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奇偶性


中国个性化教育领航品牌 函数的基本性质--综合训练 B 组 一、选择题
1.下列判断正确的是( A.函数 f ( x) ? ) B.函数 f ( x) ? (1 ? x)

x 2 ? 2x 是奇函数 x?2

1? x 是偶函数 1? x

C.函数 f ( x) ? x ? x 2 ? 1 是非奇非偶函数

D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数 )

2.若函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是( A. ? ??, 40? C. ? ??, 40? 3.函数 y ? B. [40,64]

?64, ???

D. ?64, ?? ? )

x ? 1 ? x ?1 的值域为(
B. 0, 2

? ? C. ? 2 ,???
A. ? ?, 2

?

?
) C. a ? 5

4.已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数, 则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 B. a ? ?3 D. a ? 3

D. ?0,???

5.下列四个命题: (1)函数 f ( x ) 在 x ? 0 时是增函数, x ? 0 也是增函数,所以 f ( x) 是增函数; (2)若函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? 2 与 x 轴没有交点,则 b2 ? 8a ? 0 且 a ? 0 ;(3) y ? x2 ? 2 x ? 3 的递增区间为 ?1, ?? ? ;(4)
y ? 1 ? x 和 y ? (1 ? x) 2 表示相等函数。
其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程 . 在下图中纵轴表示离学 校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( ) d d0 O A. t0 t B. d d0 O t0 t d d0 O C. t0 t d d0 O D. t0 t

泽润无声 大志静心

主讲:林 新 玉

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中国个性化教育领航品牌 二、填空题
1.函数 f ( x) ? x 2 ? x 的单调递减区间是____________________。 2. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) , 当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 , 那么 x ? 0 时, f ( x) ? 3.若函数 f ( x ) ? .

x?a 在 ??1,1? 上是奇函数,则 f ( x ) 的解析式为________. x ? bx ? 1
2

4 . 奇 函 数 f ( x ) 在 区 间 [3, 7] 上 是 增 函 数 , 在 区 间 [3, 6] 上 的 最 大 值 为 8 , 最 小 值 为 ?1 , 则

2 f (?6) ? f (?3) ? __________。
5.若函数 f ( x) ? (k 2 ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为__________。

三、解答题
1 ? x2 1.判断下列函数的奇偶性(1) f ( x) ? x?2 ?2
(2) f ( x) ? 0, x ???6, ?2?

?2,6?

2 .已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,且当 x ? 0 时,

f ( x) ? 0 恒成立,证明:(1)函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数;(2)函数 y ? f ( x) 是奇函数。

3.设函数 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且

f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x ) 和 g ( x) 的解析式. x ?1

4.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f ( x) 的奇偶性;
2

(2)求 f ( x) 的最小值。

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主讲:林 新 玉

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参考答案
一、选择题 1. C 选项 A 中的 x ? 2, 而 x ? ?2 有意义,非关于原点对称,选项 B 中的 x ? 1, 而 x ? ?1 有意义,非关于原点对称,选项 D 中的函数仅为偶函数; 2. C 对称轴 x ?

k k k ,则 ? 5 ,或 ? 8 ,得 k ? 40 ,或 k ? 64 8 8 8

3. B

y?

2 , x ? 1 , y 是 x 的减函数,当 x ? 1, y ? 2,0 ? y ? 2 x ?1 ? x ?1

4. A 对称轴 x ? 1 ? a,1 ? a ? 4, a ? ?3 5. A (1)反例 f ( x) ?

1 ;(2)不一定 a ? 0 ,开口向下也可;(3)画出图象 x

可知,递增区间有 ? ?1,0? 和 ?1, ?? ? ;(4)对应法则不同 6. B 刚刚开始时,离学校最远,取最大值,先跑步,图象下降得快! 二、填空题 1. 2.

1 1 (??, ? ],[0, ] 2 2

画出图象

?x2 ? x ?1 (设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , f (?x) ? x2 ? x ?1 ,
2 2 ∵ f (? x) ? ? f ( x) ∴ ? f ( x) ? x ? x ?1 , f ( x) ? ?x ? x ?1 )

3.

f ( x) ?

x x ?1
2

( ∵ f (? x) ? ? f ( x) ∴ f (?0) ? ? f (0), f (0) ? 0,

a ? 0, a ? 0 1 x ?1 1 , f (?1) ? ? f (1), ?? ,b ? 0) 即 f ( x) ? 2 x ? bx ? 1 2?b 2?b

4.

?15

( f ( x ) 在区间 [3, 6] 上也为递增函数,即 f (6) ? 8, f (3) ? ?1

2f ( ? 6) ?f ? ( 3? ) ? f2 ( 6 ?f)
5.

(? 3) ? )

15

(1, 2)

( k ? 3k ? 2 ? 0,1 ? k ? 2 )
2

三、解答题 1.解:(1)定义域为 ? ?1,0?

? 0,1? ,则 x ? 2 ? 2 ? x , f ( x) ?

1 ? x2 , x
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泽润无声 大志静心

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∵ f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x ) ?

1 ? x2 为奇函数。 x

(2)∵ f (? x) ? ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x ) 既是奇函数又是偶函数。 2.证明:(1)设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ∴ f(x x? 2 x? 2 x) ? 1 )? f ( 1

f ( 1x ?

2

x )?

( f 2x )?

( f2 x )

∴函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)由 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) 即 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ,而 f (0) ? 0 ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 是奇函数。 3.解:∵ f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ,且 g (? x) ? ? g ( x)

1 1 ,得 f (? x) ? g (? x) ? , x ?1 ?x ?1 1 1 ?? 即 f ( x) ? g ( x) ? , ?x ?1 x ?1 1 x ∴ f ( x) ? 2 , g ( x) ? 2 。 x ?1 x ?1
而 f ( x) ? g ( x) ? 4.解:(1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ? | x | ?1为偶函数,
2 当 a ? 0 时, f ( x)? x ? | x? a| ?为非奇非偶函数; 1

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?
2

1 2 2 1 1 3 当 a ? 时, f ( x ) m i n? f ( ) ? a ? , 2 2 4 1 当 a ? 时, f ( x) m i n 不存在; 2

3 , 4

2 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2

3 , 4

1 时, f ( x) ? 2a ? , 1 m i n? f ( a) 2 1 1 3 当 a ? ? 时, f ( x) min ? f ( ? ) ? ? a ? 。 2 2 4
当a ? ?

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