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2012届高考数学专题复习系列之等差数列与等比数列


第六章

数列(必修5)

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考纲解读
1.数列的概念和简单表示法 (1)了解数列的概念和几种简单的表 示方法(列表、图象、通项公式). (2)了解数列是自变量为正整数的一 类函数.

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考纲解读
2.等差数列、等比数列 (1)理解等差数列、等比数列的概念. (2)掌握等差数列、等比数列的通项公 式与前n项和公式. (3)能在具体的问题情境中识别数列的 等差关系或等比关系,并能用有关知识解 决相应的问题. (4)了解等差数列与一次函数、等比数 列与指数函数的关系.

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命题探究
1.最近几年的高考试题,数列部分的内 容约占8%~10%,试题有如下特点:一般 试题类型为一道选择题或填空题和一道解答 题.考查的重点是等差数列、等比数列的通 项公式与前n项和公式的灵活运用,特别是 等差数列、等比数列的性质,这一部分题多 是中、低难

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命题探究
度题,但解题方法灵活多样.掌握一定的技 巧,可以又快又准地完成它,有利于区分不 同层次的考生.数列中an与Sn的关系也是高 考的一个热点,因为这类题目既能考查数列 的有关概念和性质,又能考查学生建模能力 和抽象概括能力.与此同时,函数思想、方 程思想、分类讨论等数学思想方法在解决数 列问题时的应用也会常常涉及.

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命题探究
2.预计在2011年高考试卷中,对数列 知识的考查,总的趋势是“稳中有变”.由于 探索性问题是近几年的考查热点,这类问题 在数列中出现的可能性较大.

第1课时

数列的概念与 简单表示法

基础知识梳理
1.数列的定义 按照一定顺序 排列着的一列数称 为数列,数列中的每一个数叫做这个 数列的项.

基础知识梳理
2.数列的分类
分类原则 按项数分类 按项与项间 的大小关系 分类 按其他标准 分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 摆动数列 满足条件 项数有限 项数 无限 an+1>an 其中 an+1< an n∈N* an+1=an 存在正数M,使 |an|≤M an的符号正负相 间,如1,-1,1,- 1,…

基础知识梳理
3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别 是 列表法、 图象法和 解析法 .

基础知识梳理
1.数列是否可以看作一个函数, 若是,其定义域是什么? 【思考·提示】 可以看作一个函 数,其定义域是正整数集N*(或它的有 限子集{1,2,3,…,n}),可表示为an = f ( n) .

基础知识梳理
4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n 之间的关系可以用一个公式 an=f(n)来 表示,那么这个公式叫做这个数列的 通项公式.

基础知识梳理
2.数列的通项公式唯一吗?是否 每个数列都有通项公式?
【思考·提示】 不唯一,如数 列- 1,1,- 1,1 , …的通项公式可 以 为 an = ( - 1)n 或 an = ?- 1 (n为奇数 ) ? ,有的数列没有 (n为偶数 ) ?1 通项公式.

三基能力强化
1 1 1 1 1.数列 , , ,…, ,…中第 3 4 5 n 10 项是( ) 1 1 A. B. 10 8 1 1 D. C. 12 11

答案:D

三基能力强化
2.已知数列{an}的通项公式是 an= 2n ,那么这个数列是( 3 n+ 1 )

A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 答案:A

三基能力强化
3.若数列的前四项分别为2,0,2,0, 则此数列的通项公式不能是( ) A.an=1+(-1)n+1 B.an=1-cosnπ
2 D.an=1+(-1)n-1+(n-1)(n-2) C.an=2sin
2nπ

答案:D

三基能力强化
4.已知数列{an}满足an+2=an+1 +an(n∈N*).若a1=1,a2=2.则a5= ________. 答案:8

三基能力强化
5.(教材习题改编)下列关于星星 的图案个数构成一个数列,该数列的 一个通项公式是________.

1 答案:an= n(n+1) 2

课堂互动讲练
考点一 由数列的前几项求数列的通项公式

根据数列的前若干项写出数列的 一个通项公式,解决这一题型的关键 是通过观察、分析、比较去发现项与 项之间的关系,如果关系不明显,应 该将项作适当变形或分解,让规律突 现出来,便于找到通项公式;同时还 要借助一些基本数列的通项及其特 点.

课堂互动讲练
例1 写出下列数列的一个通项公式: (1)3,5,9,17,33,…; 1 9 25 (2) ,2, ,8, ,…; 2 2 2 (3) 2, 5,2 2, 11,….

课堂互动讲练
【思路点拨】

课堂互动讲练
【解】 (1)∵a1=3=21+1,a2=5=22+ 1,a3=9=23+1,…,∴an=2n+1(n∈N*). (2)将数列中各项统一成分母为2的分数,得 1 4 9 16 25 , , , , ,…, 2 2 2 2 2 观察知, 各项的分子是对应项数的 平方, n2 ∴数列通项公式是 an= (n∈N*). 2

课堂互动讲练
(3)将数列各项统一成 f(n) 的形式得 2, 5, 8, 11,…. 观察知,数列各项的被开方数逐个增 加 3,且被开方数加 1 后,又变为 3,6,9,12 , …,所以数列的通项公式是 an = 3n- 1(n∈N*).

课堂互动讲练
【误区警示】 在解决有关通项 公式的问题时易在以下环节出错: (1)项数搞错; (2)由归纳法求通项时,只满足前 2项或3项,而不能满足所有的情况.

课堂互动讲练
考点二 数列的性质

1.数列的单调性:若an+1>an, 则{an}为递增数列,若an+1<an,则 {an}为递减数列,否则为摆动数列或 常数列. 2.周期性:若an+k=an对 n∈N*(k为常数)成立,则{an}为周期数 列.对于一些数列,若通项无法求出 时,可考虑其周期性.

课堂互动讲练
3.有界性:若{an}满足:|an|<M 或|an|≤M,则称{an}为有界数列,并能 求出数列中的最大项或最小项.

课堂互动讲练
例2 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2 +24n(n∈N+). (1)求{an}的通项公式; (2)当n为何值时,Sn达到最大? 最大值是多少? 【思路点拨】 (1)可借助an与Sn 的关系求得通项公式; (2)因为Sn是关于n的二次函数, 故可利用函数观点解决.

课堂互动讲练
【解】 (1)n=1时,a1=S1=23. n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+25. 经验证,a1=23符合an=-2n+25, ∴an=-2n+25(n∈N+). (2)法一:∵Sn=-n2+24n=-(n-12)2+144, ∴n=12时,Sn最大且Sn=144. 法二:∵an=-2n+25, 25 ∴an=-2n+25>0,有 n< . 2 ∴a12>0,a13<0,故S12最大.最大值为144.

课堂互动讲练
【规律总结】 (1)由Sn求an的步 骤:先求a1和n≥2时an的值,再判定a1 与an的从属关系. (2)求数列前n项和Sn的最大值, 一般是由求和式利用函数思想求解, 其次是判定数列项的正负分界.

课堂互动讲练
考点三 数列的通项an与前n项和Sn

数列的前n项和Sn与an之间的关系如下:
?S1, n=1, 务必注意 an= an= ? ?Sn- Sn- 1, n≥ 2,

Sn-Sn-1是在n≥2的条件下成立的,若将n=1 代入该式所得的值与S1相等,则{an}的通项公 式就可用统一的形式来表示,否则就写成上 述分段数列的形式.

课堂互动讲练
例3 已知数列{an}的前n项和为 Sn,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

课堂互动讲练

【思路点拨】

利用数列的通项an与前

?S1 (n= 1), n 项和 Sn 的关系 an=? ?Sn- Sn- 1 (n≥2).

课堂互动讲练
【解】 (1)当n=1时,a1=S1=-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-5. 又∵a1=-1,适合an=4n-5, ∴an=4n-5. (2)当n=1时,a1=S1=3+b, n≥2时,an=Sn-Sn-1=2·3n-1, 当b=-1时,a1=2适合an=2·3n-1. ∴an=2·3n-1. 当b≠-1时,a1=3+b不适合an=2·3n-1,

课堂互动讲练
(n=1), (n≥2). - 综上可知,当 b=-1 时,an=2·3n 1;
?3+ b 当 b≠- 1 时,an=? n- 1 ?2·3 ?3+ b ∴an=? n- 1 ?2·3

(n=1), (n≥2).

课堂互动讲练
【易错警示】 在解答过程中易 出现忽视n=1时,a1=S1而直接利用 an=Sn-Sn-1,求an的情况,导致此 种错误的原因是:没有熟练掌握数列 {an}的前n项和Sn与通项an之间的关系 或粗心大意.

课堂互动讲练
互动探究 若(1)中Sn=2n2-3n+k,求 {an}的通项公式. 解:当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n2-3n+k-2(n -1)2+3(n-1)-k = 4 n- 5 ;

课堂互动讲练
当n=1时,a1=S1=-1+k; 当k=0时,a1=-1适合an=4n-5, ∴ a n= 4 n - 5 ; 当k≠0时,a1=-1+k不适合an=4n-5, ?- 1+ k (n=1) . ∴an=? (n≥2) ?4n- 5 综上可得,当 k=0 时,an=4n-5;
?- 1+ k 当 k≠0 时,an=? ?4n- 5

(n=1) (n≥2)

课堂互动讲练
考点四 由递推公式求数列通项公式

由递推公式求数列通项公式 已知数列的递推公式求通项,可 把每相邻两项的关系列出来,抓住它 们的特点进行适当处理,有时借助拆 分或取倒数等方法构造等差数列或等 比数列,转化为等差数列或等比数列 的通项问题.

课堂互动讲练
例4 (解题示范)(本题满分12分) 求下列数列{an}的通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n- 1)(n∈N*); n (2)a1=1,an= an-1(n≥2, n- 1 n∈N*).

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)可利用累加法 求解. (2)可转化后利用累乘法求解. 【解】 (1)由an+1=an+2n-1, 得an+1-an=2n-1, 当n≥2时,a2-a1=2×1-1, a3-a2=2×2-1, a4-a3=2×3-1, …

课堂互动讲练
an-an-1=2×(n-1)-1. 3分 将n-1个式子左右两边分别相加,得 an-a1=2×[1+2+3+…+(n-1)]-(n n(n- 1) -1)= 2× - n+1=n2-2n+1, 4分 2 ∴ a n= n 2 - 2 n + 1 + a 1 = n 2 - 2 n + 1 , 又n=1时,a1=0适合上式, ∴an=n2-2n+1(n∈N*). 6分

课堂互动讲练
n an (2)由 an= an- 1(n≥2), 得 = n- 1 an- 1 n , n- 1 8分

a2 2 a3 3 a4 4 …, 当 n≥2 时, = , = , = , a1 1 a2 2 a3 3 n an = , an- 1 n- 1

课堂互动讲练

将n-1个式子两边分别相乘,得 n an 2 3 4 = · · ·… · = n, a1 1 2 3 n- 1 ∴an=n·a1=n. 10分 又n=1时,a1=1适合上式, ∴an=n(n∈N*). 12分

课堂互动讲练
【规律总结】 对于形如an+1= an+f(n)的递推公式求通项公式,只要 f(n)可求和,便可利用累加的方法;
an+ 1 对 于形 如 = g(n) 的 递 推公式 an 求通项公式,只要 g(n)可求积,便可 利用累积的方法或迭代的方法.

课堂互动讲练
高考检阅 (本题满分12分)已知数列{an}满 足:a1=1,2n-1an=an-1(n∈N*,n≥2). (1)求数列{an}的通项公式; (2)这个数列从第几项开始及其以后各 1 项均小于 ? 1000

课堂互动讲练
解 : (1) 当 n≥2 时 , an = an an- 1 a3 a2 · ·… · · ·a1 a2 a1 an- 1 an- 2 12 11 1 n- 1 1 n- 2 = ( ) ·( ) ·…·( ) ·( ) 2 2 2 2 1 1+ 2+…+(n-1) 1 (n-1)n =( ) =( ) , 4分 2 2 2

课堂互动讲练

又∵当 n=1 时, a1= 1 适合 an 1 n(n- 1) =( ) , 2 2 1 n(n- 1) . 6分 ∴an= ( ) 2 2

课堂互动讲练
(n-1)n 1 (n-1)n 1 (2)当 n≤4 时, ≤6, an= ( ) ≥ , 2 2 2 64 8分 (n-1)n 1 (n-1)n 1 当 n≥5 时, ≥10, an= ( ) ≤ . 2 2 1024 2 11 分 1 所以,从第 5 项开始各项均小于 . 12 分 1000

规律方法总结
1.数列的概念及简单表示 数列中的数是有序的,要注意辨 析数列的项和数集中元素的异同;数 列的简单表示要类比函数的表示方法 来理解.数列{an}可以看作是一个定 义域为正整数集或它的子集 {1,2,3,…,n}的一列函数值.

规律方法总结
2.由数列的前几项归纳出其通 项公式 据所给数列的前几项求其通项公 式时,需仔细观察分析,抓住其几方 面的特征:(1)分式中分子、分母的特 征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后 的特征;(4)各项符号特征和绝对值特 征,并对此进行归纳、化归、联想.

规律方法总结
3.由递推公式求数列的项或通项 递推公式是给出数列的一种方式.由 递推公式求通项常见类型有叠加法、叠乘 法、构造法(构造等差或等比数列),若由 上述方法不能求解,需看数列是否具有周 期性,或者由归纳法求通项(解答题中应 用数学归纳法进行证明).

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