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1.1.1 正弦定理


正弦定理

正弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系? a 2 2 2 ? tan A A ? B ? 90? a ?b ? c b
a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗? B

A c a b

C

a b ? ?c sin A sin B

>sin C ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

即正弦定理,定理对任意三角形均成立.

正弦定理
正弦定理 相等,即
a b c   ? ? sin A sin B sin C

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比

正弦定理可以解什么类型的三角形问题?

一般地,把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形的 元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角;已知两

边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的边和角。

正弦定理
例题讲解

例1,在?ABC中,已知 A ? 32.0 , B ? 81.8 ,
? ?

a ? 42.9cm, 解三角形 解:根据三角形内角和 定理,

C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (32.0? ? 81.8? ) ? 66.2? a sin B 42.9 sin 81.8? 根据正弦定理,b ? ? ? 80.1(cm) ? sin A sin 32.0

a sin C 42.9 sin 66.2? 根据正弦定理,c ? ? ? 74.1(cm) ? sin A sin 32.0

正弦定理
例题讲解
例2,在?ABC中,已知 a ? 20cm, b ? 28cm, A ? 40? , 解三角形。 (角度精确到1?,边长精确到1cm)

b sin A 28sin 40? 解:根据正弦定理, sin B ? ? ? 0.8999. a 20 因为0? ? B ? 180? , 所以B ? 64? , 或B ? 116?
(1)当B ? 64?时,C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 64? ) ? 76? , a sin C 20 sin 76? c? ? ? 30(cm). ? sin A sin 40 (2)当B ? 116?时,C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 116? ) ? 24? ,

a sin C 20 sin 24? c? ? ? 13(cm). ? sin A sin 40

正弦定理
例题讲解
?B ? 45?, ?C ? 60?, a ? 2( 3 ? 1) ,求 例3 在 ?ABC 中,

?ABC 的面积S.
解: ? ?A ? 180? ? ( B ? C ) ? 75? A
2 2( 3 ? 1)( h ) a sin B 2 ?4 ? ∴由正弦定理得 b ? sin A 三角形面积公式 B 6? 2 C 4 1 1 1 1 ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin3A S ?ABC ? aha 1 1 2 24 ? ( ) ? 6 ? 2 3 ? S ?2 ab sin C ? 2 ? 2( 3 ? 1) ? ABC ? 2 2 2

正弦定理中的比值常数

(1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( c )
A. a sin A ? b sin B C . a sin B ? b sin A B . a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A

(2)若A,B,C是⊿ABC的三个内角,则 > sinA+sinB____sinC.

sin 3B (3)在?ABC中,C ? 2 B, 则 等于(B ) sin B
A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a

正弦定理
练习: (1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( C )
A. a sin A ? b sin B C . a sin B ? b sin A B . a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A

(2)在 ?ABC 中,若

a A cos 2

?

b B cos 2

?

c C cos 2

,则 ?ABC 是( D )

A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等腰直角三角形 D.等边三有形

正弦定理
练习: (3)在任一 ?ABC 中,求证: a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0

证明:由于正弦定理:令 a ? k sin A, B ? k sin B, c ? k sin C
代入左边得:

左边= k (sin A sin B ? sin A sin C ? sin B sin C ? sin B sin A ? sin C sin A ? sin C sin B) ? 0 =右边
∴ 等式成立

利用正弦定理证明“角平分线定理”

在⊿ABC中,若acosA=bcosB,求证:⊿ABC是等腰三角形或 直角三角形。

三角形面积计算公式


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