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函数重点难题整理


函数重难点整理 ?考点解读(最近的模考及近几年的高考文理卷整理归纳) :
1、基本考点:定义域、解析式、单调性、奇偶性、周期性(对称性) 、反函数、值域与最值、幂指对函数、图象变换; 2、需掌握的基本初等函数:一次函数、反比例函数、二次函数、分式函数(一次分式型、二次分式型) 、耐克函数 及变形(双勾、双增、双减) 、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、绝对值函数 ?

重难问题 一、 函数性质态研究 从函数的三要素和三特性入手,三要素是指定义域、解析式和值域;三特性是指奇偶性、单调性和周期性;三要素中值 域的研究最困难,三特性中单调性的研究最重要。 1、函数值域的理解、求值域 [ 举 例 1 ] 已 知 函 数

y ? ax ?

b x

f ( x) ? 2x ? a, g ( x) ? x 2 ? 6x ? 1

, 对 于 任 意 的 ;

x1 ?[?1,1]

都 能 找 到

x2 ?[?1,1],使得g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则实数 a 的取值范围是
[举例 2]已知函数

,函数 y ? f ( x) 的定义域和值域都是 [?1 , 1] (其图像如下图所示) . 定 义 : 当

g ( x) ? sin x, x ? [?? , ? ]

f ( x1 ) ? 0( x1 ? [?1,1])



g ( x2 ) ? x1 ( x2 ? [?? , ? ]) 时 , 称 x2
f ( g ( x)) ? 0 的所有不同实数根的个是

是方程

f ( g ( x)) ? 0 的 一 个 实 数 根 . 则 方 程

类似题:已知函数

y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在 [?2,2] 的图象如下所示:

给出下列四个命题: ①方程

f [ g ( x)] ? 0 有且仅有

6 个根

②方程 g[ f

( x)] ? 0 有且仅有

3 个根 ③方程

f [ f ( x)] ? 0 有且仅有

5 个根

④方程 g[ g ( x)] ? 其中正确的命题是

0 有且仅有 4 个根
. (将所有正确的命题序号填在横线上).

?考点分析:函数的值域及最值(常用方法:配方法、换元法、基本不等式法、分离常数法、数形结合) [举例]如图,矩形 OABC 中,AB=1,OA=2,以 B 为圆心、BA 为半径在矩形内部作弧,点 P 是弧上一动点, PM

? OA ,垂
B

C N O P M

A

足为 M, PN

? OC ,垂足为 N,则四边形 OMPN 的周长的最小值为



【考点分析:函数关系的建立,三角函数的值域】 2、函数的基本性质 ① 单调性

[举例 1] .若函数

f ( x) ? lg( x 2 ? ax ? 1) 在区间 (1,??) 上是增函数,则 a 的取值范围是

[举例 2]已知函数 范围是 类似题目: 1、已知 .

?a x ( x ? 0), f ( x1 ) ? f ( x2 ) 满足对任意 x1 ? x2 , 成立,都有 ? 0 ,则 a 的取值 f ( x) ? ? x1 ? x2 ?(a ? 2) x ? 2a( x ? 0)

【考点分析:函数的单调性,分段函数的图象】

?(3 ? a) x ? a f ( x) ? ? ?loga x
(1,+∞) ;

( x ? 1) 是 ( ??,??) 上的增函数,那么 a 的取值范围是 ( x ? 1)
D.
[

(

)

A.

(1,3) ; B . (0,3); C .

3 ,3) . 2
在 R 上单调增函数”的 ( ).

2、若函数

?log x x ? 1, 则“ c ? ?1 ”是“ y ? f ?x? f ?x ? ? ? 2 ?x ? c x ? 1.

? A ? 充分非必要条件. ? C ? 充要条件.
② 奇偶性

? B ? 必要非充分条件. ? D ? 既非充分也非必要条件.
f ?x ? 的定义域是一切实数 R ,且 f ?m? ? 2, f ?m 2 ? 2? ? ?2 ,求 m 的值” 。
2 2 2 . 函 数 f ( x) ? sin x ? x , 对 任 意 x12 ? x2

[举例 1]有这么一个数学问题: “已知奇函数

请问 m 的值能否求出,若行,请求出 m 的值;若不行请说明理由(只需说理由) 。__________________ [举例 2] .给出条件:①

x1 ? x2

,②

x1 ? x2 , ③ x1 ? x2

,④

? ? ?? x1、x2 ? ? ? , ? ,都使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立的条件序号是( ? 2 2?



A.

①③.

B .②④.

C .③④.

D.

④.

【考点分析:考查函数奇偶性和单调性的应用,利用偶函数的对称性,将函数值的大小转化为对应的不等式关系】 类似题目、已知函数

? ? ?? ?? ? f ( x) ? x 2 ? cos x , x ? ?? , ? ,则满足 f ( x) ? f ? ? 的 x 的取值范围是__________. ? 2 2? ?3?

③ 函数的周期性 [举例 1]定义在 R 上的奇函数 f(x) ,对任何实数 x,总有 f(x+2)= -f(x) ,当 x∈[0,1]时, f(x)= x,则 f(x)在 [2,3]上,f(x)= 考查:函数的周期性,解题关键是对称变换 [举例 2]已知函数 f ( x) 的定义域为 R,且对任意 则 f (2012) ? f (?2012) ? .

) ? 6 , f (1) ? 7 , x ? Z ,都有 f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 。若 f (?1

【考点分析:函数的周期性、计算能力和逻辑推理能力】

3、 函数三性的交融 [举例 1]定义在 ( ??,??) 上的偶函数

f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且 f ( x) 在 [?1,0] 上是增函数,下面五个关于

f ( x) 的命题:① f ( x) 是周期函数;② f ( x) 图像关于 x ? 1 对称;③ f ( x) 在 [0,1] 上是增函数;④ f ( x) 在 [1,2] 上为
减函数;⑤

f (2) ? f (0) ,其中的真命题是

. (写出所有真命题的序号)

练习:设

f ( x) 为定义域为 R 的函数,对任意 x ? R ,都满足: f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且当

x ? [0,1] 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x.
(1)请指出 (2)试证明 4、反函数 [举例 1] 已知函数

f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上的奇偶性、单调区间、最大(小)值和零点,并运用相关定义证明你关于单调区间的结论; f ( x) 是周期函数,并求其在区间 [2k ? 1,2k ](k ? Z) 上的解析式.

f ( x) ?| x2 ? 1| ,若 0 ? x ? y ,且 f ( x) ? f ( y) ,则(
B. D.

) .

A. C.

y ? 4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 ) y ? 2 ? x2 ( 0 ? x ? 2 )

y ? 4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 ) y ? 2 ? x2 ( 0 ? x ? 1 )

【考点分析:反函数恒等式】 [举例 2] .已知 点,则“ x 是

f ? x ? 是单调减函数,若将方程 f ? x ? ? x 与 f ? x ? ? f ?1 ? x ? 的解分别称为函数 f ? x ? 的不动点与稳定


f ? x ? 的不动点”是“ x 是 f ? x ? 的稳定点”的(

A .充要条件 C .必要不充分条件
【反函数的图象特征、自反函数】 5、函数的图象及变换 [举例 1]函数

B .充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件

f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像关于任意直线 l 对称后的图像依然为某函数图像,则实数 a 、 b 、 c 应满足


的充要条件为

【考点分析:函数的定义及图象特征】 练习:将函数

6?) 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ? (0 ? ? ? ? ) ,得到曲线 C .若 y ? 4 ? 6x ? x 2 ? 2 ( x ? ?0,
f ( x) 的图象恰好经过 k 个格点,则称函数 f ( x)

对于每一个旋转角 ? ,曲线 C 都是一个函数的图像,则 ? 的最大值为__________. w.w.w.k.s.5. [举例 2]直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 为 k 阶格点函数. 下列函数:①

1 f ( x) ? cos x ;② f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? 3 ;③ f ( x) ? ( ) x ;④ f ( x) ? log 2 x. 其中是一阶格点函数的有 3 3

(填上所有满足题意的序号) .

【考点分析:是初等函数的图象与性质,考查计算能力,逻辑推理能力。 】 [举例 3]已知函数

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ? x ? a 的图像关于垂直于 x 轴的直线对称,则 a 的取值集合是

.

【考点分析:绝对值的和函数的图象特征】 [举例 4]已知函数

f ( x) ?| x | ?

4 ,当 x ? [?3 , ? 1] 时,记 f ( x ) 的最大值为 m ,最小值为 n ,则 m ? n ? ______. | x|

【考点分析:函数图象及函数图象变换】 [举例 5] 定义在 R 上的偶函数 则直线 y=4.5 与函数 对任意的 x ? R 均有 f ( x ? 4) ? f ( x) 成立, 当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? x ? 3 , f ( x) ,

y ? f ( x) 的图像交点中最近两点的距离等于

?考点分析:考查了函数的周期性与偶函数图象的性质,同时考查了数形结合的思想 ?研究方法:数形结合 [举例 6]已知点 A( x1 , 2 1 )、B( x2, 2 2 ) 是函数
x x

y ? 2x 的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段 AB 总是位于 A、B 两

点之间函数图像的上方,因此有结论

x1 ? x2 2 x1 ? 2 x2 ? 2 2 成立.运用类比思想方法可知,若点 A( x1, sin x1 )、B( x2, sin x2 ) 2

是函数

y ? sin x( x ? (0,?)) 的图像上的不同两点,则类似地有

成立.

?考点分析:主要考查类比推理的知识点,还考查了数形结合思想,解答本题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性,利用 图象法。

?a , 当a ? b时 ,已知函数 f ( x) ? min? x2 ? 2tx ? t 2 ? 1 , x2 ? 4x ? 3?是偶函数( t 为 b , 当 a ? b 时 ? 实常数) ,则函数 y ? f ( x) 的零点为 .(写出所有零点)
[举例 7]记 min

?a , b? ? ?

?考点分析:函数的图象、零点;

?解题关键:数形结合、推理分析

6、 抽象函数已知函数 若

①对任意 x ? (0, ??) , 恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; ②当 x ? (1, 2] 时, f ( x) ? 2 ? x . f ( x) 满足: .

f (a) ? f (2020 ) ,则满足条件的最小的正实数 a 是

?考点分析:考查抽象函数及应用, 解题关键:等价转化 类 似 题 目 : 定 义 在 R 上 的 函 数

f ( x)

, 当

x ? (?1,1]时,f ( x) ? x2 ? x


, 且 对 任 意 的 x 满 足

f ( x ? 2) ? af ( x)(常数a ? 0) ,则函数 f ( x) 在区间(5,7]上的最小值是(
A、 ?

1 3 a 4

B、

1 3 a 4

C、

1 4a 3

D、

?

1 4a 3

二、函数与方程、函数与不等式 函数

y ? f ( x) 可以看成关于 x , y 的二元方程 f ( x) ? y ? 0 ,而解方程 f ( x) ? 0 即为求函数 y ? f ( x) 的零点;而

不等式

f ( x) ? 0( f ( x) ? 0) 可以看成函数 y ? f ( x) 在 x 轴上(下)方部分的图像所对应的 x 的取值范围。
) C.

1、函数的零点(存在或所在范围)问题 [举例 1]下列函数中不能用二分法求零点的是( A.

f ?x? ? 3x ? 1

B.

f ?x ? ? x 3

f ?x? ? x

D.

f ?x ? ? ln x

?考点分析:函数的零点的判定定理 [举例 2]设 a 为非零实数,偶函数 围是 。

f ( x) ? x2 ? a x ? m ?1( x ? R) 在区间 (2,3) 上存在唯一零点,则实数 a 的取值范

?考点分析:本题考查函数的零点的判定定理 类似题目:关于 x 的方程 x [举例 3]已知
2

? a x ? a 2 ? 9 ? 0 ( a ? R )有唯一的实数根,则 a ?



f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x101 x 2 x3 x 4 x101 ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? , g ( x) ? 1 ? x ? ,若函数 f ( x ) 有唯一 2 3 4 101 2 3 4 101
( )

零点 x1 ,函数 g ( x) 有唯一零点 x 2 ,则有

A . x1 ? (0,1), x2 ? (1, 2)
C . x1 ? (0,1), x2 ? (0,1)
?考点分析:函数零点的存在定理

B . x1 ? (?1,0), x2 ? (1,2)
D . x1 ? (?1,0), x2 ? (0,1)

分析:根据函数零点的判定定理,根据选项分别求得 f(0) ,f(1) ,f(-1) ,g ( 0 ) ,g(1) ,g(2)的值,根据它们的符号 确定零点 x1,x2 所在的区间 类似题目已知函数 ( A. )

f ( x) ? a x ? x ? b 的零点 x0 ? (k , k ? 1) (k ? Z ) ,且常数 a , b 分别满足 2a ? 3 ,3b ? 2 ,则 k ?
B.

? 1;

0;

C.

1;

D.

2.
2 x

[举例 4]定义:对于定义域为 D 的函数 f ( x) ,如果存在 t ? D ,使得 f (t ? 1) ? f (t ) ? f (1) 成立,称函数 f ( x) 在 D 上是 “

T ” 函 数 。 已 知 下 列 函 数 : ① f ( x) ?

1 ; x

② f ( x) ? log2 ( x ? 2) ; ③ f ( x )? 2 ( x ? ? 0, ?? ? ) ;



f ( x) ? cos ? x( x ? ?0,1?) ,其中属于“ T ”函数的序号是
╬研究方法:等价转化(转化为方程是否有解)

. (写出所有满足要求的函数的序号)考查:函数方程

[举例 5]若函数

f ( x) ? 2|x?3| ? loga x ? 1 无零点,则 a 的取值范围为

错误!未找到引用源。



?考点分析:考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围

?研究方法:数形结合、等价转化(转化为两函数图象无交点) [举例 6 ]设

f ( x) 是定义在

R 上的偶函数,对任意

x ? R ,都有
1 x ( ?) 若在区间 1 , ? 2 (内 2 6 ]x 关,于
. 的 方 程

f ( x ? 4) ? f ( x)

且 当

? 时 ], f ( x ) x ? [? 2 , 0

f ( x) ?


la o gx ?(

恰有 3 个不同的实数根,则 ? 2 )a ? 0 ( 1) a 的取值范围是

点:函数的性质、函数的图象、函数的零点

专题与思想:函数与方程,数形结合 只需 g(2)<3,g(6)>3,解不等式即可得到答案. 类似题目 函数
2 ? ? x ? 2 x ? 1 ( x ? 0) f ( x) ? ? 有两个不同的零点, x ?1 2 ? a ( x ? 0) ? ?

则实数 a 的取值范围为



2、方程根的和或积的问题 [举例 1]设函数

1 1 f1 ( x) ? log 4 x ? ( ) x 、 f 2 ( x) ? log 1 x ? ( ) x 的零点分别为 x1、x2 ,则 4 4 4





A . x1 x2 ? 2 .

B . 1 ? x1 x2 ? 2 .

C . x1 x2 ? 1 .

D . 0 ? x1 x2 ? 1.

?本题主要考查了函数的单调性和零点的判定定理;解题关键:数形结合、计算推理 [举例 2 ]已知函数

f ( x) ? lg(x ? 1) ,若 a ? b 且 f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是

.

?考查利用函数图象分析解决问题的能力,以及对数函数图象的特点,体现数形结合的思想. [举例 3 ]已知函数

x ? ?0,1? , ? sin ? x, 若满足 f ( a) ? f (b) ? f ( c), ( a 、 b 、 c 互不相等) ,则 f ( x) ? ? log x , x ? 1, ?? , ? ? 2011 ?
.

a ? b ? c 的取值范围是
类似题目 1、已知:函数

? log3 x (0 ? x ? 9) ,若 a , b , c 均不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取值 f ( x) ? ? ?? x ? 11 ( x ? 9)


范围是(

A. (0, 9)

B. (2, 9)

C. (9, 11)

D. (2, 11)

2、设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数.若当 x

? 0 时,

? 1 ? 1 ? , x ? 0; f ( x) ? ? x ?0, x ? 0. ?

若0

? a ? b 时,若 f (a) ? f (b) ,

求 ab 的取值范围. 3、方程有解问题 [举例 1]设函数

f ( x) ? log 2 ? 2 x ? 1? 的反函数为 y ? f ?1 ( x) ,若关于 x 的方程 f ?1 ( x) ? m ? f ( x) 在 [1, 2] 上有解,


则实数 m 的取值范围是 ?解题关键:参数分离 [举例 2]定义在 R 上的奇函数 (1)判断并证明

f ( x) 有最小正周期 4,且 x ? ? 0, 2 ? 时,

f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上的单调性,并求 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上的解析式;

2x f ( x) ? x 4 ?1

(2)当 ? 为何值时,关于 x 的方程 4、不等式有解、恒成立问题 [举例 1]设函数 (1)求 k 值; (2) (文)当 0

f ( x) ? ? 在 ?2,6? 上有实数解?

f ( x) ? a x ? (k ? 1)a ? x (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数.
2

? a ? 1 时,试判断函数单调性并求不等式 f(x +2x)+f(x-4)>0 的解集; 2 (理)若 f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式 f ( x ? tx) ? f (4 ? x) ? 0 恒成立的 t 的取值范围;
3 2x (3)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a 2
- 2x

-2m f(x) 在[1,+∞)上的最小值为-2,求 m 的值.

?分析: (1)利用奇偶函数满足的恒等式求值 (2)单调性可利用定义或和函数单调性的性质判断,并利用判断的结果解抽象不等式 (3)利用换元,转化为熟悉的二次函数,根据最小值,求参数。 ?函数与方程、不等式综合问题 [举例]已知函数 g ( x) (1)求 a 、 b 的值; (2)若不等式

? ax2 ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 )在区间 [2 , 3] 上有最大值 4 和最小值 1.设 f ( x ) ?

g ( x) . x

f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在 x ? [?1 , 1] 上有解,求实数 k 的取值范围;

(3)若

f | 2x ?1| ? k ?

?

?

2 ? 3k ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. | 2 ?1|
x

考点:函数的单调性、不等式有解问题,函数与方程思想

类似题目

1 、 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在

R

上的偶函数.若当

x ?0

时,

? 1 ? 1 ? , x ? 0; f ( x) ? ? x ?0, x ? 0. ?

若关于

x

的方程

f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解,求 b, c 满足的条件
?新定义问题 1、 (本题满分 18 分)对于定义域为 D 的函数 ①

y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, n] ? D ,同时满足:

②当定义域是 [m, n] 时, f ( x ) 的值域也是 [m, n] . 则称 [m, n] 是该函数的 “和 f ( x) 在 [m, n] 内是单调函数;

谐区间” . (1)求证:函数

y ? g ( x) ? 3 ?

5 不存在“和谐区间” . x

(2)已知:函数

y?

(a 2 ? a) x ? 1 ( a ? R, a ? 0 )有“和谐区间” [m, n] ,当 a 变化时,求出 n ? m 的最大值. a2 x

(3)易知,函数

y ? x 是以任一区间 [m, n] 为它的“和谐区间” .试再举一例有“和谐区间”的函数,并写出它的一个“和 y ? x 及形如 y ?

谐区间” . (不需证明,但不能用本题已讨论过的 类似题目 1、已知函数 f(x)=2+ (1)设 mn

bx ? c 的函数为例) ax

1 1 ? 2 a a x

,实数 a ? R 且 a

? 0。

? 0 ,判断函数 f ( x) 在 [m, n] 上的单调性,并说明理由;
? 0时, f(x)的定义域和值域都是 [m, n] ,求 n ? m 的最大值;

(2)设 0 ? m ? n 且 a (3) 若不等式 | a
2

f ( x) |? 2 x 对 x ? 1 恒成立,求 a 的范围;

2、已知 a、b ?

R, 向量e1 = ( x,1) e2 = (- 1,b - x) 函数f ( x) = a 求 b 的值; 若在函数定义域内总存在区间 [ m,n] (m<n) ,使得

u r

u r

1 u r u r 是偶函数. | e1 × e2 |

(1) (2)

y = f ( x) 在区间 [m,n] 上的函数值组成的集合也是

[m,n] ,求实数 a 的取值范围.
3、对定义在区间 D 上的函数 对任意的 x ?

f ( x) ,若存在闭区间 ? a, b? ? D 和常数 C ,使得对任意的 x ? ? a, b? 都有 f ( x) ? C ,且

?a, b? 都有 f ( x) ? C 恒成立,则称函数 f ( x) 为区间 D 上的“U 型”函数。
f ( x) ? x ?1 ? x ? 3
是 R 上的“U 型”函数;

(1)求证:函数

(2)设

f ( x) 是(1)中的“U 型”函数,若不等式 t ?1 ? t ? 2 ? f ( x) 对一切的 x ? R 恒成立,

求实数 t 的取值范围; (3)若函数 g ( x) ? mx ?

x2 ? 2x ? n 是区间 ? ?2, ??? 上的“U 型”函数,求实数 m 和 n 的值.

考点:函数的概念、函数恒成立问题.绝对值不等式 4、已知函数

ln(2 ? x 2 ) . f ( x) ? x?2 ?2
f ( x ) 的奇偶性并给予证明;
f ( x ) 在区间 ? 0,1? 单调递减;

(1)试判断

(2)求证:


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