ; (4) 0 ? ? ; (2) {?1,0,1} ? {0, ?1,1} ;

(5) {(0,0)} ? {0} ;

? x ? 1, (6) {( x, y) ? ? } ? {(1,2)} . ?y ? 2

5

错误命题的个数是( A. 3 个 B. 4 个

) C. 5 个 D. 6 个 )

例 2:若集合 A= ? 1,2,3?,则满足 B ? A 的集合 B 的个数是( A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个

例 3:设 A ? x, x 2 , xy , B ? ? 1, x, y? 且 A ? B ,求实数 x, y 的值.

?

?

例 4:判定下列集合 A 与 B 的关系 (1) A ? ?x x是12的约数? , B ? ?x x是36的约数? (2) A ? ?x x ? 3? , (3) A ? ?x x是矩形? , 三、达标检测 1.满足 ?a? ? M ? A. 6 个 B. 7 个 {a,b,c,d}的集合 M 共有( ) C. 8 个 D. 15 个 B,则实数 a 的取值范围( ) D. a ? 2

B ? ?x x ? 5? B ? ?x x是有一个角为直角的平行四边形?

2.设 A= x1 ? x ? 2 ,B= x x ? a 若 A A. a ? 2 B. a ? 1 C. a ? 1 3.下列关系式中正确的个数是( ) ① ?a, b? ? ?a, b?;② ?a, b? ? ?b, a? ;③ ? A. 6 个 B. 5 个 C. 4 个

?

?

?

?

?0? ;④ 0? ?0?;⑤ ? ? ?0?;⑥ ? ? ?0? .
D. 小于 4 个
2

4.已知集合 A= ? 1, 1 ? x,1 ? 2 x?, B= 1, y, y

?

?, 且 A=B, 则实数 x ? ______, y ? _______.
? ?

5.已知非空集合 A ? x 2a ? 3 ? x ? 3 , B ? x ?1 ? x ? 2a ?1 (1)若 B ? A . 求实数 a 的取值范围 (2)若 A ? B ,求 a 的值.

?

?

四、学习小结 1.什么是子集、真子集,它们的不同点是什么? 2.如何判定 A 是 B 的真子集,A 和 B 是相等的?

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第一章 集合与函数概念

§ 1. 1. 3 集合的基本运算(1)
【学习目标】 1. 理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 2. 能用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 【学习重点】集合的交集与并集的概念. 【学习难点】集合的交集与并集. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 8—9 页,完成自主学习) 1.并集:一般地,由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的________记 作:_______,读作:―A 并 B‖即:A∪B=_______________________ 用 venn 图表示

求下列各图中集合 A 与 B 的并集 (用彩笔图出) B A A(B) A B A B A B 2.交集:一般地,对于两个给定的集合 A,B, 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素构成的集 合 , 叫 做 集 合 A 与 B 的 ________ 记 作 : ___________________ , 读 作 : ―A 交 B‖ 即:A∩B=_____________________ 用 venn 图表示

求下列各图中集合 A 与 B 的交集(用彩笔图出) B A A(B) A B A B A B 二、合作探究 例 1:求下列每对集合的交集. (1)C={1,3,5,7}, D={2,4,6,8} (2) A ? x x2 +2 x ? 3 ? 0 , B ? x x2 +4x ? 3 ? 0

?

?

?

?

例 2:已知 A ?

?? x, y ? 4 x ? y ? 6? , B ? ?? x, y ? 3x ? 2 y ? 7? ,求 A I

B.

例 3:已知 A ? ?x x是等腰三角形? , B ? ?x x是直角三角形? ,求 A I B .

7

例 4:已知 Q ? ?x x是有理数? , Z ? ?x x是整数? ,求 Q U Z

三、达标检测 1. 已知集合 A= y | y ? x 2 ? 1 , B= ?y | y ? x ? 1?, 则 A I B 等于( ) A. ?0,1,2? B. ?(0,1), (1,2)? C.

?

?

?x | x ? 1?

D. R

2. 设集合 A= ?x | ?5 ? x ? 1? , B= ?x | x ? 2?, 则 A U B 等于( ) A.

?x | ?5 ? x ? 1?

B.

?x | ?5 ? x ? 2?

C.

?x | x ? 1?

D.

?x | x ? 2?

3. 下列四个推理中正确的个数是( )

(AUB) ? a ?A ① a?
③ A ? B ? AU B=B A. 1 B. 2

(AI B) ? a ? (AU B) ② a?
④AUB=A ? A I B ? B C. 3 D. 4

4. 设集合 A= ?x | x ? 1? , B= ?x | x ? p?,要使 A I B =? ,则 p 应满足的条件是( ) A. p >1. B. p ? 1 C. p <1 D. p ? 1

5. 已知集合 M ? ?x | x ? ?3, 或x ? 3?, N ? ?x | x ? 1, 或x ? 4? 则 M U N =______________; M I N= ______________. 6. 若 3,4, m2 ? 3m ? 1 I ?2m, ?3? ? ??3? ,则 m =_________.
2 7. 已知集合 A ? ( x, y) | y ? x ? 2 x ,集合 B ? ?( x, y) | y ? x ? a? ,且 A I B =? ,求实数 a 的

?

?

?

?

取值范围.

四、学习小结 1. 什么是并集,什么是交集? 2. 如何求交集,并集?

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第一章 集合与函数概念

§ 1. 1. 3 集合的基本运算(2)
【学习目标】 了解全集的意义,理解补集的概念,能利用 Venn 图表达集合间的关系;渗透相对的观点. 【学习重点】补集的概念. 【学习难点】补集的有关运算. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 10—11 页,完成自主学习) 1. 全集 如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为_________. 全集通常用 字母 U 表示. 2. 补集 如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集(即 A ? U) ,则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫作___________,简称集合 A 的补集,记作_____ 即 CU A=____________________ 用 Venn 图表示:

说明:补集的概念必须要有全集的限制 3. 有关结论:

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B , CU ( A ? B) ? CU A ? CU B
二、合作探究 例 1:求下列各题: (1)若 U={2,3,4},A={4,3},则 CU A=____________. (2)若 U={x|x 是三角形},B={x|x 是锐角三角形},则 CU B=______. (3)若 U={1,2,4,8},A= ? ,则 CU A=_______. (4)若 U ? 1,3, a ? 2a ? 1 , A ? ? 1,3? CU A={4},则 a ? _______.
2

?

?

例 2:已知 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求 CU A, A ? CU A, A ? CU A.

例 3:已知 U ? R , A={x|x>5},求 CU A.

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三、达标检测 1. 设 U ? ?0,1,2,3,4?, A ? ?0,1,2,3?, B ? ?2,3,4?,则(C U A) ? (C U B)等于( ) A. ?0? B. ?0,1? C. ?0,1,4? D. ?0,1,2,3,4?

2. 设全集 U ? R, M ? ?x | x ? 1?, N ? ?x | x ? 5或x ? 0? ,则(C U M) ? (C U N)等于( ) A.

?x | 0 ? x ? 1?

B.

?x | 0 ? x ? 1?

C.

?x | 0 ? x ? 1?

D.

?x | 0 ? x ? 1?


3. 已知全集 U ? ?0,1,2?,且 CU Q ? ?2?,则集合 Q 的真子集共有(

A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 4. 已知 U 是全集,A,B 是非空集合,且 A B ? U, 那么下列集合为空集的是( A. A ? (CU B) B. B ? (CU A) C. A ? B D.(CU A) ? (CU B)



5. U ? ? 1,2?, A ? x | x 2 ? px ? q ? 0 , CU A ? ?? 1 ,则 p ? q =___________. 6. 设全集 U 为 R, A ? x | x 2 ? px ? 12 ? 0 ,

?

?

?

?

B ? x | x 2 ? 5x ? q ? 0 ,

?

?

若 (CU A) ? B ? ?2?, A ? (CU B) ? ?4?, 则求 A ? B ? _________. 四、学习小结 1. 什么是全集,补集?

2. 你学到了那些结论?

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第一章 集合与函数概念

§ 1. 2 函数及其表示 § 1. 2. 1 函数的概念(1)
【学习目标】 1. 通过丰富实例,体会函数是描述日常生活中两个变量之间依赖关系的重要数学模型,学习用集 合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 2. 理解函数的表示,了解构成函数的三要素. 【学习重点】正确理解函数的概念. 【学习难点】函数的概念及符号 y ? f ( x), x ? A 的理解. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 15—16 页,完成自主学习) 1. 课本第 15 页页给出三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存在着 怎样的对应关系? 2. 三个实例有什么共同点? 归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集 A 中______________________按照某种 对应关系 f ,在数集 B 中__________________________它对应. 记作: f : A ? B 3. 讨论:放学后骑自行车以每小时 10 公里的速度回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间是否 具有上述关系?

函数的定义: 设 A、B 是两个__________________,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 _____________________,在集合 B 中都有和它对应,那么称 f: A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数,记作: y ? f ( x), x ? A 其中,x 叫_____________,x 的取值范围 A 叫作_______________,与 x 的 值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫 _______________,显然,值域是集合 B 的 _________. 注意: ① ―y=f(x)‖是函数符号,可以用任意的字母表示,如―y=g(x)‖; ② 函数符号―y=f(x)‖中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. 4. 构成函数的要素是什么?其中起主要作用的要素是什么?

5. 已知 y=f(x)=2x+1 则 f(2)表示什么意义?f(a) 表示什么意义? 二、合作探究 1. (1)一次函数 y ? ax ? b(a ? 0) 的定义域是____________,值域也是____________;
2 (2)二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的定义域是___________,值域是 B;

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当 a > 0 时,值域 B=________________________; 当 a < 0 时,值域 B=________________________. (3)反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域是___________,值域是___________. x
y

2. 下列四个图象中,不是函数图象的是( ).

y

y

y

O
A.

x

O
B.

x
O
C.

x

O
D.

x

3. 已知函数 f ( x) ? x ? 1 (1)求 f (3) 的值; (2)求 f (a 2 ? 1) 的值.

三、达标检测 1. 集合 M ? ?x ?2 ? x ? 2? N ? ? y 0 ? y ? 2? ,给出下列四个图形,其中能表示以 M 为定义域,N 为 值域的函数关系的是( ). y 2 -2 0 A. x -2 0 B. y 2 2 x C. -2 0 y 2 2 D. x -2 0 y 2 2 x

2 2. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ,求 f (?2) , f (?a) , f (a ? 1) .

四、学习小结 1. 函数是如何定义的?

2. 函数的定义理解时应注意什么?

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第一章 集合与函数概念

§ 1. 2. 1 函数的概念(2)
【学习目标】 1. 加深理解函数的概念和表示,能够正确使用―区间‖的符号表示某集合; 2. 会求一些简单函数的定义域,并能用―区间‖符号表示; 3. 掌握判别两个函数是否相同的方法. 【学习重点】会求一些简单函数的定义域,会判别两个函数是不是同一个函数. 【学习难点】能正确求出函数的定义域. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 17 页,完成自主学习) 1. 区间及写法: 设 a、b 是两个实数,且 a < b,则: (1)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做_____________,表示为__________; (2)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做_____________,表示为__________;

或 a ? x ? b的实数 x 的集合叫做 _________________________ ,表示为 (3) 满足不等式 a ? x ? b ____________________; (4) 符 号 ―∞‖ 读 ― 无 穷 大 ‖ ; ― - ∞‖ 读 ― 负 无 穷 大 ‖ ; ―+∞‖ 读 ― 正 无 穷 大 ‖. 我 们 把 满 足
x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别表示为______________________.
2. 在数轴上表示上述区间.

2 3. 用区间表示函数 y ? ax ? b(a ? 0) 、 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 、 y ?

k (k ? 0) 的定义域与 x

值域.

二、合作探究 怎样求函数定义域? 函数的定义域通常由问题的实际背景确定, 如果只给出函数关系式 y=f(x), 而没有指明它的定义域, 那么函数的定义域就是指能使这个式子____________的实数的集合. 例 1:求下列函数的定义域 ① f ( x) ?

1 ; x?2

② f ( x) ? 3x ? 2 ; ③ f ( x) ? 想一想: ① ②

x ?1 ?

1 . 2? x
上述函数关系式有什么特点? 求定义域的方法步骤

归纳: 1. 求定义域步骤:①_________________;②__________________;
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2. 求下面几类函数的定义域的规律: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是___________________ (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是___________________ (3)如果 f(x)是二次根式,那么函数的定义域是______________ 例 2:完成下列问题 ①. 函数 y=

x2 与 y=x 是不是同一个函数?为什么? x

②. 下列各组函数中,表示同一函数的是( ). A. y ? 1, y ?
x x

B. y ?

x ? 1 x ? 1, y ? x 2 ? 1

C. y ? x, y ? 3 x3 三、达标检测

D. y ?| x |, y ? ( x )2

1. 已知函数 g (t ) ? 2t 2 ? 1 ,则 g (1) ? ( A. -1 B. 0 C. 1

) D. 2

2. 函数 f ( x) ? 1 ? 2 x 的定义域是( )
1 1 1 1 A. [ , ??) B. ( , ??) C. (??, ] D. (??, ) 2 2 2 2 3. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3 ,若 f (a) ? 1 ,则 a=( )

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

4. 函数 y ? x 2 , x ?{?2, ?1,0,1,2} 的值域是_______________. 5. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数? ① y1 ? ② y1 ?

( x ? 3)( x ? 5) x?3

y2 ? x ? 5

x ? 1 x ? 1 y2 ? ( x ? 1)(x ? 1)

③ f1 ( x) ? ( 2x ? 5 ) 2 四、学习小结 1. 区间有那几种类型?

f 2 ( x) ? 2x ? 5

2. 如何求定义域?

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第一章 集合与函数概念

§ 1. 2. 2 函数的表示法(1)
【学习目标】 1. 掌握函数的三种表示方法:列表法、图象法、解析法,体会三种表示方法的特点; 2. 掌握函数图象的画法及解析式的求法. 【学习重点】函数的三种表示方法及特点. 【学习难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 17-20 页,完成自主学习) 1. 初中学过表示函数的方法是__________________________________________. (1)解析法___________________________________________________________; (2)图象法___________________________________________________________; (3)列表法___________________________________________________________; 2. ①例题中的三种表示法各有什么特点?

②每天 24 小时的时间和温度之间能不能构成函数关系?若是函数关系,能不能用解析式表示?

③下面的问题选择恰当的方法表示 股市走势图、银行利率表、匀速运动中位移和时间的关系

二、合作探究 例 1:一种钢笔每只 2 元,买 x 只(1≤X≤4)需钱 y(元) ,试用三种方法表示此实例中的函数关系.

例 2:下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
第1次 王 伟 张 城 赵 磊 班级 平均分 88. 2 78. 3 85. 4 80. 3 75. 7 82. 6 98 90 68 第2次 87 76 65 第3次 91 88 73 第4次 92 75 72 第5次 88 86 75 第6次 95 80 82

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

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例 3:已知 f ( x) 是一次函数, 2 f (2) ? 3 f (1) ? 5 , 2 f (0) ? f (?1) ? 1 ,求 f ( x)

三、达标检测 1. 如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长为 x ,面积为 y ,试将 y 表示成 x 的函数.

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2. 已知二次函数 y ? f ( x) 的最小值等于 4,且 f (0) ? f (2) ? 6 ,求 f ( x ) 的解析式.

3. 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ) 的解析式.

四、学习小结 1. 函数的三种表示法分别是什么,各有什么优点?

2. 你学会了求解析式的那些方法?

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第一章 集合与函数概念

§ 1. 2. 2 函数的表示法(2)
【学习目标】 1. 掌握函数图象的画法; 2. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 【学习重点】能正确求出分段函数解析式,画出图像. 【学习难点】能正确求出分段函数解析式. 【学习过程】 一、自主学习 1. 函数的表示方法及特点是什么?

2. 阅读课本第 21 页例 5、例 6,完成下列问题 (1)什么是分段函数?能不能说课本例 6 的分段函数是四个函数?

(2)举出几个分段函数的例子.

二、合作探究 例 1:画出函数 f ( x ) =| x ? 1 |的图象.

例 2:已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地 停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,求汽车离开 A 地的距离 S 表示为时间 t(小时)的函 数表达式,并用图像表示.

?2 x ? 3, x ? ( ??,0) 例 3:已知 f ( x) ? ? 2 ,求 f (0) 、 f (?1) 、 f [ f (?1)] 的值. ?2 x ? 1, x ? [0, ??)

三、达标检测 1. 某水果批发店,100 kg 内单价 1 元/kg,500 kg 内、100 kg 及以上 0. 8 元/kg,500 kg 及以上
17

0. 6 元/kg,试写出批发 x 千克应付的钱数 y(元)的函数解析式.

? x ? 2, ( x ≤ ?1) ? 2. 设 f ( x) ? ? x 2 , (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x =( ) ? 2 x, ( x ≥ 2) ?

3 2 3. 函数 y ?| x ? 1| 的图象是( ).

A. 1

B. ? 3

C.

D.

3

A B C D 4. 武威市出租车的收费为 2 千米以内(不含 2 千米),按起步费收 4 元,超过 1 千米按每千米加收 1 元, ,若将出租车费设为 y,所走千米数设为 x,试写出 y=f(x)(0< x ≤5)的表达式,并画出其图象.

四、学习小结 1. 什么是分段函数?

2. 如何求分段函数的值?

3. 如何画含有绝对值的函数图象?

18

数学必修 1

第一章 集合与函数概念

§ 1. 2. 2 函数的表示法(3)
【学习目标】 1. 了解映射的概念及表示方法; 2. 结合简单的对应图示,了解一一映射的概念; 3. 能正确判断映射和函数. 【学习重点】映射的概念,映射的判断. 【学习难点】映射的理解. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 22 页,完成自主学习) 1. 什么是映射?映射怎样表示?

2. 函数和映射是什么关系?

3. 下图所示的对应中,哪些是 A 到 B 的映射? a b c A 2 B a b 2 A c B 1 2 3 A a b c A

1

1

a b B

1 2 B

二、合作探究 例 1:判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射,哪些不是,为什么? (1)A= x | x ? R* , B ? ?y | y ? R? , f :x?y?? x

?

?

(2)A=R,B= ?0,1?, 对应关系 f: x ? y ? ?

?1, x ? 0; ?0,x ? 0;
1 ; x

(3)A=R,B= [0,1], 对应关系 f: x ? y ?

19

(4)A= ?0,1,2,9?, B ? ?0,1,4,9,64?,对应关系 f: a ? b ? (a ? 1) 2 .

例 2:下列对应是否是从 A 到 B 的映射,能否构成函数? (1)A=R,B=R,f:x ? y ?

1 x ?1

(2)A= ?a | a ? n, n ? N ? ?,B= ?b | b ?

? ?

1 1 ? , n ? N ? ?, f : a ? b ? n a ?

(3)A=[0,+ ? ],B=R,f:x ? y 2 ? x

(4)A={x|x 是平面 M 内的矩形},B={x|x 是平面 M 内的圆},f:作矩形的外接圆.

三、达标检测 1. 设数集 A={a,b,c},集合 B=R,以下对应关系中,一定能建立 A 到 B 的映射的是( A. 对 A 中的数开平方, B. 对 A 中的数取倒数 C. 对 A 中的数求算术平方根, D. 对 A 中的数开立方 2. 已知 A= ?? 1,1? ,映射 f:A ?A,则对 x∈A,下列关系中肯定错误的是( )

)

A. f(x)=x B. f(x)=-1, C. f(x)=x2 D. f(x)=x+2 3. 已知 A={x|0≤x≤3},B={y|0≤y≤3},下列从集合 A 到集合 B 的对应关系不是映射的是(

),

1 2 A f: x ? y ? x 2 1 2 C. f : x ? y ? x 4

1 2 B. f: x ? y ? x 3
D. f : x ? y ?

1 2 x 5

四、学习小结 1. 什么是映射?映射怎样表示?

2. 函数和映射是什么关系?

20

数学必修 1

第一章 集合与函数概念

§ 1. 3 函数的基本性质 § 1. 3. 1 单调性与最大(小)值(1)
【学习目标】 1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; 2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 【学习重点】理解函数的单调性及其几何意义. 【学习难点】定义判断函数在某区间上的单调性. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 27-29 页. 完成自主学习) 1. 画出函数 f ( x) ? x ? 2 、 f ( x) ? x 2 的图象.

2. 单调性相关概念 思考:根据 f ( x) ? x ? 2 、f ( x) ? x2 ( x ? 0) 的图象进行讨论: 随 x 的增大, 函数值怎样变化?当 x 1 >x 2 时,f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样?

新知:设函数 y =f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量________, 当______时,都有_____________,那么就说 f(x)在区间 D 上是_________________________. 试试:仿照增函数的定义说出减函数的定义.

新知:如果函数 f(x)在某个区间 D 上是___________或______________,就说 f(x)在这一区间上具有 (严格的)______________,区间 D 叫 f(x)的______________. ①图象如何表示单调增、单调减? ②所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系?

③函数 f ( x) ? x 2 的单调递增区间是_______________,单调递减区间是______________. 二、合作探究 例 1:根据下列函数的图象,指出它们的单调区间及单调性,并运用定义进行证明.
21

(1) f ( x) ? ?3x ? 2 ;

(2) f ( x) ?

1 . x

k (k 为正常数) ,告诉我们对于一定量的气体,当其体积 V 增大 V 时,压强 p 如何变化?试用单调性定义证明.
例 2:物理学中的玻意耳定律 p ?

证明函数单调性的步骤: 第一步:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; 第二步:计算 f(x 1 )-f(x 2 )至能判断符号为止(用通分、分解因式、配方、分子分母有理化等方法将差 化为因式相乘除、完全平方式等形式); 第三步:判断差的符号; 第四步:下结论. 三、达标检测 1. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2x 的单调增区间是( ) A. (??,1] B. [1, ??) C. R D. 不存在 2. 如果函数 f ( x) ? kx ? b 在 R 上单调递减,则( ) A. k ? 0 B. k ? 0 C. b ? 0 3. 在区间 (??,0) 上为增函数的是( ) A. y ? ?2 x B. y ? D. b ? 0 D. y ? ? x 2

2 x

C. y ?| x |

4. 函数 y ? ? x3 ? 1 的单调性是_____________________. 5. 函数 f ( x) ?| x ? 2 | 的单调递增区间是______________,单调递减区间是_____________. 四、学习小结 1. 描点法的步骤是什么? 2. 证明函数单调性的步骤是什么?

22

数学必修 1

第一章 集合与函数概念

§ 1. 3. 1 单调性与最大(小)值(2)
【学习目标】 1. 理解函数的最大(小)值及其几何意义; 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 【学习重点】函数的最大(小)值及其几何意义. 【学习难点】运用函数图象理解和研究函数的性质. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 30-32 页,完成自主学习) 1. 指出函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调区间及单调性.

2. 函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的最小值为_________________, f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最大 值为__________________. 3. 增函数、减函数的定义及判别方法是什么?

函数最大(小)值的概念 先完成下表, 函数
f ( x) ? ?2 x ? 3 f ( x) ? ?2 x ? 3 , x ? [?1, 2]

最高点

最低点

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1, x ? [?2, 2]

新知:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于_____________,都有 f(x)≤M;存 在___________,使得________=M. 那么,称 M 是函数 y =f(x)的______________. 试试:仿照最大值定义,给出最小值的定义.

二、合作探究 例 1:―菊花‖烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面 的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 h (t) = – 4. 9t 2 + 14. 7t + 18, 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最 佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1m)?
23

例 2:求 y ?

3 在区间[3,6]上的最大值和最小值. x?2

例 3:已知函数 y ? ( x ? 1)2 ? 2, x ?[0,1] 求出它的最小值,最大值;如果是 x ? [?2,1] 呢?

三、达标检测 1. 函数 f ( x) ? 2x ? x 2 的最大值是( ). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

2. 函数 y ? ? x2 ? 1, x ?[?1,2] 的最大值为______________,最小值为______________. 3. 求 y ?

3? x , x ?[3,6] 的最大值和最小值. x?2

4. 一段竹篱笆长 20 米,围成一面靠墙的矩形菜地,如何设计使菜地面积最大?

四、学习小结 什么是最大值?最小值?

24

数学必修 1

第一章 集合与函数概念

§ 1. 3. 2 奇偶性
【学习目标】 1. 理解函数的奇偶性及其几何意义; 2. 学会判断函数的奇偶性; 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 【学习重点】函数的奇偶性及其几何意义. 【学习难点】判断函数的奇偶性. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本 33-36 页,完成自主学习) 1. 在同一坐标系中分别作出下列两组函数的图象: (1) f ( x) ? x 、 f ( x) ?

1 、 f ( x) ? x3 ; x

(2) f ( x) ? x 2 、 f ( x) ?| x | .

2. 观察各组图象有什么共同特征?函数解析式在函数值方面有什么特征?

3. 奇函数、偶函数的概念 一般地,对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x,都有___________ ,那么函数 f ( x) 叫__________. 仿照偶函数的定义给出奇函数的定义.

4. 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别?

奇函数的定义域关于_________对称,图象关于______对称. 偶函数的定义域关于_________对称,图象关于_______对称. 1 5. 试试:已知函数 f ( x) ? 2 在 y 轴左边的图象如图所示,画 x 的图象. 二、合作探究 例 1:判别下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? 3 x 4 ; (2) f ( x) ? 4 x3 ;

出它 右边

25

(3) f ( x) ? ?3x 4 ? 5 x 2 ;

(4) f ( x) ? 3 x ?

1 . x3

例 2:已知 f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为 4,那么 f(x)在[-7,-3]上是______函数, 且有最_____ 值为________.

三、达标检测 1. 对于定义域是 R 的任意奇函数 f ( x) 有( ). A. f ( x) ? f (? x) ? 0 B. f ( x) ? f (? x) ? 0 C. f ( x)?f (? x) ? 0

D. f (0) ? 0

2. 已知 f ( x) 是定义 (??, ??) 上的奇函数,且 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上是减函数. 下列关系式中正确的 是( ) A. f (5) ? f (?5) B. f (4) ? f (3) C. f (?2) ? f (2) D. f (?8) ? f (8)

3. 下列说法错误的是( ).
1 是奇函数 x B. f ( x) ?| x ? 2 | 是偶函数 C. f ( x) ? 0, x ? [?6, 6] 既是奇函数,又是偶函数

A. f ( x) ? x ?

D. f ( x) ?

x3 ? x 2 既不是奇函数,又不是偶函数 x ?1

四、学习小结 1. 什么是奇函数?什么是偶函数?

2. 奇函数,偶函数的图象各有什么特点?

26

数学必修 1

第一章 集合与函数概念

本章小结与检测
一、知识网络
集合的概念 元素与集合的关系 集合 集合间的基本关系 集合的基本运算 集 合 与 函 数 概 念 函数 函数的性质 分段函数 映射 映射的概念 映射的判定 子集 空集与真子集 集合的表示 集合中元素的属性

交集 并集 全集与补集 定义域 值域 对应法则 列表法 图象法 解析法 定义域、值域 单调性与最值 奇偶性

函数的概念

函数的表示法

二、达标检测 (一)选择题 1. 设集合 A= ?x | ?5 ? x ? 1? , B= ?x | x ? 2?, 则 A ? B 等于( ) A.

?x | ?5 ? x ? 1?

B.

?x | ?5 ? x ? 2?

C.

?x | x ? 1?

D.

?x | x ? 2?

2. 若 A={a,b},B ? A,则集合 B 中元素的个数是( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 0 或 1 或 2 3. 函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的公共点数目是( ). A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 1 或 2 4. 设函数 f(x)=2x+3,则 f(x+2)的表达式是( ). A. 2x+1 B. 2x-1 C. 2x-3 D. 2x+7 5. 设集合 A={x | 0≤x≤6},B={y | 0≤y≤2},下列从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是( A. f:x→y=

).

1 1 1 1 x B. f:x→y= x C. f:x→y= x D. f:x→y= x 2 4 6 3 6. 有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R). 其中正确命题的个数是( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 7. 函数 y=x -6x+10 在区间(2,4)上是( ).
27

A. 递减函数 B. 递增函数 C. 先递减再递增 2 8. 二次函数 y=x +bx+c 的图象的对称轴是 x=2,则有( ). A. f(1)<f(2)<f(4) B. f(2)<f(1)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1) (二)填空题 9. 集合{3,x,x2-2x}中,x 应满足的条件是 . 10. y=(2a-1)x+5 是减函数,求 a 的取值范围 . 11. 函数 y ? x 2 , x ?{?2, ?1,0,1,2} 的值域是

D. 先递增再递减

12. 建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为 元. (三)解答题 13. 已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2},且 M=N,求 a,b 的值.

14. 证明 f(x)=x3 在 R 上是增函数.

15. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3x4+

1 ; x2

(2)f(x)=(x-1)

1+x ; 1-x

1+ 1 -x ; (3)f(x)= x-

1 + 1-x 2 . (4)f(x)= x 2-

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