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山东省日照市2014届高三3月模拟考试数学(文)试题


2014 届高三一轮模拟考试

文科数学参考答案及评分标准 2014-3
说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,准应参照本标准相应评分。 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. CDBCA CBADA (1)解析:答案:C. M ? N = {x | x ? 1} ? { y | y ? 0

} = {x | 0 ? x ? 1} .

1 1 1? i 3 1 ?z? ?1? i ? ? 1 ? i ? ? i. z 1? i 2 2 2 (3)解析:答案 B.由题意可知人数为 100 ? 0.075 ? 2 ? 15 .
(2)解析:答案:D. (4)解析:答案:C. y ? sin(3x ? )cos( x ? ) ? cos(3x ? )sin( x ? ) ? sin(3x ? ? x ? ) ? sin(4 x ? )

π 3

π 6

π 3

π 6

π 3

π 6

π 6

π π kπ π π =kπ ? , k ? Z ,得 x = ? , k ? Z .当 k ? 0 时, x = . 6 2 4 12 12 (5) 解析:答案:A. 圆的圆心为 C (1, 0) .由圆的性质知,直线 PC 垂直于弦 AB 所在的直线,
由 4x ?

1 1 ?? ? 1 .所以直线 AB 的方程为: y ? (?1) ? x ? 2 , 0 ? (?1) k PC 1? 2 即 x ? y ?3 ? 0.
则 k AB = ? (6)解析:答案:C.由已知,三棱柱的侧棱长为4,侧视图是一个矩形,它的一边长为4, 另一边长是底面正三角形的高 3 ,所以侧视图的面积为 4 3 . (7)解析:答案:B. 2 ? 2 等价于 a ? b ,当 0 ? a ? b 或 a ? 0 ? b 时,lg a ? lg b 不成立;
a b

而 lg a ? lg b 等价于 a ? b ? 0 ,能推出 2 ? 2 ;所以“ 2 ? 2 ”是“ lg a ? lg b ”的必 要不充分条件. (8)解析: 答案:A.
a b a b

① y ? x ? sin x 是偶函数,其图象关于 y 轴对称;

② y ? x ? cos x 是奇函数,其图象关于原点对称; ③ y ? x ? cos x 是奇函数,其图象关于原点对称,且当 x ? 0 时,其函数值 y ? 0 ; ④ y ? x ? 2 为非奇非偶函数,且当 x ? 0 时, y ? 0 , 且当 x ? 0 时, y ? 0 . (9)解析: 答案:D.
x

函数 f ? x ? 2 ? 的图象关于 y 轴对称,得 f ? 2+x ? ? f (2 ? x) ,又 f ? x ? 4 ? ? f ? x ? , 所以 f ? 4.5 ? ? f ? 0.5 ? , f ? 7 ? ? f ? 3? ? f ? 2 ? 1? ? f ? 2 ? 1? ? f ?1? ,

f ? 6.5 ? ? f ? 2.5 ? ? f ? 2 ? 0.5 ? ? f ? 2 ? 0.5 ? ? f ?1.5 ? ,
由题意, f ( x) 在 ? 0, 2? 上是增函数,所以 f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) . (10)解析:答案:A.动点 P (a, b) 满足的不等式组为 ?

?0 ? 2a ? b ? 2, 画出可行域可知 P 在 ?0 ? a ? 2b ? 2,

1 2 5 的正方形及内部运动,而点 P 到点 C 的距离小于 5 5 1 π( ) 2 1 ?3 1? 5 ? π . 的区域是以 C ? , ? ? 为圆心且半径为 的圆的内部,所以概率 p ? 5 2 5 2 20 ?5 5? ( ) 5
以 C ? , ? ? 为中心且边长为 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11)3; (12) y ? ? 2 x ; (13) 3 ? 2 2 ; (14)4; (15)填入 ch( x ? y ) ? chxchy ? shxshy , sh( x ? y ) ? shxchy ? chxshy 之一即可. (11)解析:答案:3. f (3) ? log 3 (3 ? 6) ? log 3 3 ? 1 ,所以 f ( f (3)) ? f (1) ? 3e ? 3.
2

?3 ?5

1? 5?

0

(12)解析:答案: y ? ? 2 x .由已知,得 a ? 2 ? ( 3) 2 , 所以 a ? 1 ,所以其渐近线方程 为 y ? ? 2x . (13)解析:答案 3 ? 2 2 .由题意得 2a ? b ? 1 ,所以

b 2a 1 1 2a ? b 2a ? b b 2a ? ? ? ? 3? ? ? 3 ? 2 2 .当且仅当 ? 时取等号. a b a b a b a b (14)解析:答案:4.把 k ? 1, p ? 1 在框图中运行 4 次后,结果是 24,所以 N =4. (15)解析:答案:填入 ch( x ? y ) ? chxchy ? shxshy , sh( x ? y ) ? shxchy ? chxshy 之一
即可. 例证 ch( x ? y ) ? chxchy ? shxshy 如下:

e x ? e? x e y ? e? y e x ? e? x e y ? e? y chxchy ? shxshy ? ? ? ? 2 2 2 2

1 ? (e x ? y ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ? e x ? y ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ) 4 1 1 ? (2e x ? y ? 2e ? x ? y ) ? (e x ? y ? e ? x ? y ) ? ch( x ? y ) . 4 2
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2sin( x ? ) sin( x ?

π 6

π π π π ) ? 2sin( x ? ) sin[ ? ( x ? )] 3 6 2 6

源:学科网]

π π π ? 2sin( x ? ) cos( x ? ) ? sin(2 x ? ) , ???????????????4 分 6 6 3 2π ? π. 所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ???????????????6 分 2 C π C π π (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( ? ) ? sin[2( ? ) ? ] ? sin C , ???????8 分 2 6 2 6 3 1 π 由已知, sin C ? ,又角 C 为锐角,所以 C ? , ???????????10 分 2 6

[来

π 2 sin BC sin A 4 ? 2 ? 2. 由正弦定理,得 ? ? 1 AB sin C sin π 6 2

???????????12 分

(17)解: (Ⅰ)社区总数为 12+18+6=36,样本容量与总体中的个体数比为

6 1 ? . 36 6

所以从 A , B , C 三个行政区中应分别抽取的社区个数为 2,3,1. ?????4 分 (Ⅱ)设 A1 , A2 为在 A 行政区中抽得的 2 个社区, B1 , B2 , B3 为在 B 行政区中抽得的 3 个社区,C 为在 C 行政区中抽得的社区,在这 6 个社区中随机抽取 2 个,全部可能的结 果有

( A1 , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A1 , C ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , C ), ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , C ), ( B2 , B3 ), ( B2 , C ), ( B3 , C ). 共有 15 种. ???????????7 分 设事件“抽取的 2 个社区至少有 1 个来自 A 行政区”为事件 X ,则事件 X 所包含的
所有可 能的结果有:

( A1 , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A1 , C ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , C ),
共有 9 种, ??????????????????10 分 所以这 2 个社区中至少有 1 个来自 A 行政区的概率为 P ( X ) ? ( 18)解: (Ⅰ)连结 BD ,因为四边形 ABCD 为菱形, 且 ?BAD ? 60 ,所以 ?ABD 为正三角形, 又 Q 为 AD 的中点,所以 AD ? BQ ;???2 分 又因为 PA ? PD ,Q 为 AD 的中点,所以 AD ? PQ . 又 BQ ? PQ ? Q ,所以 AD ? 平面PQB,???4 分 又 AD ? 平面PAD ,所以 平面PQB ? 平面PAD. ???????????6 分 (Ⅱ)证明:因为 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N , A 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,所以 Q D C
?

9 3 ? . ?????12 分 15 5
P M

N

B

AQ AN 1 ???8 分 ? ? , BC NC 2 因为 PA // 平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 PAC ? 平面 MQB ? MN . 所以 PA // MN , ???10 分 1 PM AN 1 因此, ?????????12 分 ? ? . 即 t 的值为 . 3 PC AC 3 1 n (19)解: (Ⅰ)由题意知, an ? ( ) ( n ? Ν*) , ????????2 分 4 1 ? bn ? 3log 1 an ? 2 ? 3log 1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2, 4 4 4

? bn ?1 ? bn ? 3(n ? 1) ? 2 ? (3n ? 2) ? 3 (常数) ,
∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1, 公差 d ? 3 的等差数列. ????????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? Ν*) ,
n

1 4

1 ? cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? Ν*) , ??????????6 分 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) , 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 两式相减得 S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 1 1 n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) . ????????11 分 2 4 2 3n ? 2 1 n ? Sn ? ? ? ( ) (n ? Ν*) . ????????12 分 3 3 4
源:Z+xx+k.Com]

[来

(20) (Ⅰ)设椭圆标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2 由题意,抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F2 (1,0) , CD ? 4 .
因为 CD ? 2 2 ST ,所以 ST ?

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

y D
S O
F2
?

2. ?????????2分

2b 2 b2 b2 又 S (1, ) , T (1,? ) , ST ? ? 2, a a a 2 2 2 又 c ? 1 ? a ? b , ? a ? 2, b ? 1.
x2 ?????????5分 ? y2 ? 1. 2 (Ⅱ)由题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2). ? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 由? 消去 y ,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,(*) ? y ? k ( x ? 2),
所以椭圆的标准方程 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), P ( x0 , y0 ) ,则 x1 , x2 是方程(*)的两根,所以

x

T
C

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

? ? (8k 2 ) 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0, 即 2k 2 ? 1,
且 x1 ? x2



??7分

?

8k , 1 ? 2k 2
? x1 ? x2 ? tx0 , ? y1 ? y2 ? ty0 ,

2

由 OA ? OB ? t OP ,得 ? 若t

? 0 ,则 P 点与原点重合,与题意不符,故 t ? 0 ,

? 1 1 8k 2 x ? (x ? x ) ? ? , ? ? 0 t 1 2 t 1 ? 2k 2 所以, ? ? y ? 1 ( y ? y ) ? 1 ? [k ( x ? x ) ? 4k ] ? 1 ? ?4k , 2 1 2 ? 0 t 1 t t 1 ? 2k 2 ? 因为点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆上,所以
2 0 2 0

??9分

1 8k 2 2 32k 2 1 2 4k 4 ? 2k 2 1 2 ? x ? 2 y ? 2 [( ) ? ], 即 t ? , ? 1? 2 2 2 2 2 t 1 ? 2k (1 ? 2k ) 8 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2 1 2 1 再由①,得 0 ? t ? , 又 t ? 0 ,? t ? (?2, 0) ? (0, 2) . ??????13分 8 2 x (21)解: (Ⅰ) f ?( x) ? e ? a , f (1) ? e ? a . ?????????1 分 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率为 f ?(1) ? e ? a , ∴切线 l 的方程为 y ? (e ? a ) ? (e ? a )( x ? 1) ,即 (e ? a ) x ? y ? 0 .???????3 分
(e ? a) ?1 ? (?1) ? 0 ? 0 2 2 ,所以 , ? 2 2 (e ? a) 2 ? (?1) 2 解之得, a ? ?e ? 1, 或 a ? ?e ? 1. ???????5 分 (Ⅱ)∵对于任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立, x ∴若 x ? 0 ,则 a 为任意实数时, f ( x) ? e ? 0 恒成立; ????????6 分
又切线 l 与点 (1, 0) 距离为

ex ,在 x ? 0 上恒成立,????7 分 x ex xe x ? e x (1 ? x) ? e x ? 设 Q ( x) ? ? , 则 Q?( x) ? ? , ????????8 分 x x2 x2 当 x ? (0,1) 时, Q?( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, Q?( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 所以当 x ? 1 时, Q ( x) 取得最大值, Q ( x) max ? Q (1) ? ?e , ??????9 分 所以 a 的取值范围为 (?e, ??) . 综上,对于任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立的实数 a 的取值范围为 (?e, ??) . ?10 分
若 x ? 0, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立,即 a ? ?
x

(Ⅲ)依题意, M ( x) ? e ln x ? e ? x ,
x x

ex 1 ? e x ln x ? e x ? 1 ? ( ? ln x ? 1) ? e x ? 1 , ??????11 分 x x 1 1 1 x ?1 设 h( x) ? ? ln x ? 1 ,则 h?( x) ? ? 2 ? ? 2 ,当 x ? ?1, e ? , h?( x) ? 0 , x x x x 故 h( x) 在 ?1, e ? 上单调增函数,因此 h( x) 在 ?1, e ? 上的最小值为 h(1) ? 0 ,
所以 M ?( x) ? 即 h( x ) ?

1 ? ln x ? 1 ? h(1) ? 0 , x 1 x
x

??????12 分

x 又 e ? 0, 所以在 [1, e] 上, M ?( x) ? ( ? ln x ? 1) ? e ? 1 ? 0 ,

即 M ( x) ? g ( x) ? f ( x) 在 [1, e] 上不存在极值.

??????14 分

[来源:学科网 ZXXK]


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