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2017届湖南长沙长郡中学高三摸底考试数学(理)试题(解析版)


2017 届湖南长沙长郡中学高三摸底考试数学(理)试题
一、选择题 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | y ? ln(2 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. (1,3) 【答案】C 【解析】试题分析:由题意 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | 2 ? x ? 0} ? {x | x

? 2} ,所 以 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 2} .故选 C. 【考点】集合的运算. 2.已知 z ? ( B. (1,3] C. [?1, 2) D. (?1, 2) )

1 ? i 2016 ) ( i 是虚数单位) ,则 z 等于( 2
C.0 D. i



A.-1 B.1 【答案】B

1 ? i 2 1 ? 2i ? i 2 1? i 4 )? 1 【 解 析 】 试 题 分 析 : ( , 所 以 ) ? ? ?i , 则 ( 2 2 2
1 ? i 2016 1 ? i 4 504 ( ) ? [( ) ] ? 1 .故选 B. 2 2
【考点】复数的运算.

?2 x ? y ? 2 ? 0 y?x ? 3.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 s ? 的取值范围是( x ?1 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. [1, ]



3 4

B. [ ,1]

1 2

C. [ , 2]

1 2

D. [ ?

1 ,1] 2

【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 作 出 可 行 域 , 如 图 ΔABC 内 部 ( 含 边 界 ),

y ? x y ? 1 ? ( x ? 1) y ? 1 y ?1 ? ? ? 1, 其中 表示点 P(?1, ?1) 与点 ( x, y ) 连线的斜率, x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 1 1 y ?1 1 ? 2 ,所以 ? ? s ? 1 .故选 D. kPB ? 2 , k PC ? ,即 ? 2 2 x ?1 2

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【考点】简单线性规划的非线性应用. 4 .等比数列 {an } 中, a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x? a ,则 ? ( x? a 1 )( x? a 2 ) 8 )

f ' (0) ? (
A. 2
6

) B. 2
9

C. 2

12

D. 2

15

【答案】C 【 解















f '( x) ? ( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) ? x( x ? a2 )?( x ? a8 ) ? x( x ? a1 )( x ? a3 )?( x ? a8 ) ? ? ? x( x ? a1 )?( x ? a7 ) ,
所以 f '(0) ? a1a2a3 ?a8 ? (a1a8 )4 ? (2 ? 4)4 ? 212 .故选 C. 【考点】导数的运算,等比数列的性质. 5.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? 移

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向左平


? 个单位后得到函数 g ( x) ? cos ? x 的图象,则函数 f ( x ) 的图象( 3 ? 5? A.关于直线 x ? 对称 B.关于直线 x ? 对称 12 12 ? 5? , 0) 对称 C.关于点 ( , 0) 对称 D.关于点 ( 12 12
【答案】C 【解析】试题分析:由题意 T ? 得

2π π ? π , ω ? 2 ,把 g (x) ? cos2 x 向右平移 个单位 ω 3 ? cos(2 x ? 2π ) 3

π f ( x) ? cos 2( x ? ) 3

π 2π 7π π π 5π 3 ? sin( ? 2 x ? ) ? sin(?2 x ? ) ? sin(2 x ? ) , f ( ) ? 0 , f ( ) ? ,因 2 3 6 6 12 12 2
此函数图象关于点 (

π , 0) 对称,故选 C. 12

【考点】三角函数的图象变换,函数的对称性.
? 6 .已 知边 长为 2 3 的 菱形 ABCD 中 , ?BAD ? 60 , 沿 对角线 BD 折 成二面角

A ? BD ? C 为 120? 的四面体 ABCD ,则四面体的外接球的表面积为(
A. 25? 【答案】D B. 26? C. 27? D. 28?



【解析】试题分析:如图 1,取 BD 中点 E ,连接 AE, CE ,由已知可得平面 ACE ? 平 面 BCD ,则外接球球心 O 在面 ACE 内,如图 2, OG ? CE , OE 垂直平分 AC ,其 ?CEA ? 120? , 中 CG ? 2GE(实际上 G 是 ΔBCD 的外心) , 分别解 ΔOCG 和 ΔOEG 得 R ? OA ? OC ? 7 ,外接球的表面积为 S ? 4π ? ( 7)2 ? 28π .故选 D. 第 2 页 共 16 页

A O

A

B C 图1

E

D C 图2 G E

【考点】多面体与外接球,球的表面积. 【名师点睛】在长方体或正方体中其对角线就是外接球的直径,因此本题实质就是求长 方体的对角线长,从而只要求得三棱长即可.对其他的组合体的外接球要注意应用公式

R 2 ? r 2 ? d 2 求解,对一个多面体来讲,其外接球球心 O 在某个面的上射影一定是这个
面上多边形的外心,此结论对解决外接球问题作用很大. 7.执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8,则判断框内可填入的条件是( )

A. S ?

11 ? 12

B. S ?

3 ? 4

C. S ?

25 ? 24

D. S ?

137 ? 120

【答案】A 【解析】试题分析:由程序框图,输出时 S ? 因此判断框内可填入的条件是 S ?

1 1 1 1 25 1 1 1 11 ? ? ? ? ,但 ? ? ? , 2 4 6 8 24 2 4 6 12

11 ? ,故选 A. 12


【考点】程序框图. 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

第 3 页 共 16 页

A.

11 3 6

B. 3

C.

5 3 3

D.

4 3 3

【答案】B 【解析】试题分析:由三视图知该几何体如图 ABCDE ,可分为两个三棱锥 B ? ADE 和 D ? BCE ,因此 V ?
D

1 1 1 1 ? ( ? 2 ? 3) ? 2 ? ? ( ? 2 ?1) ? 3 ? 3 .故选 B. 3 2 3 2

A

E

B

C

【考点】三视图,体积. 9 .
2




1 1

a?
2

??

1

2

?2

(

2

4? x

? e ) ,

x 若

d
1

x

( ?a

1

x0 0 ? )

b? ?6

b ?

b b1 b2 2 0 ?? 值为 x, 则 2 2 ? ?b 2 ?(0 ? x 2016 b ? 1 的) 6 2 2 22016

x

6

( ) A.0 B.-1 【答案】B 【解析】试题分析:

C.1

D. e
2 2 1 1 ? ? ? 22 ? 2? , ? exdx ? ex 2 ? 0 ,所以 ?2 2 ?2 2

?

2

?2

4 ? x 2 dx ?

a? x?

1

?

2 2016 ? (2? ? 0) ? 2 , 由 (1? 2 得 b0 ? 1 , 令 x2 )0 1 6? b ? ?2 b0 1 6 x 0 ?b 1 x? b 2 x ?

b b b b b b 1 ? ? ? 2016 ? ? ? 2016 ? ?1 .故选 B. 得 0 ? b0 ? 1 ? 2 ,所以 1 ? 2 2 2016 2 2 2 2 2 2 2 22016

【考点】微积分基本定理,二项式定理的应用. 10.一个不透明的袋子装有 4 个完全相同的小球,球上分别标有数字为 0,1,2,2,现甲 从中摸出一个球后便放回,乙再从中摸出一个球,若摸出的球上数字大即获胜(若数字 相同则为平局) ,则在甲获胜的条件下,乙摸 1 号球的概率为( ) A.

5 16

B.

9 16

C.

1 5

D.

2 5

【答案】D 【解析】试题分析:甲摸的球数字在前,乙摸的球数字在后,则甲胜的情况有 10,20,

第 4 页 共 16 页

21,20,21 共 5 种,其中乙摸 1 号球的有 2 种,因此概率为 P ? 【考点】古典概型.

2 . 5

11. 已知直线 x ? 9 y ? 8 ? 0 与曲线 C : y ? x3 ? px2 ? 3x 相交于 A, B , 且曲线 C 在 A, B 处的切线平行,则实数 p 的值为( A.4 B.4 或-3 【答案】B C.-3 或-1 ) D.-3

【解析】 试题分析: 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 y ? x3 ? px2 ? 3x 得 y ' ? 3x2 ? 2 px ? 3 ,
2 2 由题意 3x1 因为 x1 ? x2 , 则有 x1 ? x2 ? ? 2 px1 ? 3 ? 3x2 ? 2 px2 ? 3 ,

2 x ?8 p. 把y? 3 9

代入 y ? x3 ? px2 ? 3x 得 9 x3 ? 9 px2 ? 26x ? 8 ? 0 ,由题意 x1 , 解 , 即
3 9x1 ? 9 px12 ? 26x1 ? 8 ? 0

2 p ? x1 都是此方程的 3
① ,

2 2 2 9( p ? x1 )3 ? 9 p( p ? x1 ) 2 ? 26( p ? x1 ) ? 8 ? 0 , 化 简 为 3 3 3 4 5 3 2 2 9 x13 ? px ? 9 1 x ? p ? 2 1p? 6 ? 8 ②,把①代入②并化简得 p3 ?0 13 p ?12 ? 0 , 3 3
即 ( p ? 1)( p ? 3)( p ? 4) ? 0 ,p ? ?1, ?3, 4 , 当 p ? ?1 时, ①②两式相同, 说明 x1 ? x2 , 舍去.所以 p ? ?3, 4 .故选 B. 【考点】导数的几何意义. 【名师点睛】本题考查了导数的几何意义,设切点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,第一由 这两点处切线平行可得出 x1 ? x2 ?
3

2 p ,第二, A, B 两点是直线与函数图象的交点, 3
2

因此有 x1 , x2 是联立后的方程 9 x ? 9 px ? 26x ? 8 ? 0 的解, 下面是关键的一步, 由 ( 1) 知 x1 ,

2p ? x1 都是这个方程的解,因此可代入后两式比较从而得出只含有 p 的方程,可 3

解出 p 值, p ? ?1 代入检验是我们都容易忘记的,是易错点,解题时要注意. 12.数列 {an } 满足 a1 ?

4 1 1 1 , an?1 ?1 ? an (an ?1)(n ? N * ) 且 Sn ? ? ? ? ? ,则 3 a1 a2 an
) D. {0, 2}

Sn 的整数部分的所有可能值构成的集合是(
A. {0,1, 2} 【答案】A 【解析】 试题分析:S1 ? B. {0,1, 2,3} C. {1, 2}

3 75 75 81 ? ? 2 ,因此整数的可能值已有 0, , S2 ? , S3 ? 1, 4 52 52 133

2 , 又 由 an?1 ?1 ? an (an ?1) 得

1 an?1 ? 1

?

1 1 1 , 所 以 ? ? an (an ? 1) an ? 1 an

第 5 页 共 16 页

1 1 1 1 1 ,由此可得 Sn ? ? ? ? an an ? 1 an ?1 ? 1 a1 ? 1 an?1 ? 1 ? 3? 1 an ?1 ? 1
, 又 由 an?1 ?1 ? an ( an ?1)知 当 an ? 1(n? N *)时 , 必 有 an ?1 ? 1 , 而

a1 ?

4 1 ? 1 ,因此对所有正整数 n , an ? 1 ,因此 Sn ? 3 ? ? 3 ,所以 Sn 的整数 3 an ?1 ? 1

部分只可能为 0,1,2,故选 A. 【考点】数列的递推公式,裂项求和法. 【名师点睛】解本题时,从选择支的情况看可先计算一些特殊值如 S1 , S2 , S3 ,从而发 现可取的整数已经为 0,1,2,再计算数字比较复杂了,因此要对和 Sn 进行估算,最好 能求和,从已知出发正好有

1 an?1 ? 1

?

1 1 1 ,这里 ? ,从而求出和 Sn ? 3 ? an ? 1 an an ?1 ? 1

要注意还要证明 an ? 1 才能得出结论,否则易出错. 13.选修 4-5:不等式选讲 (1)设函数 f ( x) ?| x ?

5 | ? | x ? a |, x ? R ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 在 R 上恒成 2

立,求实数 a 的最大值; (2)已知正数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? 1,求

3 2 1 ? ? 的最小值. x y z

【答案】 (1)

5 ; (2) 16 ? 8 3 . 4

【解析】试题分析: (1)绝对值不等式恒成立,可先由绝对值的性质求得 f ( x ) 的最小 值为 a ?

5 5 ,然后只要解不等式 | ? a |? a 即可得 a 的最大值; (2)观察已知与待求值 2 2

式 , 用 柯 西 不 等 式 可 得 , 关 键 是 凑 出 柯 西 不 等 式 的 形 式

3 2 1 3 2 1 ? ? ? ( x ? 2 y ? 3z )( ? ? ) ,应用柯西不等式即得. x y z x y z
5 5 5 | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a ) |?| a ? | , 2 2 2 5 5 5 所以 f ( x ) 的最小值为 | ? a | ,从而 | ? a |? a ,解得 a ? , 2 2 4 5 因此 a 的最大值为 . 4
试题解析: (1) 由绝对值的性质得 f ( x) ?| x ? (2)由于 x, y, z ? 0 ,所以

3 2 1 3 2 1 ? ? ? ( x ? 2 y ? 3z )( ? ? ) x y z x y z

第 6 页 共 16 页

?( x

3 2 1 2 ? 2y ? 3z ) ? ( 3 ? 2 ? 3)2 ? 16 ? 8 3 x y z
x 2 y 3z ? ? ,即 x : y : z ? 3: 3 :1 时,等号成立. 3 2 1 x y z

当且仅当



3 2 1 ? ? 的最小值为 16 ? 8 3 . x y z

【考点】绝对值不等式,柯西不等式.

二、填空题 14 . 已 知 m ? 3 为 . 【答案】-6480 【解析】试题分析: m ? 3

?

?

0

sin xdx , 则 二 项 式 (a ? 2b ? 3c)m 的 展 开 式 中 ab2cm?3 的 系 数

?

?

0

sin xdx ? 3(? cos x)

?
0

? 6 , (a ? 2b ? 3c)6 展开式通项为

k k i 1 2 T ? C6 a C6?k (2b)i (?3c)6?k ?i ,因此 ab 2 c 3 的系数为 C6 C5 ? 22 ? (?3)3 ? ?6480 .

【考点】微积分基本定理,二项式定理的应用. 15.已知等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S3 ? 0, S5 ? 5 ,数列 { 项的和为 【答案】 ? .

1 } 的前 2016 a2 n?1a2 n?1

2016 4031

【解析】试题分析:由题意得 ?

?3a1 ? 3d ? 0 ? a1 ? ?1 ,则 ? , an ? ?1 ? (n ? 1) ? n ? 2 , ?d ? 1 ?5a1 ? 10 d ? 5

1 1 ? a2 n?1a2 n?1 (2n ? 3)(2n ? 1)
? 1 1 1 ( ? ) 2 2n ? 3 2n ? 1
, 所 以

1 1 1 1 1 1 1 1 2016 . ?? ? ? ( ? )? ( ? )?? a1a3 a4031a4033 2 a1 a4033 2 ?1 4031 4031
【考点】等差数列的通项公式,裂项相消法求和. 16 . 已 知

AD 是 ?ABC 的 中 线 , A D ??

? ? ? ?

? ? ?? ? ? ? ? A ?B ? ( A , ? C? ? , ) R

???? ??? ? ??? ? ?A ? 1200 , AB ? AC ? ?2 ,则 | AD | 的最小值是
【答案】1

.

第 7 页 共 16 页

【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 意 AD ?

????

??? ? ???? ? ???? 1 ??? ( AB ? AC ) , 记 A B ? , c AC ? 2

b则 ,

? ? ?? ? ? ?? bc ? 4 , ,2 A B? A C ? b cc o s 1 2? 0? ?
???? 2 1 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ???? 1 AD ? ( AB ? AC ? 2 AB ? AC ) ? (c 2 ? b 2 ? 4) ,显然 b2 ? c2 ? 2bc ? 8(当且仅 4 4 ???? ???? 2 1 当 b ? c 时取等号) ,所以 AD ? (8 ? 4) ? 1 ,即 AD 最小值为 1. 4
【考点】向量的线性运算,向量的数量积. 【名师点睛】本题考查向量的数量积,向量的线性运算,首先由向量的线性运算知识得

1 ,这是关键,否则此题将无处下手,因此我们应该熟记数学 2 ???? 2 ???? 2 上的一些结论,其次向量的模转化为向量的数量积,即 AD ? AD ,计算后结合基本
由中线知题中 λ, μ 都等于 不等式可立即得出结论. 17.已知函数 f ( x) ? 3mx ?

1 ? (3 ? m) ln x ,若对任意的 m ? (4,5) , x1 , x2 ?[1,3] , x
.

恒有 (a ? ln 3)m ? 3ln 3 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 成立,则实数 a 的取值范围是 【答案】 [

37 , ?? ) 6 1 3? m 1 1 ? ,设 t ? ,由 x ? [1, 3] 知 t ? [ ,1] , 2 x x 3 x

【解析】试题分析: f '( x) ? 3m ?

y ? t 2 ? (3 ? m)t ? 3m 的 对 称 轴 为 t ?
ym i ? n 1 1 ? (3 ? m ) ?3 m 9 3

1 2 1 1 ?( , ) , 因 此 t ? 时 , 3 2(3 ? m) 7 4

f ( x)min

8 8 ? m ? ,即 0 ? f '(x ) ? 0 ,故 f ( x) 在 [1,3] 上递增,故 3 9 1 ? f (1) ? 3m ?1 , f ( x) max ? f (3) ? 9m ? ? (3 ? m) ln 3 , 因 此 不 等 式 3
恒 成 立 , 即

(a ? ln 3)m ? 3ln 3 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |

1 2 9m ? ? (3 ? m) ln 3 ? (3m ? 1) ? (a ? ln 3)m ? 3ln 3 , 即 a ? 6 ? , 所 以 3 3m 2 37 a ? 6? ? . 3? 4 6
【考点】导数的综合应用. 【名师点睛】本题考查不等式恒成立问题,解题时对存在量词与全称量词的处理是转化 的关键,如“对任意的 x1 , x2 ?[1,3] ,恒有 (a ? ln 3)m ? 3ln 3 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 成立” , 设 f ( x), x ? [1,3] 的 最 大 值 为

m a x, 最 小 值 为 m i n, 则 命 题 转 化 为

这样变量的个数就减少为两个, 接着可用分离参数法, (a ? ln 3)m ? 3ln 3 ? max ? min , 再转化为函数的最值. 三、解答题 18.选修 4-5:不等式选讲 第 8 页 共 16 页

如果 x 是实数,且 x ? ?1 , x ? 0 , n 为大于 1 的自然数,用数学归纳法证明:

(1 ? x)n ? 1 ? nx .
【答案】证明见解析. 【解析】试题分析:首先证明当 n ? 2 时,不等式成立,再假设 n ? k 时,不等式成立;在 假设的基础上证明当 n ? k ? 1 时不等式也成立 , 最后得出结论不等式成立 , 要注意

n ? k , n ? k ? 1 两种情况下不等式的变化.
试题解析: 当 n ? 2 时, (1 ? x)2 ? 1 ? 2 x ? x2 ? 1 ? 2 x ,不等式成立, 假设当 n ? k 时不等式成立,即 (1 ? x)k ? 1 ? kx , 则 当
k ?1 k ? ?x1 ? k ? ? kx

n ? k ?1





( ?x

?) x ?1

k

2

(? (

x

.

1

?1

k

) ) ?

即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综上, (1 ? x)n ? 1 ? nx . 【考点】数学归纳法. 19.已知 ?ABC 中, BD ? ? BC(0 ? ? ? 1) , cos C ? (1)若 AC ? 5, BC ? 7 ,求 AB 的大小; (2)若 AC ? 7, BD ? 10 ,求 ?ABC 的面积. 【答案】 (1) 4 2 ; (2)42. 【解析】试题分析: (1)已知两边及夹角,求第三边,直接用余弦定理可得; (2)从已

??? ?

??? ?

3 2 , cos ?ADC ? . 5 10

1 AC ? BC sin C 求得面积,在 ΔADC 中,可 2 先求得 ?CAD ,然后用正弦定理求得 DC ,从而得面积.
知发现只要求出 CD 的长就可用公式 S ? 试 题 解 析 : ( 1 ) 由 余 弦 定 理 可 知 ,

AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos C ? 25 ? 49 ? 2 ? 5 ? 7 ?

3 ?4 2 5

2 (2)依题意, sin C ? 1 ? cos C ?

4 7 2 , sin ?ADC ? 1 ? cos 2 ?ADC ? , 5 10

第 9 页 共 16 页

所以 S ?ABC ?

1 1 4 AC ? BC sin C ? ? 7 ? 15 ? ? 42 . 2 2 5

【考点】余弦定理,正弦定理,两角和与差的余弦公式,三角函数的同角关系. 20.长郡中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校 200 名高三学 生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如下表: (平均每天锻炼的时间单位: 分钟) 平均每天 [0,10) 锻炼的时 间(分钟) 总人数 20

[10, 20)
36

[20,30)
44

[30, 40)
50

[40,50)
40

[50,60)
10

将学生日均课外体育运动时间在 [40,60) 上的学生评价为“课外体育达标”. (1)请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并通过计算判断是否能在犯 错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关? 课外体育不达标 男 女 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该校高三学生中,抽取 3 名学生,记 被抽取的 3 名学生中的“课外体育达标”学生人数为 X ,若每次抽取的结果是相互独 立的,求 X 的数学期望和方差. 参考公式: k ?
2

课外体育达标 20

合计 110

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

参考数据:

P(K 2 ? k0 )

0.10 2.706

k0

【答案】 (1)列联表见解析,不能判断“课外体育达标”与性别有关; (2)期望为 方差为

3 , 4

9 . 16
2 2

【解析】试题分析: (1)从所给数据知体育达标有 50 人,不达标有 150 人,再根据列 联表中数据可填写表格,再由 K 计算公式计算出 K 即知结论; (2)从条件知随机变 量 X ~ B(3, ) ,由二项公布的期望公式及方差公式易得期望与方差. 试题解析: (1) 课外体育不达标 男 女 合计 60 90 150 课外体育达标 30 20 50 合计 90 110 200

1 4

K2 ?

200(60 ? 20 ? 30 ? 90) 2 200 ? ? 6.060 ? 6.635 150 ? 50 ? 90 ?110 33
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所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. (2)由表中数据可得,抽到“课外体育达标”学生的频率为 0.25,将频率视为概率, ∴ X ~ B(3, ) , ∴ E( X ) ? 3?

1 4

1 3 1 3 9 ? , D( X ) ? 3 ? ? ? . 4 4 4 4 16

【考点】列联表,独立性检验,二项分布. 21.在四棱锥 P ? ABCD 中,设底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, PA ? 面 ABCD .

(1)求证: PC ? BD ; (2)过 BD 且与直线 PC 垂直的平面与 PC 交于点 E ,当三棱锥 E ? BCD 的体积最大 时,求二面角 E ? BD ? C 的大小. 【答案】 (1)证明见解析; ( 2)

? . 4

【解析】试题分析: (1)要证线线垂直,可利用线面垂直的性质定理,即先证线面垂直, 题中由正方形有 BD ? AC , 由已知线面垂直有 BD ? PA , 从而可证 BD 与平面 PAC 垂直,从而得证题设结论; (2)求二面角,一般建立空间直角坐标系,用空间向量法求 解,题中有 AB, AD, AP 两两垂直,以他们为坐标轴建立空间直角坐标系,由三棱锥

E ? BDC 体积最大时,求得 PA 的长,然后写出各点坐标,同时计算出 E 点坐标,求 得平面 EBD 和平面 CBD 的法向量,求出法向量夹角,可观察出此二面角为锐角,从
而得二面角. 试题解析: (1)∵四边形 ABCD 是正方形,∴ BD ? AC , PA ? 平面 ABCD , 由此推出 PA ? BD , 又 AC ? PA ? A , ∴ BD ? 平面 PAC ,而 PC ? 平面 PAC ,所以推出 PC ? BD . (2)设 PA ? x ,三棱锥 E ? BCD 的底面积为定值,求得它的高 h ? 当x?

x , x ?2
2

2 2 ,即 x ? 2 时, h 最大值为 ,三棱锥 E ? BCD 的体积达到最大值为 x 4

1 1 2 2 . ? ?1?1? ? 3 2 4 24
以点 A 为坐标原点, AB 为 x 轴, AD 为 y 轴, PA 为 z 轴建立空间直角坐标系,则

??? ? ??? ? B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), P(0,0, 2) ,令 E ( x, y, z) , PE ? ? PC ,

??? ? ??? ? 3 3 3 2 BE ? PC ,得 ? ? ,∴ E ( , , ? ) , 4 4 4 4
设 n ? ( x' , y' , z ' ) 是平面 EBD 的一个法向量, BD ? (?1,1,0) , BE ? (? , , ?

?

??? ?

??? ?

1 3 4 4

2 ), 4

第 11 页 共 16 页

? ??? ? ? ? n ? BD ?0 ? 则 ? ? ??? ,得 n ? (1,1, 2) . ? ? ?n ? BE ? 0 ??? ? 又 AP ? (0,0, 2) 是平面 BCD 的一个法向量,
∴ cos ? n, AP ??

? ??? ?

? 2 ,∴二面角 E ? BD ? C 为 . 4 2

【考点】线面垂直的判断与性质,二面角. 【名师点睛】 求二面角, 通常是用空间向量法, 即建立空间直角坐标系, 写出各点坐标, 求出二面角两个面的法向量,由法向量的夹角求得二面角.在用这种方法求解时,有一 个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角, 就想当然地认为法向量的夹角就是等 于二面角. 22.已知点 C 为圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 的圆心, P 是圆上的动点,点 Q 在圆的半径 CP 上, 且有点 A(1, 0) 和 AP 上的点 M ,满足 MQ ? AP ? 0 , AP ? 2 AM . (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程; (2)若斜率为 k 的直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,直线 l 与(1)中所求点 Q 的轨迹交于 不同的两点 F , H , O 是坐标原点,且

???? ? ??? ?

??? ?

???? ?

? ???? 4 3 ??? ? OF ? OH ? 时,求 k 的取值范围. 4 5

x2 2 3 3 2 ? y 2 ? 1; 【答案】 (1) (2) ? 或 ?k?? ?k? 2 2 3 3 2
【解析】试题分析: (1)从条件 MQ ? AP ? 0 , AP ? 2 AM 知 MQ 是线段 AP 的垂直 平分线,从而得 | CP |?| QC | ? | QP |?| QC | ? | QA |? 2 2 ,因此以点 Q 的轨迹是以点 (2)直线与椭圆相交问题,首先设直线方程 C , A 为焦点的椭圆,由此易得轨迹方程;
2 2 为 y ? kx ? b , 由 它 与 圆 相 切 可 得 b ? k ? 1 , 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为

???? ? ??? ?

??? ?

???? ?

F ( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) ,把直线方程与椭圆方程联立后消元整理可得 x 诉一元二次方程,
从 而 有

x1 ? x2 , x1 x2











Δ?0











??? ? ???? OF ? OH ? x1x2 ? y1 y2 ? (1? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2 ,代入刚才的结论得到用 k 表
示的 OF ? OH ,代入已知不等式可得 k 的范围. 试 题 解 析 :( 1 ) 由 题 意 知 : MQ 是 线 段 AP 的 垂 直 平 分 线 , 所 以

??? ? ????

| CP |?| QC | ? | QP |?| QC | ? | QA |? 2 2 ?| CA |? 2
所以点 Q 的轨迹是以点 C , A 为焦点,焦距为 2,长轴为 2 2 的椭圆, 第 12 页 共 16 页

b ? a2 ? c2 ? 1
x2 ? y 2 ? 1. 故点 Q 的轨迹方程是 2
(2)设直线 l : y ? kx ? b , F ( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) 直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切 ?

|b| k ?1
2

? 1 ? b2 ? k 2 ? 1

? x2 ? ? y2 ? 1 联立 ? 2 ? (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0 ? y ? kx ? b ?

? ? 16k 2b2 ? 4(1 ? 2k 2 )2(b2 ?1) ? 8(2k 2 ? b2 ? 1) ? 8k 2 ? 0 ? k ? 0
x1 ? x2 ? ?

2b 2 ? 2 4kb x x ? , , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ? ???? OF ? OH ? x1x2 ? y1 y2 ? (1? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2
(1 ? k 2 )(2b2 ? 2) (?4kb) 2 (1 ? k 2 )2k 2 4k 2 (k 2 ? 1) k 2 ?1 2 ? ? kb ?b ? ? ? k ?1 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
所以

3 k 2 ?1 4 1 1 ? ? ? ? k2 ? 2 4 1 ? 2k 5 3 2
3 2 2 3 3 2 或 为所求. ?| k |? ?? ?k?? ?k? 3 2 2 3 3 2

?

【考点】定义法求轨迹方程,直线与圆的位置关系,直线与椭圆相交问题. 【名师点睛】本题是圆锥曲线中范围问题,可设直线方程为 y ? kx ? b ,由直线与圆相
2 2 交可得 b, k 关系(要题中为 b ? k ? 1 ) ,设交点坐标为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,把直线方程

与椭圆方程(圆锥曲线方程)联立后可得 x 的一元二次方程,从而得 x1 ? x2 , x1 x2 ,再 计算题中给出的量如本题的数量积,或者线段长,直线斜率 ,三角形面积等等) ,把

x1 ? x2 , x1 x2 代入可把已知关系用 k 表示出来,从而解得 k 的范围.
23.已知函数 f ( x) ?

x ln x ? a(a ? 0) . x ?1

(1)当 x ? (0,1) 时,求 f ( x ) 的单调性; (2)若 h( x) ? ( x ? x) f ( x) ,且方程 h( x) ? m 有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,求证:
2

x1 ? x2 ? 1 .
第 13 页 共 16 页

【答案】 (1)单调递增; (2)证明见解析. 【解析】试题分析: (1)判断单调性,只要求得导数 f '( x) ,然后判断 f '( x) 的正负即 得,本题中 f '( x) ?

x ? 1 ? ln x ,为了判断 f '( x) 的正负,还要对 g ( x) ? x ? 1 ? ln x 进 ( x ? 1)2

行研究, 同样求得导数 g '( x ) , 判断出在 x ? (0,1) 时, 从而 g ( x) ? 0 , 因此可得 f ( x ) 的 单调性; (2)对方程 h( x) ? m ,首先考虑 h( x) ? x2 ln x ? ax2 ? ax(a ? 0) ,求出导数

h '( x) ? 2 x ln x ? x ? 2ax ? a ,再求导数 h "( x) ? 2ln x ? 2a ? 3 ,通过研究 h "(x) 的单
调性和在 (0,1) 上的函数值符号可确定 h "( x) 在 (0,1) 上有唯一的零点 α ,这样 h '( x ) 在 在 (α,1) 上递增, 类似可得 h( x) 在 (0,1) 上的单调性和极值点 x0 , 利用 x0 (0, α ) 上递减, 可把 x1 和 x2 之间建立一个不等关系(注意 h( x1 ) ? h( x2 ) ) ,从而证得结论. 试题解析: (1) f ( x) ?
'

x ? 1 ? ln x 1 ' ,设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x ,则 g ( x ) ? 1 ? , 2 x ( x ? 1)

∴当 x ? (0,1) 时, g ' ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? g (1) ? 0 ,∴ f ' ( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增. (2) h( x) ? x ln x ? ax ? ax(a ? 0) ,∴ h ( x) ? 2x ln x ? x ? 2ax ? a ,
2 2 '

∴ h ( x) ? 2ln x ? 2a ? 3 ,∴ h ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,
'' ''

当 x ? 0 时, h ( x) ? 0 , h (1) ? 3 ? 2a ? 0 ,
'' ''

∴必存在 ? ? (0,1) ,使得 h ( x) ? 0 ,即 2ln ? ? 2? ? 3 ? 0 ,
''

∴ h ( x) 在 (0, ? ) 上单调递减,在 (? , ??) 上单调递增,
'

又 h (? ) ? a ? 2? ? 0 , h (1) ? 1 ? a ? 0 ,设 h' ( x0 ) ? 0 ,则 x0 ? (0,1) ,
' '

∴ h( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 上单调递增, 又 h(1) ? 0 ,不妨设 x1 ? x2 ,则 0 ? x1 ? x0 , x0 ? x2 ? 1 , 由(1)知

?h( x1 ) ? f ( x0 )( x12 ? x1 ) f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? ? ? , ? ? 2 f ( x2 ) ? f ( x0 ) ? ? h ( x ) ? f ( x )( x ? x ) 0 2 2 ? 2

2 ∴ f ( x0 )( x2 ? x2 ) ? h( x2 ) ? h( x1 ) ? f ( x0 )( x12 ? x1 ) 2 ∴ ( x2 ? x2 ) ? ( x12 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ?1) ? 0 ,∴ x2 ? x1 ? 1 .

第 14 页 共 16 页

【考点】导数与单调性,函数的零点,导数的综合应用. 24.选修 4-1:几何证明选讲 如图, 四边形 ABCD 外接于圆,AC 是圆周角 ? BAD 的角平分线, 过点 C 的切线与 AD 延长线交于点 E , AC 交 BD 于点 F .

(1)求证: BD / / CE ; (2)若 AB 是圆的直径, AB ? 4, DE ? 1 ,求 AD 的长. 【答案】 (1)证明见解析; (2)2. 【解析】 试题分析: (1) 要证两直线平行可证同位角相等或内错角相等, 图中 ?ECD 是 弦切角, ?CDB 是圆周角,利用 AC 是角平分线,易证这两个内错角相等,从而两直 线平行; (2)观察已知两线段 AB, DE 所在三角形,可得它们相似,从而可求得 BC , 这样四边形 ABCD 中的角就可求得,从而可得 AD 的长. 试题解析: (1)∵ AC 是圆周角 ? BAD 的角平分线,∴ ?EAC ? ?BAC . 又∵ CE 是圆的切线,∴ ?ECD ? ?EAC ,∴ ?ECD ? ?BAC . 又∵ ?BAC ? ?BDC ,∴ ?ECD ? ?BDC ∴ BD / / CE . (2)由(1)知, ?ECD ? ?BAC , ?CED ? ?ADB , ∵ AB 是圆的直径,∴ ?ACB ? ?ADB ? 90? ,∴ ?CED ? ?ACB ? 90? ,

DE DC ? . BC BA ?EAC ? ?BDC , B C ?? B D C C ? B C ∵ ?EAC ? ?DBC , 由 (1) 知, ∴ ?D , ∴D DE DC BC 2 ? ? ∴ ,则 BC ? AB ? DE ? 4 ,∴ BC ? 2 . BC BA AB 1 ? ? ∴在 Rt ?ABC 中, BC ? AB ,∴ ?BAC ? 30 ,∴ ?BAD ? 60 , 2 1 ? ∴在 Rt ?ABD 中, ?ABD ? 30 ,所以 AD ? AB ? 2 . 2
∴ Rt ?CED ~ Rt ?ACB ,∴ 【考点】弦切角与圆周角定理,三角形相似的判定与性质,解直角三角形. 25.选修 4-4:坐标系与参数方程



以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P 的直角 坐标为 (1, 2) , 点 M 的极坐标为 (3,

?

2

), 若直线 l 过点 P , 且倾斜角为

? , 圆C 以 M 为 6

圆心,3 为半径. (1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB .

第 15 页 共 16 页

? 3 x ? 1? t ? ? 2 ( t 为参数) 【答案】 ( 1 )直线 l 的参数方程为 ? ,圆的极坐标方程为 1 ?y ? 2 ? t ? ? 2
(2)7. ? ? 6sin ? ; 【解析】试题分析: (1)由直线参数方程的标准形式可直接写出 l 的参数方程,由圆的 极坐标方程的意义可直接写出圆 C 的极坐标方程; (2)把圆 C 的极坐标方程化为直角 坐标方程,再把直线的参数方程代入,利用参数方程的几何意义可得, A, B 对应的参 数分别为 t1 , t2 ,则 | PA |?| t1 | , | PB |?| t2 | .

? 3 x ? 1? t ? ? 2 试题解析: (1)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ?y ? 2 ? 1 t ? ? 2
圆 C 的极坐标方程为 ? ? 6sin ? . (2)圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ,

? 3 x ? 1? t ? ? 2 代入 x2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ,得 t 2 ? ( 3 ?1)t ? 7 ? 0 , 把? ?y ? 2 ? 1 t ? ? 2
∴ t1t2 ? ?7 ,设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 , 则 | PA |?| t1 | , | PB |?| t2 | ,∴ | PA || PB |? 7 . 【考点】直线的参数方程,圆的极坐标方程.

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