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数学竞赛中的数列问题


安金 龙

江 苏苏州

数 列 是 一 种 特 殊 的 函 数 也 是 一 种 反 映 自然 规 律 的
,

内的

的倍数 故公 共项 为
, , ,

,

的倍数
,

基 本 数 学 模 型 数 列 的 通 项 公 式 是 数 列 的项 与 序 号 之 间
,

所 以 数列





·

,

,

,



,



,

的对应 关 系 等 差 数列 等 比数 列 是 我 们高 中 阶段 接 触 到
的两 类特殊 的 数 列 在 我 们 的 日 常 生 活 中有 着 广 泛 的 应
,



值 相 同的项 有

,
,




‘一

用 近 十 年 的竞 赛 试 题 有 关 数 列 知 识 的 考题 的 类 型 可 以
,

年 四 川 初 赛题 已 知数 列
二,
,

,

满足
,

,

归 纳如 下



求数 列 的通项
,

求 数 列 中的 项 通 项 或 前 项 的 和
,





求数列 通 项 的 题 目 的 条件 中 要 么 是 已 知数 列
,


确定数 列 中 的 某 一 项 或 求数 列 的 通 项 公 式 这 类 题
目往 往 是 给 出数 列 中 的一 些 项 通 过 分 析 所 给 项 的特 征
,
, ,

的具 体 特 征 如 等 差 等 比 等 要 么 是 已 知 数 列 的相 邻 的
两 项 或 三 项 之 间 的 递 推关 系 该 题 就 是 给 出 了 数 列
,
,

归纳 出所 给 数 列 的 规 律 进 而 确定 数 列 的某 一 项 或 通 项 或 求 出该数 列 的前
例 项和
,

的相 邻 两项 间 的 递 推 公 式 对 于 这 类 问题 的 处 理 往 往 是
通 过 构 造新 的 特殊 的数 列 来求 解

年 全 国初 赛题 删 去 正 整 数数 列
, ,

,

,



由 已知 可 得
, ,

,

,





,

…中的所有 的完 全 平方数 得 到 一 个新 数 列 这 个 数 列 的

令 故

,


一‘


,

且 即


,


,

,



,



项是
析 与解 不 妨 记 已 知 的正 整 数 数 列 为
。 。
,

于是







·





,

,





,

因为





也适 合 上 式 所 以
,

,



,



,

删去其 中 的 所 有 的完 全 平方 数 后 所 得 的新 数 列 记 为
,

数 列 知 识 的应 用 题 年 四 川 初 赛题 已 知 正项 非 常值数 列
, ,

,

本 题 即求
,

的值
,







由此 可 得

。 。

注意到


,

,

瓦 满足 乌 瓦




成 等差 数 列

,

,

‘ 年
。, 。,

,

成 等 比数 列 令

,

因此 在 数 列

的前
,

项 中共 有
,

一了 瓦

,

则下列 关 于 数列
。。
。,

的说 法正 确的是

个 完全平方数 前
,

项 中共 有

个 完 全平方数 前


为 等差 数 列 的 每 一项 为 奇数
,


为等 比数 列
的 每 一 项 为 偶数
,

项 中仍共 有
,

个 完 全 平 方 数 因此
年 江 西 预 赛题 等差 数 列

故选
, , ,



,

由题 意 可知

,

一入

,

,

,



一 甲尸 历 石





所以
,

二 了占 占
,

沪 丫占
,

,

,

,



丫 一 瓦

丫瓦 万

,


,

,

,

,



,

中 值 相 同的项 有
, ,



丁 办二 所 以


‘。

为 等差 数 列 故 选 年 湖 南数 学 竞 赛题 某 个 货 场 有
, , ,

析 与解

已 知 两 个 数 列 确 定 这 两 个 数 列 中公 共 项

的个 数 解 这 类 问 题 的关 键 是 确定 这些 公共 项 的 特征 如果 仅 通 过 考 察 数 列

, , ,

车排 队 等待 装 货 要 求 第 一 辆 车 必 须装
, ,

箱货 物 每 相 邻



,



,


,

,



辆 车装 的 货 物 总 数 为

箱 为满足上 述 要 求 至少

来 确 定 值 相 同 的项 的 个 数 是 比 较 困 难 的 若 注
,

应 该有货物 的 箱 数 是 析 与解 列 求 和 的问 题 由 车辆 数 必 为 正 整 数 想 到 将 该 题 转 化 为数

意到 将 这 两 个 数 列 的 各 项 皆 减 去
, , ,

后 可得 到两个数列
, ,



,



,

,

,



前者为不大 于

的 自然 数 中 的

的倍数 后 者可 以 看 成 是 以 上 范 围
,

若设 第



辆 车装 货 物
,

,

箱 则
。 。

,

,



,





十鲡

,

方 程组 也 只 有 一 个 解 即
,



所 以 这 个 货场 至 少 应 该 有 货 物 的 箱 数 为

。 。





,
,

,


成一
,

一 一嘴

又 每相 邻 的
一 一
, ,

辆 车装 的货物 总 数 为

箱 且





所 以 至 少 应 该 有 货物 的 箱数 为

故 上 述 方 程 组 至 多有 一 个解 所 以
个元 素
巩 固 练 习

门 中至 多有 一

故选
年 江 苏初 赛 题 已 知 数 列
,
,





数 列知 识 和 其 它 相关 知识 的综 合 题 的通 项 公



年 江 苏 初 赛题 等 比 数 列



的首 项
项的

式为

,





,

的最 大项 是
,

公比

设 时
,

表 示 这 个数 列 的 前 有最 大 值
,

析 与解

要求

,

的最 大 项 必 须探 究数 列
,

,

的每

积 则当
,

一 项 的值 随着 项 数 的不 断增 加 怎 么 变化

,

年 天 津初 赛 题 如 图


,

为 顶 点 在第 一 象
,



,

,


,



可知当 簇
,

时 随 的

,

限 内作 正 △〔 尸 从 的 中点

, 再以 尸 和 尸


,

的不 断增加


的值逐 渐增 大 当
,

时 随着

为 顶 点在 △ 姚
,

外作 正 的 中点
… 如此 继 续下 去
,

不 断增 加

的 值 逐 渐 减 小 因此 年 天 津初 赛 题

,

是数 列
已知
,

中的最 大
是等差数 项







再以
,



和 尸

项 故选 例 列
,
,
、 、

为顶 点在 △尸 有如 下 结 论






外 作 正 △尸

为公 差 且 不 等 于
,

均 为 实数 它 的 前
,

,

① 所作 的 正 三 角 形 的边 长 构 成 公 比 为





和 记 作 “一 设 集 合

、 ‘


,


,







告等
的 具



,

集合

数 列 ② 每 一 个 正 三 角 形 都 有 一 个 顶 点 在 直线
顶点




,





兀「工



,



试 问下 歹 结论 是 否 正 。
,

上 ③ 第 六 个 正 三 角 形 的 不 在第 五 个 正 三 角 形 边 上 的

的 坐 标是



如 果 正 确 请 给 予 证 明 如 果 不 正 确 请 举 例说 明

川 器毅

,

④第

个 正 三 角形 的


若以集合 都 在 一 条直 线 上

中 的元 素作 为 点 的 坐 标 则 这 些 点
,

不在 第

言 一 丈 二不一 乙


个正 三 角形边 上 的顶 点


的横 坐 标

中至 多 有 一 个元 素

,



,

正 确 因 为在 等差 数列


,



,

,



其 中正 确结论 的序 号 是
结 论 的 序 号 都填 上

把你认 为 正 确

, ,

,



肪以一

、 ,

年 全 国 高 中数 学联 赛 题 已 知 数 列
, 人 、 一 丁 阴 坐怀迫甘力 性 ,
,


,





,

,

达衣 明 息 气

,

,





万 乙



,



,

,

,

… 满 足关 系式
,



,

,



,





,

肌以息



,

,

一 刊 仕 且玫
,

、 ‘ 一一





,



一二 乙




,

上 则


会 息

的值 是
年 浙 江 预 赛题 设

正确 设

,





是方程组

为正 整 数

, , ,

十进制

,

音 告 一 一 备

,

,



二十

的各位 上 的数 字 的平 方 之 和 比 如
,


的解 九 入
, ,

,





… 则
,

解 这 个方 程 组 消 去


,

,





,

年 陕 西 预 赛题 已 知数列
项 和 分别 为
,


,



氏 的前

,

当 当

时 方程
,

无解 此 时
只 有 一 个解

一曰 一 一嘴

氏 记



,

,

以 界 一
,

,





共 。时 方 程
,

此时

数列

‘,

的前

项 的和 为



蕊一







,。



,。



所以






,
,







,

一 一 ,



,





·




,



‘刀
,





所以


,

,

一 一

一 山

·

·

一‘

·



一 ,

,

① ②
。 ” ”

,

印 年 江 苏初 赛题 设 数列 久 中 衡 一

,





,







一‘




·

一‘

,




,

,





,



,

则 纯二被
、、 二

除的余数为
,
‘ 、











,

,

·

·



,

所以

所以

,

。 。





,







,






午 明 南 孜 早 克 蚕 超 致 夕组飞



,

少 足 俩

一万 乙



,

。 。

·


·

·

,




·


·




·






。 。




·


“ ”
,

、 苍

。 鉴。

·

·

,



,

,

,


,

,
,







…十 瓦





苍经 器
, 丢

·

尸 一



热 …瓦 试 求 尸
,



的值
,

所以
,


故选

,



年 全 国 高 中数 学 联 赛 题 数 列
,

满足
说明

,



一 三

此 题 用 到 了 计 数 原 理 与 二 项 式 定 理 的知识
因为
,









,



,



。,






,

。,

,







。,

,

,



·

,

所以

。,

,

证明

,
·

对 于 任意




,

为整 数

对 于任意

,

,

,






,

,



为 完 全 平方 数
参考答案
①②③④

所 以 、一

鲁 六 念 洽 镰云 会淤 瓮器
吸 一 一 ,,十 、一

·









所 以 尸一 “ ” …瓦 一
,
,

卫生





,

,


,

,








,

阅 呼

下 父



一 屿

,



,

乙,

…则
,




一 〔 一一 声、 十 拐

,





少一

,














一 一 一“ 十 口
,



·



, 即 、 一 、一 一

所以 、

一 、


,

,





火 一 舀 丁 一 乙一 己 军 可 二夕
,







,








·




·



坑 十氛 一

故数 列
·





等 数 音是 , 合 一 一 , 所 以 民一 ‘ 告 会告 告 一
的 列 故 、
·

比为





乙 十 气一


,

一乙
,

证明
,

由题设 得



,




严 格 单调 递 增
,



·

将条 件 式 变 形 得 、
,


,

啄 石二 丽 亏夏 三



两 边 平 方 整理 得 三 一
一 所以 三
。一

,

,

,

① ②
,

所以

告 息 息 息 告 一 告镌汗迎




、一



一‘,
·

,

,






‘,



告 一
,





‘ ’

·

①一 ② 得
, ,



,



,





,








因为



,

,

,

,

所以


,



,


, ,



,



,









记做
的数列 故 介
一介

于是有
… 从
,

由 ③式 及





可 知 对任 意
,
,




,

,

为 正整数

,


,

一 一

将 ①两 边 配 方 得
,



,

开 始 后 面 是周 期 为

,

,

所 以 声计 一


, ,




。义

九 解
当刀
一 , 氏 一氏
,



,



入 一人








氏 一 氏一
, , ,



由③ 得
,



,





兰一 三 一



,

一 ,

人 一人
,








一 式 一 且一 ,



,



,


,

所以
,

、,
,




三 一
,





,











,



,


,


,

,


,

一 ,

,


,

,

所以





拼 以 一一 百 力 止 登 教 一
,
,



。一

,

,











又 ④式成 立 所 以 气



是 完全 平 方 数


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