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江苏省徐州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


江苏省徐州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={3,5},则?UA=. 2. (5 分)若幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2,8) ,则 a=. 3. (5 分)函数 y=log2(2x﹣3)的定义域是. 4. (5 分)求值:sin π=.
a

5. (5 分)已知角 α 的终边经过点 P(3,4) ,则 cosa=.

6. (5 分)计算: ( )

+log39=.

7. (5 分)方程 lgx+x=2 的根 x0∈(k,k+1) ,其中 k∈Z,则 k=. 8. (5 分)已知| |=1,| |=2,|3 + |=4,则| |=.

9. (5 分)将函数 y=sin2x 的图象向右平移
3

个单位所得函数的解析式为.

10. (5 分)已知 f(x)=ax ﹣bsinx﹣2,a,b∈R,若 f(﹣5)=17,则 g(5)的值是. 11. (5 分)若 tan(α+β)= ,tan(β﹣ )= ,则 tan(α+ )=.

12. (5 分)在平行四边形 ABCD 中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,若 <1) ,则 ? 的取值范围是.

=

+m

(0<m

13. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)在[﹣4,+∞)上为增函数,且 y=f(x﹣4)是偶函 数,则 f(﹣6) ,f(﹣4) ,f(0)的大小关系为(从小到大用“<”连接) 14. (5 分)已知函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1,当 x∈[0,1]时,f(x)=|3x﹣1|﹣1,若 对任意实数 x,都有 f(x+a)<f(x)成立,则实数 a 的取值范围是.

二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15. (14 分)已知集合 A={x|1≤x≤5},B={x|﹣2<x<3}. (1)求 A∪B (2)若 C={x|x∈A∩B,且 x∈Z},试写出集合 C 的所有子集.

16. (14 分)已知向量 =(6,2) , =(﹣2,k) ,k 为实数. (1)若 ∥ ,求 k 的值; (2)若 ⊥ ,求 k 的值; (3)若 与 的夹角为钝角,求 k 的取值范围.

17. (14 分)已知 cosθ=﹣ (1)求 tanθ 的值; (2)求 tan2θ+

,θ∈(

,π)

的值.

18. (16 分)学校欲在甲、乙两店采购某款投影仪,该款投影仪原价为每台 2000 元,甲店用 如下方法促销:买一台价格为 1950 元,买两台价格为 1900 元,每多买台,每多买一台,则 所买各台单价均再减 50 元,但最低不能低于 1200 元;乙店一律按原售价的 80%促销.学校 需要购买 x 台投影仪,若在甲店购买费用记为 f(x)元,若在乙店购买费用记为 g(x)元. (1)分别求出 f(x)和 g(x)的解析式; (2)当购买 x 台时,在哪家店买更省钱? 19. (16 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣cos2x. (1)将 f(x)化成 y=Asin(ωx+φ)的形式,并求 f(x)的周期; (2)用“五点法”作出函数 f(x)在一个周期内有图象; (3)写出函数 f(x)的单调区间. x 0 f(x) π 2π

20. (16 分)已知函数 f(x)=x +bx+c 为偶函数,关于 x 的方程 f(x)=a(x+1)2(a≠1)的 根构成集合{1}. (1)求 a,b,c 的值; (2)求证: (3)设 g(x)= 求实数 m 的取值范围. ≤ + |x|+1 对任意的 x∈[﹣2,2]恒成立; 若存在 x1,x2∈[0,2],使得|g(x1)﹣g(x2)|≥m,

2

江苏省徐州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={3,5},则?UA={1,2,4}. 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5},A={3,5}, ∴?UA={1,2,4}, 故答案为:{1,2,4}. 点评: 本题主要考查集合关系的应用,比较基础. 2. (5 分)若幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2,8) ,则 a=3. 考点: 专题: 分析: 解答: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 函数的性质及应用. 根据幂函数 f(x)的图象经过点(2,8) ,列出方程,求出 a 的值. a 解:∵幂函数 f(x)=x 的图象经过点(2,8) ,
a

∴2 =8; 解得 a=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.

a

3. (5 分)函数 y=log2(2x﹣3)的定义域是(

) .

考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接由对数式的真数大于 0 求得 x 的取值集合得答案. 解答: 解:由 2x﹣3>0,得 x . ) .

∴函数 y=log2(2x﹣3)的定义域是( 故答案为: ( ) .

点评: 本题考查了对数型函数的定义域,是基础题.

4. (5 分)求值:sin

π=



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式化简 sin 解答: 解:sin 故答案为: . π=sin(4π+ π=sin )=sin ,即可求得答案. = ,

点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,属于基础题.

5. (5 分)已知角 α 的终边经过点 P(3,4) ,则 cosa= .

考点: 专题: 分析: 解答:

任意角的三角函数的定义. 三角函数的求值. 由题意和任意角的三角函数的定义求出 cosa 的值即可. 解:由题意得角 α 的终边经过点 P(3,4) ,则|OP|=5, = ,

所以 cosa= 故答案为: .

点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.

6. (5 分)计算: ( )

+log39=6.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数与对数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式= +2=4+2=6.

故答案为:6. 点评: 本题考查了指数与对数的运算法则,属于基础题. 7. (5 分)方程 lgx+x=2 的根 x0∈(k,k+1) ,其中 k∈Z,则 k=1. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 f(x)=lgx+x﹣2,求出函数 f(x)的定义域,并判断出函数的单调性,验证 f(1) <0 和 f(2)>0,可确定函数 f(x)在(0,+∞)上有一个零点,再转化为方程 lgx+x=2 的 一个根 x0∈(1,2) ,即可求出 k 的值. 解答: 解:由题意设 f(x)=lgx+x﹣2,则函数 f(x)的定义域是(0,+∞) , 所以函数 f(x)在(0,+∞)是单调增函数, 因为 f(1)=0+1﹣2=﹣1<0,f(2)=lg2+2﹣2=lg2>0, 所以函数 f(x)在(0,+∞)上有一个零点, 即方程 lgx+x=2 的一个根 x0∈(1,2) , 因为 x0∈(k,k+1) ,k∈Z,所以 k=1, 故答案为:1. 点评: 本题考查方程的根与函数的零点之间的转化,以及对数函数的性质,属于中档题.

8. (5 分)已知| |=1,| |=2,|3 + |=4,则|

|=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的性质:向量的平方即为模的平方,计算即可得到所求值. 解答: 解:由| |=1,| |=2,|3 + |=4, 则(3 + ) =9 即为 9+4+6 即有 则| = , |= =
2

+ =16,

+6

=16,

=

=



故答案为: . 点评: 本题考查向量的数量积的定义和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查运算能 力,属于基础题.

9. (5 分)将函数 y=sin2x 的图象向右平移

个单位所得函数的解析式为 y=sin(2x﹣

) .

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 左加右减上加下减的原则,直接求出将函数 y=sin2x 的图象向右平移 函数的解析式. 解答: 解:将函数 y=sin2x 的图象向右平移 =sin(2x﹣ ) , ) . 个单位所得函数的解析式:y=sin2(x﹣ ) 个单位所得

故答案为:y=sin(2x﹣

点评: 本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.注意 x 前面的系数的应用. 10. (5 分)已知 f(x)=ax ﹣bsinx﹣2,a,b∈R,若 f(﹣5)=17,则 g(5)的值是﹣21. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x)=ax ﹣bsinx﹣2 得,f(x)+2=ax ﹣bsinx 为奇函数,由题意和奇函数 的性质求出 f(5)的值. 3 解答: 解:由题意得,函数 f(x)=ax ﹣bsinx﹣2, 3 所以 f(x)+2=ax ﹣bsinx 为奇函数, ∴f(﹣5)+2+f(5)+2=0, 又 f(﹣5)=17,则 f(5)=﹣21. 故答案为:﹣21. 点评: 本题考查利用函数的奇偶性求函数值,属于基础题.
3 3 3

11. (5 分)若 tan(α+β)= ,tan(β﹣

)= ,则 tan(α+

)=



考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用 tan(α+ )=tan[(α+β)﹣(β﹣ )],通过两角和的正切函数求解即可.

解答: 解:∵tan(α+

)=tan[(α+β)﹣(β﹣

)],



又∵





故答案为:



点评: 本题考查两角和的正切函数的应用,注意角的变换技巧,考查计算能力.

12. (5 分)在平行四边形 ABCD 中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,若 <1) ,则 ? 的取值范围是[﹣ ,﹣1) .

=

+m

(0<m

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;函数的性质及应用;平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的定义可得, ? =4, 运用向量的三角形法则, 化简 ? =4m
2

﹣2m﹣3,再由二次函数在闭区间上的最值求法,即可得到范围. 解答: 解: 若 则 =m
2

?

=|

|?|

|?cos60°=4×

=4,

= ? = ﹣

+m ?

(0<m<1) , =( ﹣ m +m )?(
2



)=(

+m
2

)?(m ,





=4m ﹣2m﹣3=4(m﹣ ) ﹣ ,

由于 0<m<1,则 m= ,取得最小值﹣
2 2

又 m=0,4m ﹣2m﹣3=﹣3;m=1,4m ﹣2m﹣3=﹣1. 则有 ? 的取值范围为[﹣ ,﹣1) . ,﹣1) .

故答案为:[﹣

点评: 本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查二次函数的最值,考查运算能力, 属于中档题和易错题.

13. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)在[﹣4,+∞)上为增函数,且 y=f(x﹣4)是偶函 数,则 f(﹣6) ,f(﹣4) ,f(0)的大小关系为 f(﹣4)<f(﹣6)<f(0) (从小到大用“<” 连接) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据 y=f (x﹣4) 为偶函数, 可得函数 y=f ( x) 的图象关于直线 x=﹣4 对称, 故f (0) , f(﹣4) ,f(﹣6)大小关系可转化为判断 f(﹣8) ,f(﹣4) ,f(﹣6)大小关系,由函数 y=f (x)在[﹣4,+∞)上为增函数,可得函数 y=f(x)在(﹣∞,﹣4]上是减函数,进而得到答 案. 解答: 解:∵y=f(x﹣4)为偶函数,即有 f(﹣x﹣4)=f(x﹣4) , ∴函数 y=f(x)的图象关于直线 x=﹣4 对称, ∴f(0)=f(﹣8) , 又由函数 y=f(x)在[﹣4,+∞)上为增函数, 故函数 y=f(x)在(﹣∞,﹣4]上是减函数, 故 f(﹣8)>f(﹣6)>f(﹣4) , 即 f(0)>f(﹣6)>f(﹣4) , 故答案为:f(﹣4)<f(﹣6)<f(0) . 点评: 本题考查的知识点是函数的单调性, 函数的奇偶性, 其中根据已知分析出函数 y=f (x) 的图象关于直线 x=﹣4 对称及函数 y=f(x)在(﹣∞,﹣4]上是减函数,是解答的关键. 14. (5 分)已知函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1,当 x∈[0,1]时,f(x)=|3x﹣1|﹣1,若 对任意实数 x,都有 f(x+a)<f(x)成立,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣ )∪(﹣ , ﹣ ) .

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先把绝对值函数化为分段函数,再根据图象的平移得到函数 f(x)的图象,观察函 数的图象,即可求出 a 的范围. 解答: 解:∵x∈[0,1]时,f(x)=|3x﹣1|﹣1, ∴当 x∈[0, ]时,f(x)=﹣3x, x∈( ,1]时,f(x)=3x﹣2, 由 f(x+1)=f(x)+1,可得到 f(x)大致图形为,如图所示 由图可以看出,当 x= 时,即 D 点. 若 a≥0,则 f( +a)≥f( ) ,不满足题意.所以 a<0. 由图中知,比 D 小的为 C 左边的区域,且不能为 A 点. C 点为 f(﹣ ) ,此时 a=﹣ .

所以 a 的范围是(﹣∞,﹣ )∪(﹣ ,﹣ ) 故答案为: (﹣∞,﹣ )∪(﹣ ,﹣ )

点评: 本题考查了分段函数的图象和性质,以及含有参数的取值范围,关键是利用数形结 合的思想,属于难题. 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15. (14 分)已知集合 A={x|1≤x≤5},B={x|﹣2<x<3}. (1)求 A∪B (2)若 C={x|x∈A∩B,且 x∈Z},试写出集合 C 的所有子集. 考点: 并集及其运算;子集与真子集. 专题: 集合. 分析: (1)根据集合的基本运算进行求解即可求 A∪B (2)根据集合关系,即可得到结论. 解答: 解: (1)∵A={x|1≤x≤5},B={x|﹣2<x<3}. ∴A∪B={x|﹣2<x≤5} (2)∵A∩B═{x|1≤x<3}. ∴C={x|x∈A∩B,且 x∈Z}={1,2}, 故集合 C 的所有子集为?,{1},{2},{1,2}. 点评: 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用,比较基础.

16. (14 分)已知向量 =(6,2) , =(﹣2,k) ,k 为实数. (1)若 ∥ ,求 k 的值; (2)若 ⊥ ,求 k 的值; (3)若 与 的夹角为钝角,求 k 的取值范围.

考点: 平面向量数量积的运算;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)由向量共线的坐标表示,解方程即可得到; (2)运用向量垂直的条件:数量积为 0,计算即可得到 k; (3)由向量的夹角为钝角的等价条件:数量积小于 0,且不共线,解不等式即可得到 k 的范 围. 解答: 解: (1)若 ∥ , 则 6k﹣(﹣2)×2=0,解得 k=﹣ ; (2)若 ⊥ , 则 6×(﹣2)+2k=0,解得 k=6; (3)若 与 的夹角为钝角, 则 即有 <0,且 , 不共线. ,

解得 k<6 且 k



点评: 本题考查向量共线的坐标表示,考查向量垂直的条件:数量积为 0,考查向量的夹角 为钝角的等价条件,考查运算能力,属于基础题和易错题. ,θ∈(

17. (14 分)已知 cosθ=﹣ (1)求 tanθ 的值; (2)求 tan2θ+

,π)

的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用同角三角函数间的关系式,由 cosθ=﹣ ,θ∈( ,π) ,可求得 sinθ,

从而可得 tanθ 的值; (2)由(1)知,tanθ=﹣2,将所求关系式中的“弦”化“切”,结合二倍角的正切,即可求得答 案. 解答: 解: (1)因为 cosθ=﹣ 所以 sinθ= = ,θ∈( ,π) , = ,…4

所以 tanθ=

=﹣2…6

(2)由(1)知,tanθ=﹣2, 所以 tan2θ+ = + = + = …

14. 点评: 本题考查同角三角函数基本关系的运用, (2)中“弦”化“切”是关键,考查转化思想与 运算求解能力,属于中档题. 18. (16 分)学校欲在甲、乙两店采购某款投影仪,该款投影仪原价为每台 2000 元,甲店用 如下方法促销:买一台价格为 1950 元,买两台价格为 1900 元,每多买台,每多买一台,则 所买各台单价均再减 50 元,但最低不能低于 1200 元;乙店一律按原售价的 80%促销.学校 需要购买 x 台投影仪,若在甲店购买费用记为 f(x)元,若在乙店购买费用记为 g(x)元. (1)分别求出 f(x)和 g(x)的解析式; (2)当购买 x 台时,在哪家店买更省钱? 考点: 函数模型的选择与应用;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 2000﹣50x=1200,可得 x=16,再分类讨论,即可求出 f(x)和 g(x)的解 析式; (2)1≤x≤16 时,由 f(x)=g(x) ,可得 x=8,再分类讨论,即可得出结论. 解答: 解: (1)由 2000﹣50x=1200,可得 x=16, 1≤x≤16 时,f(x)=x; x>16 时,f(x)=1200x, ∴f(x)= ,g(x)=2000×80%x=1600x;

(2)1≤x≤16 时,由 f(x)=g(x) ,可得 x=8 ∴1≤x≤8 时,f(x)﹣g(x)=(400﹣50x)x>0,f(x)>g(x) ; x=8 时,f(x)=g(x) ; 8≤x≤16 时,f(x)﹣g(x)=(400﹣50x)x<0,f(x)<g(x) ; x≥16 时,f(x)﹣g(x)=﹣400x<0,f(x)<g(x) ; 综上所述,当购买大于 8 台时,在甲店买省钱;当购买小于 8 台时,在乙店买省钱;当购买等 于 8 台时,在甲、乙店买一样. 点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,确定函数解析式是关 键. 19. (16 分)已知函数 f(x)=2 sinxcosx﹣cos2x. (1)将 f(x)化成 y=Asin(ωx+φ)的形式,并求 f(x)的周期; (2)用“五点法”作出函数 f(x)在一个周期内有图象; (3)写出函数 f(x)的单调区间. x

0 f(x)

π



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 作图题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由两角差的正弦公式化简即可得解析式:f(x)=2sin(2x﹣ 即可求解; (2)列表,描点连线即可用五点法做出图象; (3)根据正弦函数的性质即可求得单调区间. 解答: 解: (1)f(x)= 所以函数 f(x)的周期为 (2)列表: 2x﹣ x y 描点作图: 0 2 0 ﹣2 0 0 π 2π sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣ =π. ) , ) ,由周期公式

(3) 函数 f (x) 的单调递减区间是: [k k ](k∈Z) .

, k

] (k∈Z) ; 单调递增区间是[k



点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的图象与性质,五点法作图, 属于基础题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=x +bx+c 为偶函数,关于 x 的方程 f(x)=a(x+1)2(a≠1)的 根构成集合{1}. (1)求 a,b,c 的值; (2)求证: (3)设 g(x)= 求实数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质;二次函数的性质. 专题: 导数的综合应用. 2 2 2 分析: (1)由 f(﹣x)=f(x)得 x ﹣bx+c=x +bx+c,解得 b=0,又 f(x)=a(x+1) 只 2 有一个根 1,即(a﹣1)x +2ax+a﹣c=0 只有一个根 1,利用判别式即可求出 a,c; (2)根据偶函数性质将所证问题等价转化为 构造函数 h(x)=( >0,开方即可得证; (3)存在 x1,x2∈[0,2],使得|g(x1)﹣g(x2)|≥m,等价于|g(x1)﹣g(x2)|max≥m,由 (2)和题目条件可得 和 ,因此|g(x1)﹣g(x2)|max= 值范围. 解答: 解: (1)∵f(x)=x +bx+c 为偶函数, 2 2 ∴f(﹣x)=f(x) ,即 x ﹣bx+c=x +bx+c,解得 b=0; 2 2 2 又 f(x)=a(x+1) 只有一个根 1,即 x +c=a(x+1) 只有一个根 1, 2 即(a﹣1)x +2ax+a﹣c=0 只有一个根 1,又 a≠1, ∴ ,解得 ,
2 2 2 2

≤ +

|x|+1 对任意的 x∈[﹣2,2]恒成立; 若存在 x1,x2∈[0,2],使得|g(x1)﹣g(x2)|≥m,

对任意的 x∈[0,2]恒成立, x+1) ≥(x +1)
2 2

x+1) ﹣(x +1) ,利用二次函数性质得出(

,从而可得 ,所以可求出实数 m 的取

∴a= ,b=0,c=1. (2)∵f(x)为偶函数, ∴ ≤ ≤ |x|+1 对任意的 x∈[﹣2,2]恒成立等价于 |x|+1 对任意的 x∈[0,2]恒成立,

即 即



x+1 对任意的 x∈[0,2]恒成立, 对任意的 x∈[0,2]恒成立, x+1) ﹣(x +1)=﹣ ,
2 2

令 h(x)=( =

由二次函数性质易知在, 在[0,2]上 h(x)≥g(0)=g(2)=0, ∴( ∴即 x+1) ≥(x +1)>0, ,
2 2

从而问题得证; (3)由题意可知,|g(x1)﹣g(x2)|max≥m, ∵f(x)=x +1 ∴ 又由(2)得 ∴ , , 2﹣x)+1
2



即 , ∴|g(x1)﹣g(x2)|max= 即 m≤ ∴实数 m 的取值范围是(﹣∞, ) . 点评: 本题考查函数恒成立问题,考查函数奇偶性的应用,数学的转化思想方法,属于压 轴题,难题.


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