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2014-2015学年广东省湛江二中高一(下)5月月考数学试卷


2014-2015 学年广东省湛江二中高一(下)5 月月考数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 1.已知 θ 为第二象限角,sinθ= A. B. ﹣ ,则 tanθ 等于( C. ± ) D. ﹣

2.在△ ABC 中, A. ﹣

= , B.

= ,若点 D 满足 ﹣

=2 C.

,则 +

等于(

) D. +

3.已知△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a= ,b= A. 60° B. 120° C. 60°或 120°

,A=45°,则 B=( D. 90°



4.已知向量 =(1,0)与向量 =( A. B.

) ,则向量 与 的夹角是( C. D.



5. 函数 y=Asin (ωx+φ) (ω>0, |?|<

, x∈R) 的部分图象如图所示, 则函数表达式为 (



A. y=﹣4sin( C. y=﹣4sin(

) )

B. y=4sin( D. y=4sin(

) )

6.f(x)=sin(x+

) ,g(x)=cos(x﹣

) ,则下列命题中正确的是(



A. f(x)g(x)是偶函数 C. f(x)g(x)的最小值为﹣

B. f(x)g(x)的最小正周期为 π D. f(x)g(x)的最大值为 1

7.若 3sinα+cosα=0,则

的值为(



A.

B.

C.

D . ﹣2

8.{an}为等差数列,Sn 为前 n 项和,S5<S6,S6=S7,S7>S8,则下列说法错误的是( A. d<0 B. a7=0 C. S9>S5 D. S6 和 S7 均为 Sn 的最大值 9.已知△ ABC 的三个内角满足:sinA=sinC?cosB,则三角形的形状为( ) A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形



10.已知数列{an}是首项为 2,公差为 1 的等差数列,{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数 列,则数列 A. 511 前 10 项的和等于( B. 512 ) C. 1023 D. 1033

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,答案填写在答题卷上. 11. 等差数列{an}中, a1+a2+a3=﹣24, a18+a19+a20=78, 则此数列前 20 项和等于 12.在直角△ ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,D 为斜边 AB 的中点,则 = .



13.设公比为 q 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+1、Sn、Sn+2 成等差数列,则 q= . 14.将全体正奇数排成一个三角形数阵如图:按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向 右的第 3 个数为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.已知向量 =(cosα,1+sinα) , =(1+cosα,sinα) . (1)若| + |= ,求 sin2α 的值;

(2)设 =(﹣cosα,﹣2) ,求( + )? 的取值范围.

16. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 (Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求 的值.

, b=5, △ ABC 的面积为



17.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,D 为侧棱 PC 上一点,它的正 (主)视图和侧(左)视图如图所示. (Ⅰ)证明:AD⊥平面 PBC; (Ⅱ)在∠ACB 的平分线上确定一点 Q,使得 PQ∥平面 ABD,并求此时 PQ 的长.

18.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y﹣29=0 相 切. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) , 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N ) , (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn= ,数列{bn}的前项和为 Tn,n∈N 证明:Tn<2.
* *

20.已知 f(x)=(a﹣1) (a ﹣a ) (a>0.a≠1) . (1)判断并证明 f(x)的奇偶性; (2)判断并证明 f(x)的单调性; (3)若 f(acos2x﹣a )+f(6acosx﹣1)≤0 对任意 x∈[
2

x

﹣x



]恒成立,求 a 的取值范围.

2014-2015 学年广东省湛江二中高一(下)5 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 1.已知 θ 为第二象限角,sinθ= A. B. ﹣ ,则 tanθ 等于( C. ± ) D. ﹣

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:由 sinθ 的值及 θ 为第二象限角,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosθ 的值,即 可确定出 tanθ 的值. 解答: 解:∵θ 为第二象限角,sinθ= ∴cosθ=﹣ =﹣ , ,

则 tanθ=﹣ , 故选:D. 点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

2.在△ ABC 中, A. ﹣

= , B.

= ,若点 D 满足 ﹣

=2 C.

,则 +

等于(

) D. +

考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:计算题. 分析:把向量用一组向量来表示,做法是从要求向量的起点出发,尽量沿着已知向量,走到 要求向量的终点,把整个过程写下来,即为所求. 解答: 解:∵由 ∴ ∴ . , ,

故选 C. 点评:本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义, 用一组向量来表示一个向量, 是以后 解题过程中常见到的,向量的加减运算是用向量解决问题的基础,要学好运算,才能用向量 解决立体几何问题,三角函数问题,好多问题都是以向量为载体的.

3.已知△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a= ,b= A. 60° B. 120° C. 60°或 120°

,A=45°,则 B=( D. 90°



考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:运用正弦定理,可得 sinB,结合 A=45°,以及内角和定理,可得角 B. 解答: 解:根据正弦定理可知 ,

∴sinB=

=

=



∵B∈(0°,180°) ,且 A=45°, ∴∠B=60°或 120°, 故选:C. 点评:本题考查正弦定理的运用,同时考查特殊角的三角函数值,属于基础题.

4.已知向量 =(1,0)与向量 =( A. B.

) ,则向量 与 的夹角是( C. D.



考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:计算题. 分析:由题意求得| |和| |的值,由两个向量的夹角公式求得向量 与 的夹角的余弦值,从 而求得向量 与 的夹角. 解答: 解:∵向量 =(1,0)与向量 =( ) ,则| |=1,| |= = =2. =﹣ .

设向量 与 的夹角是 θ,则由两个向量的夹角公式可得 cosθ=

再由 0≤θ<π 可得 θ=



故选 C. 点评:本题主要考查两个向量的夹角公式, 两个向量数量积公式, 两个向量坐标形式的运算, 属于中档题. , x∈R) 的部分图象如图所示, 则函数表达式为 (

5. 函数 y=Asin (ωx+φ) (ω>0, |?|<



A. y=﹣4sin( C. y=﹣4sin(

) )

B. y=4sin( D. y=4sin(

) )

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 分析:先由图象的最高点、 最低点的纵坐标确定 A (注意 A 的正负性) , 再通过周期确定 ω, 最后通过特殊点的横坐标确定 φ,则问题解决. 解答: 解:由图象得 A=±4, =8,∴T=16,∵ω>0,∴ω= ①若 A>0 时,y=4sin( 当 x=6 时, 又|φ|< x+φ) , ,k∈Z; = ,

φ=2kπ,φ=2kπ﹣

,∴φ∈?; x+φ) , ,k∈z;

②若 A<0 时,y=﹣4sin( 当 x=﹣2 时, 又|φ|< ,∴φ=

φ=2kπ,φ=2kπ+ .

综合①②该函数解析式为 y=﹣4sin(

) .

故选 A. 点评:本题主要考查由三角函数部分图象信息求其解析式的基本方法.

6.f(x)=sin(x+

) ,g(x)=cos(x﹣

) ,则下列命题中正确的是(



A. f(x)g(x)是偶函数 C. f(x)g(x)的最小值为﹣

B. f(x)g(x)的最小正周期为 π D. f(x)g(x)的最大值为 1

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用诱导公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的奇偶性、周期性、最值, 逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论. 解答: 解:由 f(x)=sin(x+ =sinxcosx= sin2x, 由于 f(x)g(x)为奇函数,故 A 不正确; 由于 f(x)g(x)的最小正周期为 =π,故 B 正确; )=cosx,g(x)=cos(x﹣ )=sinx,可得 f(x)g(x)

由于 f(x)g(x)的最小值为﹣ ,故 C 不正确; 由于 f(x)g(x)的最大值为 ,故 D 不正确, 故选:B. 点评:本题主要考查诱导公式、正弦函数的奇偶性、周期性、最值,属于基础题. 7.若 3sinα+cosα=0,则 A. B. 的值为( C. ) D . ﹣2

考点:二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用. 专题:计算题. 分析:首先考虑由 3sinα+cosα=0 求 在根据半角公式代入直接求解,即得到答案. 解答: 解析:由 3sinα+cosα=0?cosα≠0 且 tanα=﹣ 的值,可以联想到解 sinα,cosα 的值,

所以 故选 A. 点评:此题主要考查同角三角函数基本关系的应用, 在三角函数的学习中要注重三角函数一 系列性质的记忆和理解,在应用中非常广泛. 8.{an}为等差数列,Sn 为前 n 项和,S5<S6,S6=S7,S7>S8,则下列说法错误的是( A. d<0 B. a7=0 C. S9>S5 D. S6 和 S7 均为 Sn 的最大值 )

考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知得由题意可知等差数列中,d<0,a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7=0>a8>a9>… >an,S6=S7 为 Sn 最大值,S9<S5. 解答: 解:∵{an}为等差数列,Sn 为前 n 项和,S5<S6,S6=S7,S7>S8, ∴由题意可知等差数列中,d<0, a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7=0>a8>a9>…>an, ∴S6=S7 为 Sn 最大值,S9<S5. 故选:C. 点评:本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意数列的性质的合理运 用. 9.已知△ ABC 的三个内角满足:sinA=sinC?cosB,则三角形的形状为( A. 正三角形 B. 直角三角形 )

C. 等腰直角三角形 考点:三角形的形状判断. 专题:计算题.

D. 等腰三角形或直角三角形

分析:由正弦定理可得 cosB= , 再由余弦定理可得 cosB=
2 2 2

, 由 =

化简可得 a +b =c ,从而可判断△ ABC 的形状. 解答: 解:△ ABC 满足 sinA=sinC?cosB,由正弦定理可得 a=c?cosB, ∴cosB= ,

再由余弦定理可得 cosB=



∴ =
2 2 2

,即 2a =a +c ﹣b ,

2

2

2

2

∴a +b =c , 故△ ABC 为直角三角形. 故选 B. 点评:本题考查正弦定理、余弦定理的应用,得到 = 档题. 10.已知数列{an}是首项为 2,公差为 1 的等差数列,{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数 列,则数列 A. 511 前 10 项的和等于( B. 512 ) C. 1023 D. 1033 是解题的关键,属于中

考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:计算题. 分析:由题设知 an=n+1bn=2
n﹣1

,故数列{

}的前 10 项和: }的前 10 项和.

S10=a1+a2+a4+a8+a16+a32+a64+a128+a256+a512,由此能求出数列{ 解答: 解:∵数列{an}是首项为 2,公差为 1 的等差数列, {bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, ∴an=2+n﹣1=n+1 n﹣1 bn=2 , ∴数列{ }的前 10 项和:

S10=a1+a2+a4+a8+a16+a32+a64+a128+a256+a512 =(1+2+4+8+16+32+64+128+256+512)+10

=

+10

=1033. 故选 D. 点评:本题考查等比数列和等差数列的通项公式的求解以及数列求和的综合运用. 解题时要 认真审题,仔细解答,注意分组求和法和等比数列前 n 项和公式的灵活运用. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,答案填写在答题卷上. 11.等差数列{an}中,a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于 180 . 考点:等差数列的性质. 专题:计算题. 分析:由 a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,由等差数列的性质可得 a1+a20= 由前 n 项和公式求解. 解答: 解:由 a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78, 得 =18,再

得 a1+a20= 所以 S20=

=18 =180

故答案为:180 点评:本题主要考查等差数列中项性质的推广及前 n 项和公式.

12.在直角△ ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,D 为斜边 AB 的中点,则 1 .

= ﹣

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题. 分析:根据含有 30°角的直角三角形的性质,得到 AB 与 CD 的长度,求出两个向量的夹角 是 120°,利用向量的数量积公式写出表示式,得到结果. 解答: 解: :∵∠C=90°,∠A=30°,BC=1, ∴AB=2. ∵D 为斜边 AB 的中点, ∴CD= AB=1,∠CDA=180°﹣30°﹣30°=120°. ∴ =2×1×cos120°=﹣1,

故答案为:﹣1.

点评:本题考查平面向量的数量积的运算,考查含有 30°角的直角三角形的性质,是一个基 础题. 13.设公比为 q 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+1、Sn、Sn+2 成等差数列,则 q= ﹣ 2 . 考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 2 分析:通过记等比数列{an}的通项为 an,利用 Sn﹣Sn+1=Sn+2﹣Sn 即﹣an?q=an?q+an?q ,计 算即得结论. 解答: 解:记等比数列{an}的通项为 an, 2 则 an+1=an?q,an+2=an?q , 又∵Sn+1、Sn、Sn+2 成等差数列, ∴Sn﹣Sn+1=Sn+2﹣Sn, 2 即﹣an?q=an?q+an?q , 2 ∴q +2q=0, ∴q=﹣2, 故答案为:﹣2. 点评:本题考查等差数列、等比数列的性质,注意解题方法的积累,属于中档题. 14.将全体正奇数排成一个三角形数阵如图:按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向 2 右的第 3 个数为 n ﹣n+5 .

考点:归纳推理. 专题:探究型. 分析:根据数阵的排列规律确定第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为多少个奇数即可. 解答: 解:根据三角形数阵可知,第 n 行奇数的个数为 n 个,则前 n﹣1 行奇数的总个数 为 1+2+3+…+(n﹣1)= 个, 个奇数, =n ﹣n+5.
2

则第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为为第 所以此时第 3 个数为:1
2

故答案为:n ﹣n+5. 点评:本题主要考查归纳推理的应用,利用等差数列的通项公式是解决本题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.已知向量 =(cosα,1+sinα) , =(1+cosα,sinα) . (1)若| + |= ,求 sin2α 的值;

(2)设 =(﹣cosα,﹣2) ,求( + )? 的取值范围. 考点:两角和与差的正弦函数;向量的模;同角三角函数间的基本关系. 专题:计算题. 分析: (1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则得到两向量和的坐标,再 利用向量模的计算方法表示出两向量和的模, 利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关 系化简后,根据已知两向量和的模得出 sinα+cosα 的值,两边平方后,再根据同角三角函数 间的基本关系及二倍角的正弦函数公式即可求出 sin2α 的值; (2)由 及 的坐标求出 + 的坐标,再由 的坐标,利用平面向量的数量积运算法则计算 所求的式子,配方后得到关于 sinα 的二次函数,配方后,根据正弦函数的值域得到自变量 sinα 的范围,利用二次函数的性质得到二次函数的值域即为所求式子的范围. 解答: 解: (1)∵ + =(1+2cosα,1+2sinα) , | + |= = ∴sinα+cosα=﹣ , 两边平方得:1+2sinαcosα= ∴sin2α=﹣ ; , = ,

(2)因 + =(0,﹣1+sinα) , ∴( + )? =sin α﹣sinα= 又 sinα∈[﹣1,1], ∴( + )? 的取值范围为[﹣ ,2]. 点评:此题考查了平面斜率的数量积运算法则, 向量模的计算, 同角三角函数间的基本关系, 二倍角的正弦函数公式,正弦函数的值域以及二次函数的性质,熟练掌握法则、性质及公式 是解本题的关键. 16. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 (Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求 的值. , b=5, △ ABC 的面积为
2

﹣ .



考点:解三角形;两角和与差的正弦函数. 专题:计算题.

分析: (Ⅰ)利用已知条件及三角形的面积公式求得 a,进而利用余弦定理求得 c. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中求得的三边及余弦定理求得 cosA 的值,然后通过同角三角函数的基本 关系求得 sinA 的值,最后利用正弦的两角和公式求得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由已知, 因为 即 解得 a=8. 由余弦定理可得: 所以 c=7. (Ⅱ)由(Ⅰ)及余弦定理有 由于 A 是三角形的内角, 易知 所以 , = = . , , , , ,b=5,

点评:本题主要考查了解三角形及正弦定理和余弦定理的应用. 考查了学生利用三角函数的 基本性质处理边角问题的能力. 17.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,D 为侧棱 PC 上一点,它的正 (主)视图和侧(左)视图如图所示. (Ⅰ)证明:AD⊥平面 PBC; (Ⅱ)在∠ACB 的平分线上确定一点 Q,使得 PQ∥平面 ABD,并求此时 PQ 的长.

考点:直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的性质. 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)先证明 BC⊥平面 PAC,可得 BC⊥AD,再证明 AD⊥PC,即可证明 AD⊥ 平面 PBC; (Ⅱ)取 AB 的中点 O,连接 CO 并延长至 Q,使得 CQ=2CO,利用线面平行的判定可知点 Q 即为所求,证明 ACBQ 为平行四边形,即可求出 PQ 的长. 解答: (Ⅰ)证明:因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥BC,…(1 分) 又 AC⊥BC,PA∩AC=A,所以 BC⊥平面 PAC,

而 AD?面 PAC,所以 BC⊥AD.…(3 分) 由三视图得,在△ PAC 中,PA=AC=4,D 为 PC 中点, 所以 AD⊥PC, 又 BC⊥AD,PC∩BC=B,∴AD⊥平面 PBC; …(5 分) (Ⅱ) 解: 如图取 AB 的中点 O, 连接 CO 并延长至 Q, 使得 CQ=2CO, 点 Q 即为所求. (7 分) 因为 O 为 CQ 中点,所以 PQ∥OD,…(8 分) 因为 PQ?平面 ABD,OD?平面 ABD,所以 PQ∥平面 ABD…(10 分) 连接 AQ,BQ,四边形 ACBQ 的对角线互相平分, 所以 ACBQ 为平行四边形,所以 AQ=4,…(11 分) 又 PA⊥平面 ABC,所以在直角△ PAQ 中,PQ= =4 . …13 分



点评:本题考查线面垂直的判定,考查线面平行,考查学生分析解决问题的能力,正确运用 线面垂直的判定,线面平行的判定定理是关键. 18.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y﹣29=0 相 切. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) , 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点:直线和圆的方程的应用;圆的标准方程. 专题:综合题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)设圆心为 M(m,0) (m∈Z) .由于圆与直线 4x+3y﹣29=0 相切,且半径为 5,所以 ,由此能求了圆的方程.
2 2

(Ⅱ)把直线 ax﹣y+5=0 代入圆的方程,得(a +1)x +2(5a﹣1)x+1=0,由于直线 ax﹣ 2 2 y+5=0 交圆于 A,B 两点,故△ =4(5a﹣1) ﹣4(a +1)>0,由此能求出实数 a 的取值范 围. (Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在,则直线 l 的斜率为 ,l 的方程为 , 使得过点 P

由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上,由此推导出存在实数 (﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设圆心为 M(m,0) (m∈Z) . 由于圆与直线 4x+3y﹣29=0 相切,且半径为 5,

所以



即|4m﹣29|=25.因为 m 为整数,故 m=1. 2 2 故所求圆的方程为(x﹣1) +y =25. …(4 分) (Ⅱ)把直线 ax﹣y+5=0,即 y=ax+5, 代入圆的方程,消去 y, 整理,得(a +1)x +2(5a﹣1)x+1=0, 由于直线 ax﹣y+5=0 交圆于 A,B 两点, 2 2 故△ =4(5a﹣1) ﹣4(a +1)>0, 2 即 12a ﹣5a>0, 由于 a>0,解得 a> , ) .
2 2

所以实数 a 的取值范围是( (Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在, 则直线 l 的斜率为 l 的方程为 , ,

即 x+ay+2﹣4a=0 由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上, 所以 1+0+2﹣4a=0,解得 由于 .

,故存在实数

使得过点 P(﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB.…(14 分) 点评:本题考查圆的方程的求法, 考查实数的取值范围的求法, 探索满足条件的实数是否存 在.对数学思维要求较高,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N ) , (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn= ,数列{bn}的前项和为 Tn,n∈N 证明:Tn<2.
* *

考点:数列递推式;数列的求和;数列与不等式的综合. 专题:综合题. 分析: (Ⅰ)由 ,得当 n≥2 时,Sn=2Sn﹣1+n,两式相减得,

an+1=2an+1,构造等比数列{an+1}并求其通项公式,再求出数列{an}的通项公式. (Ⅱ)bn= = = ,利用错位相消法求和.

解答: 解: (Ⅰ)∵

当 n≥2 时,Sn=2Sn﹣1+n,两式相减得, an+1=2an+1,两边加上 1 得出 an+1+1=2(an+1) , 又 S2=2S1+1,a1=S1=1,∴a2=3,a2+1=2(a1+1) 所以数列{an+1}是公比为 2 的等比数列,首项 a1+1=2, n ﹣1 n 数列{an+1}的通项公式为 an+1=2?2 =2 , n ∴an=2 ﹣1 n (Ⅱ)∵an=2 ﹣1, ∴bn= = =

Tn=

Tn= 两式相减得 Tn= Tn=2( )=2 <2.

点评:本题主要考查数列通项公式求解:利用了 an 与 Sn 关系以及构造法.形如 an+1=pan+q 递推数列,这种类型可转化为 an+1+m=4(an+m)构造等比数列求解.还考查错位相消法求 和. 20.已知 f(x)=(a﹣1) (a ﹣a ) (a>0.a≠1) . (1)判断并证明 f(x)的奇偶性; (2)判断并证明 f(x)的单调性; (3)若 f(acos2x﹣a )+f(6acosx﹣1)≤0 对任意 x∈[
2 x
﹣x



]恒成立,求 a 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数奇偶性的定义进行判断并证明 f(x)的奇偶性; (2)根据函数单调性的定义进行判断并证明 f(x)的单调性; (3)将不等式恒成立进行转化进行求解即可. 解答: 解: (1)∵x∈R,f(﹣x)=(a﹣1) (a ﹣a )=﹣f(x) , ∴f(x)为奇函数; …(2 分) (2)设 x1、x2∈R,且 x1<x2 则 =
﹣x

x

=

=

当 a>1 时, 的增函数; 当 a<1 时,

,?f(x1)<f(x2) ,f(x)为 R 上

,?f(x1)<f(x2) ,f(x)为 R 上

的增函数. 综上可得,当 a>0,a≠1 时,f(x)为 R 上的增函数. …(8 分) (3)f(acos2x﹣a )+f(6acosx﹣1)≤0 对任意 ?f(acos2x﹣a )≤f(1﹣6acosx)对任意 ?f(a(2cos x﹣1)﹣a )≤f(1﹣6acosx)对任意 ?f(2at ﹣a ﹣a)≤f(1﹣6at)对任意 ?2at +6at﹣a ﹣a﹣1≤0 对任意
2 2 2 2 2 2 2 2

恒成立, 恒成立 恒成立 恒成立

恒成立

? ? . …(14 分)

点评: 本题主要考查函数奇偶性,单调性的判断,以及函数恒成立问题,利用定义法是判 断函数奇偶性和单调性的常用方法,考查学生的转化意识.


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