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优化方案数学必修3(人教A版)第三章3.3 3.3.1应用案巩固提升


[A 基础达标] 1.下列关于几何概型的说法中,错误的是( ) A.几何概型是古典概型的一种,基本事件都具有等可能性 B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析:选 A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型,故选 A. 2.在圆心角为 90°的扇形中,以圆心 O 为起点作射线 OC,则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°的概率为( ) 1 2 A. B. 3 3 1 3 C. D. 4 4 解析:选 A.记 M=“射线 OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°” .如图所示,作射 线 OD,OE 使∠AOD=30°,∠AOE=60°. 当 OC 在∠DOE 内时,使得∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°,此时的测度为度数 30, 30 1 所有基本事件的测度为直角的度数 90.所以 P(M)= = . 90 3 3. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取点, 则该点落在三棱锥 A1?ABC 内的概率是( ) 1 1 A. B. 3 6 1 1 C. D. 2 4 解析:选 B.体积型几何概型问题. VA1-ABC 1 P= = . VABCD-A1B1C1D1 6 4.已知在一个边长为 2 的正方形中有一个圆,随机向正方形内丢一粒豆子,若落入圆 内的概率为 0.3,则该圆的面积为( ) A.0.6 B.0.8 C.1.2 D.1.6 解析: 选 C.记“豆子落入圆内”为事件 A, 豆子落入正方形内任一点的机会都是等可能 S圆 的,这是一个几何概型,P(A)= ,所以 S 圆=P(A)×S 正=0.3×22=1.2.因此,圆的面积为 S正 1.2. 5.已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的最大边是 AB”发生 1 AD 的概率为 ,则 =( ) 2 AB 1 1 A. B. 2 4 3 7 C. D. 2 4 解析:选 D. 1 由于满足条件的点 P 发生的概率为 ,且点 P 在边 CD 上运动,根据图形的对称性当点 2 1 P 在靠近点 D 的 CD 边的 分点时,EB=AB(当点 P 超过点 E 向点 D 运动时,PB>AB).设 4 3 AB=x,过点 E 作 EF⊥AB 交 AB 于点 F,则 BF= x.在 Rt△FBE 中,EF2=BE2-FB2=AB2 4 7 7 AD 7 -FB2= x2,即 EF= x,所以 = . 16 4 AB 4 6. 如图,在正方形围栏内均匀撒米粒,一只小鸡在其中随意啄食,此刻小鸡正在正方形的 内切圆中的概率是________. 解析: 设事件 A={小鸡正在正方形的内切圆中},则事件 A 的几何区域为内切圆的面积 S=πR2(2R 为正方形的边长),全体基本事件的几何区域为正方形的面积,由几何概型的概 πR2 π π 率公式可得 P(A)= = ,即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为 . 4 (2R)2 4 π 答案: 4 7.有一个圆面,圆面内有一个内接正三角形,若随机向圆面上投一镖都中圆面,则镖 落在三角形内的概率为________. 解析:设圆面半径为 R,如图所示: 1 △ABC 的面积 S△ABC=3· S△AOC=3· AC·OD=3· CD· OD=3· Rsin 60°·Rcos 60°= 2 3 3R2 , 4 S△ABC 3 3R2 3 3 所以 P= = = . πR2 4πR2 4π 3 3 答案: 4π

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