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2013届高考北师大版数学总复习课件:9.8曲线与方程


第 八 节 曲线与方程(理) 考纲解读 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 2.对直线与曲线的位置关系能用数形结合的思想解题. 考向预测 1.用直接法、定义法求轨迹方程. 2.用相关点法求轨迹方程. 3.考查方式可以是选择题或解答题. 4.以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主,同时考查平面 向量、函数、数列、导数、不等式等综合知识. 知识梳理 1.曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中, 如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集 合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x, y)= 0 的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的 解 ; (2)以这个方程的解为坐标的点 都在曲线上 ,那么,这个方 程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线(图形). 2.平面解析几何研究的两个主要问题 (1)根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2)通过曲线的方程研究曲线的性质. 3.求曲线方程的一般方法(五步法) 求曲线(图形 )的方程,一般有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x, y)表示曲线上任意 一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P= {M|p(M)}; (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x, y)= 0; (4)化方程 f(x, y)= 0 为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 4.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知, 两条曲线交点的坐标应该是两个 曲线方程的 公共解 ,即两个曲线方程组成的方程组的实数解; 反过来, 方程组有几组解, 两条曲线就有几个交点, 方程组 无解, 两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的 充要 条件是它们的方程所组成的方程 组有实数解.可见,求曲线的交点问题,就是求由它们的方程所 组成的方程组的实数解问题. 5.求曲线轨迹方程的常用方法 (1)直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关 系,这些条件简单明确,直接表述成含 x,y 的等式,就得到轨 迹方程,这种方法称为直接法. (2)定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的 定义,则可用曲线定义写出方程,这种方法称为定义法. (3)代入法 又称相关点法,其特点是,动点 M(x,y)的坐标 取决于已知曲线 C 上的点(x′,y′)的坐标,可先用 x,y 来表示 x′,y′,再代入曲线 C 的方程,即得点 M 的轨迹方程. 6.圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到焦点与到定直线的距离之比为定值 e,当 e>1 时, 圆锥曲线为双曲线; 当 0<e<1 时, 为椭圆; 当 e=1 时, 为抛物线. 7.直线与圆锥曲线交点 直线与圆锥曲线的交点由直线方程与圆锥曲线方程联立得 到. 基 础 自 测 1.设 k>1,则关于 x, y 的方程(1- k)x2+ y2= k2- 1 表示的曲 线是 ( ) A.长轴在 y 轴上的椭圆 B.长轴在 x 轴上的椭圆 C.实轴在 y 轴上的双曲线 D.实轴在 x 轴上的双曲线 [答案] C y2 x2 [解析] 由已知条件,方程可化为 2 - = 1. k - 1 1+ k ∵ k>1,∴ k2- 1>0,1+ k>0. 则方程表示实轴在 y 轴上的双曲线.故选 C. 2.动点 A 在圆 x2+ y2= 1 上移动,它与定点 B(3,0)连线的中 点的轨迹方程是( ) B. (x- 3)2+ y2= 1 ? 3? 2 1 D. ?x+ ?+ y = 2?

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