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吉林省长春市2012届高三第三次调研测试数学理试题


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2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2012 年长春市高中毕业班第三次调研测试



学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 150 分.考试时间为 120 分钟, 其中 第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区 域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 .... 是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1.若集合 A ? {x | x ? 4} ,则集合 { y | y ? x ? 1 , x ? A} ?
2

A. { y | 0 ? y ? 1} 2. 若

B. { y | 0 ? y ? 1}

C. { y | 0 ? y ? 3} D. { y | 0 ? y ? 3}

3 ? 2i ? 1 ? i ,则 z ? z
B.

1 5 1 5 1 5 C. ? i D. ? ? i ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 3.直线 l : x ? my ? 2 与圆 M: x ? 2 x ? y ? 2 y ? 0 相切,则 m 的值为
1 5 A. ? ? i 2 2
A.1 或-6 B.1 或-7 C.-1 或 7 D.1 或 ?

1 7

4.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数比较,正确的是

相关系数为 r1

相关系数为 r2

相关系数为 r3

相关系数为 r4

A. r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r1 C. r4 ? r2 ? 0 ? r3 ? r1

B. r4 ? r2 ? 0 ? r1 ? r3 D. r2 ? r4 ? 0 ? r1 ? r3

5.各项都是正数的等比数列 {an } 中, 3a1 , 1 a3 , 2a2 成等差数列, 2 则

a10 ? a12 ? a15 ? a19 ? a20 ? a23 ? a8 ? a10 ? a13 ? a17 ? a18 ? a21 A. 1 B. 3

C. 6

D. 9

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6.函数 f ( x) ? 3cos A.2

?

1 x ? log 2 x ? 的零点个数为 2 2
B.3 C.4 D.5

7.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 则判断框内应填入的条件是 A. i <4 C. i <5 8.函数 f ( x) ? A sin(? x ? 坐标构成一个公差为 B. i >4 D. i >5

1 , 63

?
6

) (? ? 0) 的图像与 x 轴的交点

的横

? 的等差数列,要得到函数 2 g ( x) ? A cos ? x 的图像只需将 f ( x) 的图像

? 6 2? C.向左平移 3
A.向左平移 9.给出下列说法: ①命题“若 ? ,则

B.向右平移

? 3

D.向右平移

2? 3

1 ”的否命题是假命题; 6 2 ②命题 p: ?x ? R ,使 ? sin x ? 1 ,则 ?p : ?x ? R,sin x ? 1 ; 0 0

??

sin ? ?

③“

??

?
2

? 2 k? ( k ? Z ) ?x ,) ( ? 0

”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数”的充要条件; . , “ 若 1 ” 命题 q :在△ABC 中, sin A ? sin B ,则 A ? B ” 2

④命题 p : “

使 ? ,

2

n x? i o s c s

x?

那么命题( ?p ? q )为真命题. 其中正确的个数是 A. 4 B. 3
2 2

C.

2

D. 1

10.双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右是焦点是抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点,两曲线的一个公共点为 2 a b
B.

P,且|PF|=5,则该双曲线的离心率为 A.

5 2

5

C.

2

D.

2 3 3

11.四棱锥 S ? ABCD 的所有顶点都在同一个球面上,底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平 面内,当此四棱锥的体积取得最大值时,它的表面积等于 4 ? 4 3 ,则球 O 的体积等于 A.

4 2 ? 3

B.

8 2 ? 3

C.

16 2 ? 3

D.

32 2 ? 3

12.现有 4 名教师参加说题比赛,共有 4 道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道题进 行说题,其中恰有一道题没有被这 4 位选中的情况有 A.288 种 B.144 种 C.72 种 D.36 种

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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.二项式 ( ? x)(1 ? x ) 4 的展开式中 x 的系数是___________. 14.某长方体的三视图如右图,长度为 10 的体对角线在正视图中 为 6 ,在侧视图中的长度为 5 ,则该长方体的全面积为 ________________. 15.等比数列 {an } 的首项为 a ,公比为 q ,其前 n 项和为 S n ,则数 为递增数列的充分必要条件是________________. 16、 如果直线 2ax ? by ? 5 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 和函数 f ( x) ? m
x ?1

2 x

6

5

正视图

侧视图

的长度

俯视图

列 {S n }

? 1 (m ? 0, m ? 1) 的图像恒 85 2 2 过同一个定点,且该定点始终落在圆 ( x ? a ? 1) ? ( y ? b ? 2) ? 的内部或圆上,那么 4 ab 的取值范围是_______________. 2a ? b
??

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17、 (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,向量 m ? (2 cos B,1) ,向量 n ? (2cos (
2

?

?

?? ? ?? ? m?n ? m?n .
⑴求角 B 的大小; ⑵求 sin A ? sin C 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 2012 年 2 月份, 从银行房贷部门得到好消息, 首套 款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内 款的情况统计如图所示: ⑴求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限 剩近似整数值) ; ⑵从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位,求他们 限相同的概率; ⑶假设该银行此星期的贷款业绩一共持续 10 个星期
2 2

B ? ), ?1 ? sin 2 B) ,且满足 4 2

住房贷 发放贷 (取过 贷款年 不变,

在这段时间里, 每星期都从借贷客户中选出一人, ? 表示其中贷款年限不超过 20 年得人数, 记 求 E (? ) .
D1
C1

19.(本小题满分 12 分) 已知四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 底面ABCD ,

?ADC ? 90? , AB ?? CD , AD ? CD ? DD1 ? 2 AB ? 2 .
⑴求证: AD1 ? B1C ; ⑵求二面角 A1 ? BD ? C1 的正弦值; (3)求四面体 A1 BDC1 的体积.
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A1

B1

D

C

A

B

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20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点, M , N 分别为其左右顶 a 2 b2 点,过 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点. 当直线 l 与 x 轴垂直时,四边形 AMBN ????? ??? ???? ? ? 的面积等于 2,且满足 MF2 ? 2 AB ? F2 N .
已知 F1 , F2 分别为椭圆 ⑴求此椭圆的方程; ⑵当直线 l 绕着焦点 F2 旋转但不与 x 轴重合时,求 AM ? AN ? BM ? BN 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . ⑴讨论函数 f ( x) 的单调性; ⑵对于任意正实数 x ,不等式 f ( x) ? kx ?

???? ???? ???? ??? ? ? ?

⑶是否存在最小的正常数 m ,使得:当 a?m 时,对于任意正实数 x ,不等式 f (a ? x) ? f (a) ? e x 恒成立?给出你的结论,并说明结论的合理性. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA , 切点为 A , 为 PA M 点 , 过 点 M 引 圆 O 的 割 线 交 该 圆 于 B, C 两 点 , 且

1 恒成立,求实数 k 的取值范围; 2





?BMP ? 100? , ?BPC ? 40? .
⑴求证: ?MBP 与 ?MPC 相似; ⑵求 ?MPB 的大小. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲.

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数),若以该直角坐标 ? y ? sin 2? 系 的 原 点 O 为 极 点 , x 轴 的正 半 轴 为 极轴 建 立 极坐标 系 , 曲 线 N 的 极 坐 标方程 为 : ? 2 ? sin(? ? ) ? t (其中 t 为常数).
在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为 ?

4 2 ⑴若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围; ⑵当 t ? ?2 时,求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离.
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 2 | . ⑴解不等式 f ( x) ? 5 ; ⑵若关于 x 的方程

1 ? a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围. f ( x) ? 4

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2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2012 年长春市高中毕业班第三次调研测试 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.D 2.C 3. B 4. A 5.D 6. B 7.C 8.A 9.B 10.C 11.B 12.B 简答与提示: 1. D 集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} , ?1 ? x ? 1 ? 3 ,则 0 ? x ? 1 ? 3 ,即

{ y | y ? x ? 1 , x ? A} ? { y | 0 ? y ? 3} .故选 D.
2. 3. 4. 5. C 由于 z ?

3 ? 2i (3 ? 2i)(1 ? i) 3 ? 2 i ? 3i ? 2 1 5 ? ? ? ? i . 故选 C. 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2
2 2

B 由题意可知,圆 M : x ? 2 x ? y ? 2 y ? 0 的圆心 (?1, ?1) 到直线 l : x ? my ? 2 的距离 为圆的半径 2 ,由点到直线的距离公式可知 m ? 1 或 m ? ?7 . 故选 B. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知 r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r1 ,故选 A. D 由题意 a3 ? 3a1 ? 2a2 ,即 a1q ? 3a1 ? 2a1q ,可得 q ? 2q ? 3 ? 0 , q ? 3 或 q ? ?1 ,
2

2

6.

a10 ? a12 ? a15 ? a19 ? a20 ? a23 ? q 2 ? 9 .故选 D. a8 ? a10 ? a13 ? a17 ? a18 ? a21 ? 1 B 在同一坐标系内画出函数 y ? 3cos x 和 y ? log 2 x ? 的图像,可得交点个数为 3. 故 2 2
又已知 q ? 0 ,即 q ? 3 , 选 B. C 初始值 i ? 1, T ? 0, P ? 15 ,第一次循环后 i ? 2, T ? 1, P ? 5 ,第二次循环后

7.

i ? 3, T ? 2, P ? 1 ,第三次循环后 i ? 4, T ? 3, P ?

8.

循环次数应为 4 次,故 i ? 5 可以作为判断循环终止的条件. 故选 C. ? ? A 由函数 f (x) ? A sin( ?x ? ) (? ? 0) 的图像与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差 6 2 数列可知,函数 f ( x) 的周期为 ? ,可知 ?
2

1 1 ,第四次循环后 i ? 5, T ? 4, P ? ,因此 7 63

? 可将 g ( x) 化为 g (x) ? A sin(2 x ? ) ,可知只需将 f ( x) 向左平移

? 2 ,即函数 f (x) ? A sin(2 x ? 6) , g ( x) ? A cos 2 x , ?
6
个单位即可获得

?

9.

1 ? 1 ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ”,是假命题, 6 6 2 2 因此①正确;命题 p : ?x0 ? R, 使 sin x0 ? 1 ,则 ?p : ?x ? R, sin x ? 1 完全符合命题否定的 规则,因此②也正确; “函数 y ? sin(2 x ? ?) 为偶函数”的充要条件是 sin ? ? ?1 ,即 ? ? 1 ? ? k? ? (k ? Z ) ,因此③错误;命题 p “?x ? (0, ) ,使 sin x ? cos x ? ”中 : 2 2 2 2 2 ? ? sin x ? cos x ? 2( sin x ? cos x) ? 2 sin( x ? ) ,当 x ? (0, ) 时, 2 2 4 2 ? ? 1 1 ? 2 sin( x ? ) ? 2 ,即 p “?x ? (0, ) ,使 sin x ? cos x ? ”为假命题,而命题 : 4 2 2
B 命题“若 ? ?

f ( x ? ) ? A sin[2( x ? ) ? ] ? A sin(2 x ? ) . 故选 A. 6 6 6 2

?

?

?

?

?

,则 sin ? ?

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q “在?ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”为真命题,可知命题( ?p ) ? q 为真命题, :
因此④正确.一共有 3 个正确. 故选 B. 10. C 双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的右焦点 F 是抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点可知 c ? 2 ,又 PF ? 5 可知 P 2 a b 到抛物线的准线 x ? ?2 的距离为 5,可设 P(3, m) ,根据两点间距离公式可得到 m ? 2 6 ,
将双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 1 ,代入点 P 的坐标并求解关于 a 2 的一元二次 ? 2 ? 1 方程化为 2 ? 2 2 a 4?a a b 2 2 2 2 2 2 方程,可求得 a ? 1 或 a ? 36 . 又 c ? a ,可将 a ? 36 舍去,可知 a ? 1 ,即 a ? 1 , (或 c 2 根据双曲线定义得 2a=|PF2|-|PF1|=2) ,综上可知双曲线的离心率为 e ? ? ? 2 . 故选 C. a 1 11. B 由题意可知四棱锥 S ? ABCD 的所有顶点都在同一个球面上,底面 ABCD 是正方形且和 球心 O 在同一平面内,当体积最大时, 可以判定该棱锥为正四棱锥,底面在球大圆上,可得 知底面正方形的对角线长度为球的半径 r ,且四棱锥的高 h ? r ,进而可知此四棱锥的四个侧
面均是边长为 2r 的正三角形,底面为边长为 2r 的正方形,所以该四棱锥的表面积为

S ? 4?

3 ( 2r ) 2 ? ( 2r ) 2 ? 2 3r 2 ? 2r 2 ? (2 3 ? 2)r 2 ? 4 ? 4 3 , 4

因此 r 2 ? 2 , r ? 2 ,进而球 O 的体积 V ? 12. B

4 3 4 8 2? ?r ? ? ?2 2 ? . 故选 B. 3 3 3
3 3

首先选择题目,从 4 道题目中选出 3 道,选法为 C4 ,而后再将获得同一道题目的 2 位老
2 3 2 3

师选出,选法为 C4 ,最后将 3 道题目,分配给 3 组老师,分配方式为 A3 ,即满足题意的情 况共有 C4 C4 A3 ? 144 种. 故选 B. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 3 15. a ? 0 且 q ? 0 简答与提示: 13. 利用分步计数原理与组合数公式, 符合题目要求的项有 即 x 的系数为 3. 14. 由体对角线长 10 ,正视图的对角线长 6 ,侧视图的对角线长 5 ,可得长方体的长宽高 分别为 5 ,2,1,因此其全面积为 2( 5 ?1 ? 5 ? 2 ? 1? 2) ? 4 ? 6 5 . 15. 由 Sn ?1 ? Sn 得,当 q ? 1 时, Sn ?1 ? Sn ? a ? 0 ;当 q ? 1 时, Sn ?1 ? Sn ? aq ? 0 ,即 a ? 0 ,
n

14. 4 ? 6 5 16. [ , ]

3 5 7 9

2 ? (? x ) 4 和 x ?14 , 求和后可得 3x , x

1 ? q ? 0 .综合可得数列 {S n } 单调递增的充要条件是: a ? 0 且 q ? 0 .
x ?1 16. 根据指数函数的性质, 可知函数 f ( x) ? m ? 1(m ? 0, m ? 1) 恒过定点 (?1, 2) , 将点 (?1, 2)

代入 ax ? by ? 5 ? 0 ,可以得 a ? 2b ? 5 . 对

ab 作如下变形: 2a ? b ab 1 5 5 5 ? ? ? ? 1 2 1 2 b a b a . 2a ? b ? (a ? 2b) ? ( ? ) 1 ? 4 ? 2( ? ) 5 ? 2( ? ) a b a b a b a b

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由于 (?1, 2) 始终落在所给圆的内部或圆上,所以 a ? (b ? ) ?
2 2

5 2

85 . 4

?a ? 2b ? 5 ?a ? 1 ?a ? 3 ? 由? 2 或? ,这说明点 (a, b) 在以 A(1, 2) 和 B(3,1) 为端 5 2 85 ,解得 ? ?b ? 2 ?b ? 1 ?a ? (b ? 2 ) ? 4 ? b 1 b a 10 点的线段上运动,所以 的取值范围是 [ , 2] ,从而 ? 的取值范围是 [2, ] ,进一步可 a 3 a b 3 ab 3 5 以推得 的取值范围是 [ , ] . 2a ? b 7 9
三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简,并且考查利用三角函数 的变换与辅助角公式求取三角函数的值域. 【试题解析】解:⑴由 m ? n ? m ? n ,可知 m ? n ? m ? n ? 0 .

??
?

?

?? ?

??

?

?? ?

B ? ), ?1 ? sin 2 B) ? (1 ? sin B, ?1 ? sin 2 B) , 4 2 ?? ? ? 1 所以 m ? n ? 2cos B ? sin 2B ? 1 ? sin 2B ? 2cos B ? 1 ? 0 , cos B ? , ?B ? . 2 3
2 然而 m ? (2 cos B,1), n ? (2cos (

??

?

(5 分)

2? 3 1 ? A) ? sin 2 A ? ( cos A ? sin A) 2 3 2 2 5 3 3 3 1 3 ? sin 2 A ? cos 2 A ? sin A cos A ? ? sin 2 A ? sin A cos A 4 4 2 4 2 2 3 1 1 ? cos 2 A 3 sin 2 A 3 1 ? ? ? ? ? ? 1? sin 2 A ? cos 2 A 4 2 2 2 2 4 4 1 3 1 1 ? ? 1 ? ( sin 2 A ? cos 2 A) ? 1 ? sin(2 A ? ) . (9分) 2 2 2 2 6 ? 2? ? ? 7? ? 1 因为 ?B ? ,所以 A ? (0, ) ,即 2 A ? ? (? , ) ,即 sin(2 A ? ) ? (? ,1] 3 3 6 6 6 6 2 1 ? 3 3 3 3 2 2 所以 1 ? sin(2 A ? ) ? ( , ] ,即 sin A ? sin C 的取值范围是 ( , ] . (12分) 4 2 2 6 4 2
⑵ sin A ? sin C ? sin A ? sin (
2 2 2 2

18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到统计图的应用、二项分布 以及数学期望的求法. 【试题解析】⑴平均年限 n ? ⑵所求概率 P ?
10 ?10 ? 15 ?10 ? 20 ? 25 ? 25 ? 20 ? 30 ?15 ? 22(年) . (4 分) 80

2 2 2 2 2 C10 ? C10 ? C25 ? C20 ? C15 137 . ? 2 C80 632

(8 分)

⑶由条件知 ? ~ B (10,

9 45 9 ) ,所以 E? ? 10 ? ? . 16 16 8

(12 分) 二面

19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面的垂直关系、
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角的求法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法. 【试题解析】解:⑴由四边形 ADD1 A1 是正方形,所以 AD1 ? A1 D .又 AA1 ? 平面 ABCD ,

? 所以 AA1 ? DC , AD ? DC , A 1 ? D A 而 A A ?ADC ? 90 ? ,

, 所以 DC ? 平面 AA1 D1 D ,

AD1 ? DC . 又 A1D ? DC ? D , 所 以 AD1 ? 平 面 A1 D C B , 从 而 AD1 ? B1C . 1
(4 分) ⑵以 D 为坐标原点, DA , DC , DD1 为坐标轴建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则易得

B(2,1,0) C1 (0,2,2), A1 (2,0,2) , 设 平 面 A1 B D的 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 由

?n1 ? DB ? 0 ? ,求得 n1 ? (1,?2,?1) ;设平面 C1 BD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y 2 , z 2 ) , ? ?n1 ? DA1 ? 0 ?
由?



?n2 ? DB ? 0 ? ?n2 ? DC1 ? 0 ?

, 求得 n2 ? (1,?2,2) , 则根据 cos? ?

n1 ? n2 n1 n2

?

6 30 ,于是可得 sin ? ? . 6 6

(9 分) (3) 设所给四棱柱的体积为 V,则 V ? S ABCD ? AA1 ? 6 ,又三棱锥 A1 ? ABD 的体积等于三棱 锥 B ? A1 D1C1 的体积, 记为 V1 ,而三棱锥 D ? A1 D1C1 的体积又等于三棱锥 C1 ? CBD 的体 积,记为 V 2 .则由于 V1 ?

1 1 2 ? ? 2 ?1? 2 ? , 3 2 3

1 1 4 V2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ,所 3 2 3

以所求四面体的体积为 V ? 2V1 ? 2V2 ? 2 . (12 分) 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到椭圆 的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识. 【试题解析】⑴当直线 l 与 x 轴垂直时,由 S AMBN ?

方程

1 2b 2 ? 2a ? ? 2 ,得 b ? 1. 2 a

????? ??? ???? ? ? 2b 2 2 2 又 MF2 ? 2 AB ? F2 N ,所以 a ? c ? 2 ? ? a ? c ,即 ac ? 2 ,又 a ? c ? 1, a

解得 a ? 2 . 因此该椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(4 分)

⑵设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,而 M (? 2, 0), N ( 2, 0) , 所以 AM ? (? 2 ? x1 , ? y1 ) , AN ? ( 2 ? x1 , ? y1 ) , ???? ? ???? BM ? (? 2 ? x2 , ? y2 ) , BN ? ( 2 ? x2 , ? y2 ) . 从而有

???? ?

????

???? ???? ???? ???? ? ? AM ? AN ? BM ? BN ? (? 2 ? x1 )( 2 ? x1 ) ? y12 ? (? 2 ? x2 )( 2 ? x2 ) ? y2 2
2 2 ? x12 ? x2 ? y12 ? y2 ? 4 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 ? 4 .

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(6 分) 因为直线 l 过椭圆的焦点 (1, 0) ,所以可以设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 (t ? R ) ,则

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 由? 2 消去 x 并整理,得 (t ? 2) y ? 2ty ? 1 ? 0 , ? x ? ty ? 1 ? ?2t ?1 所以 y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 2 . t ?2 t ?2
进而 x1 ? x2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 2 ?

(8 分)

2 ? 2t 2 4 , x1 x2 ? (ty1 ? 1)(ty2 ? 1) ? 2 , t ?2 t2 ? 2

可得 ???? ???? ???? ???? ? ? 4 2 2 ? 2t 2 ?2t 2 ?1 8 6 ? 2 AM ? AN ? BM ? BN ? ( 2 ) ? 2( 2 )?( 2 ) ? 2( 2 )?4 ? 2 2 (t ? 2) t ? 2 . t ?2 t ?2 t ?2 t ?2 (10 分)

???? ???? ???? ??? ? ? ? 8 6 1 3 9 2 令 t ? 2 ? m ,则 m ? 2 . 从而有 AM ? AN ? BM ? BN ? 2 ? ? 8( ? ) 2 ? ,而 m m m 8 8

0?
21.

???? ???? ???? ???? ? ? 1 1 9 ? ,所以可以求得 AM ? AN ? BM ? BN 的取值范围是 [ ? , 0) .(12 分) 8 m 2

(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研 数的单调性、极值以及函数零点的情况.

究函

?x n? ,得 【试题解析】⑴令 f() l x10 x ? ? ?

1 . e

当 x ? ( 0 , ) 时, f ?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, f ?(x) ? 0.

1 e

1 e

1 (3 分) e 1 1 ⑵由于 x ? 0 ,所以 fx x xk ? x . ( ?n x ) l ?? k l ? ? n 2 2 x 1 1 1 1 2? x1 ? 构造函数 k(x) ? ln x ? ,则令 kx? ? 2? 2 ? ,得 x ? . () 0 2x 2 x2 x 2 x 1 1 当 x ? ( 0 , ) 时, k?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, k?(x) ? 0. 2 2 1 1 1 所以函数在点 x ? 处取得最小值,即 k m? ? ? ? 2 ()i k x n () l n 11l . ? n 2 2 2 因此所求的 k 的取值范围是 ( ? ?n ). (7 分) ? ,1 l 2 ⑶结论:这样的最小正常数 m 存在. 解释如下: (a ? x) ln(a ? x) a ln a f (a ? x) ? f (a) ? e x ? (a ? x) ln(a ? x) ? a ln a ? e x ? ? a . ea ? x e x ln x 构造函数 g ( x) ? ,则问题就是要求 g (a ? x) ? g (a) 恒成立. (9 分) ex (ln x ? 1)e x ? x ln x ? e x ln x ? 1 ? x ln x ? 对于 g ( x) 求导得 g ?( x) ? . e2 x ex 1 令 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x ,则 h?( x) ? ? ln x ? 1 ,显然 h?( x) 是减函数. x 又 h?(1) ? 0 ,所以函数 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数,
所以函数 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递减,在 ( , ? ? ) 上单调递增.
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1 e

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2

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1 1 1 1 2 2?e ) ? ln 2 ? 1 ? 2 ? ln 2 ? ?2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 0 , 2 e e e e e e h(1) ? ln1 ? 1 ? ln1 ? 1 ? 0 , h(e) ? ln e ? 1 ? e ln e ? 1 ? 1 ? e ? 2 ? e ? 0 . 所以函数 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x 在区间 (0,1) 和 (1, ??) 上各有一个零点,令为 x1 和 x2 ( x1 ? x2 ) ,并且有: 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上, h( x) ? 0, 即 g ?( x) ? 0 ;在区间 ( x1 , x2 ) 上, h( x) ? 0, 即 g ?( x) ? 0 . 从而可知函数 g ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上单调递减,在区
而 h( 间 ( x1 , x2 ) 上单调递增. g (1) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 还有

g ( x2 ) 是函数的极大值,也是最大值.
题目要找的 m ? x2 ,理由是: 当 a ? x2 时,对于任意非零正数 x , a ? x ? a ? x2 ,而 g ( x) 在 ( x2 , ??) 上单调递减, 所以 g (a ? x) ? g (a) 一定恒成立,即题目所要求的不等式恒成立,说明 m ≤ x2 ; 当 0 ? a ? x2 时,取 x ? x2 ? a ,显然 x ? 0 且 g (a ? x) ? g ( x2 ) ? g (a) ,题目所要求的 不等式不恒成立,说明 m 不能比 x2 小. 综合可知,题目所要寻求的最小正常数 m 就是 x2 ,即存在最小正常数 m ? x2 ,当 a ? m 时,对于任意正实数 x ,不等式 f (a ? x) ? f (a)e 恒成立.
x

(12 分)

( 注意:对于 x1 和 x2 的存在性也可以如下处理:

1 1 . 作出基本函数 y ? ln x 和 y ? 的图像, x ?1 x ?1 1 借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程 ln x ? 有两个正实数根 x1 和 x2 ,且 x ?1 0 ? x1 ? 1 , x2 ? 1 (实际上 x2 ? 2.24 ),可知函数 g ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上单调递
令 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x ? 0 ,即 ln x ? 减,在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递增. g (1) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 还有 g ( x2 ) 是函数的极大值,也是最大值. ) 22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算, 具体涉及圆的性质以及三角形相似等 有关知识内容. 【试题解析】⑴因为 MA 为圆的切线,所以 MA ? MB ? MC .
2

又 M 为 PA 中点,所以 MP ? MB ? MC . 因为 ?BMP ? ?PMC ,所以 ?BMP 与 ?PMC 相似. ⑵由⑴中 ?BMP 与 ?PMC 相似,可得 ?MPB ? ?MCP .
2

(5 分)
?

在 ?MCP 中,由 ?MPB ? ?MCP ? ?BPC ? ?BMP ? 180 ,

180? ? ?BPC ? ?BMP ? 20? . 得 ?MPB ? 2

(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面 直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容.
2 【试题解析】对于曲线 M,消去参数,得普通方程为 y ? x ? 1, x ?

2 ,曲线 M
(2 分)

是抛物线的一部分; 对于曲线 N,化成直角坐标方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线.

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(1)若曲线 M,N 只有一个公共点,则有直线 N 过点 ( 2,1) 时满足要求,并且向左下方平行运 动直到过点 ( ? 2,1) 之前总是保持只有一个公共点,再接着向左下方平行运动直到相切之前 总是有两个公共点,所以 ? 2 ? 1 ? t ?

2 ? 1 满足要求;相切时仍然只有一个公共点,由
5 . 综合可求得 t 的取值范 4

2 t ? x ? x 2 ? 1 ,得 x ? x ? 1 ? t ? 0, ? ? 1 ? 4(1 ? t ) ? 0 ,求得 t ? ?

围是: ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 或 t ? ? .

5 4

(6 分)

2 (2)当 t ? ?2 时,直线 N: x ? y ? ?2 ,设 M 上点为 ( x 0 , x 0 ? 1) , x0 ?

2 ,则

d?

2 x0 ? x0 ? 1

2

1 3 ( x0 ? ) 2 ? 2 4?3 2, ? 8 2
(10 分)

当 x0 ? ?

1 3 2 . 时取等号,满足 x0 ? 2 ,所以所求的最小距离为 2 8

24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及不等式的解法以及 函数等有关知识内容.

?3 x ? 1, x ? 1 ? 【试题解析】解: (1) f ( x ) ? ? x ? 3,?1 ? x ? 1 ?? 3 x ? 1, x ? ?1 ? 4 当 x ? 1 时,由 3x ? 1 ? 5 解得: x ? ;当 ? 1 ? x ? 1 时,由 x ? 3 ? 5 得 x ? 2 ,舍去; 3 4? ? 当 x ? ?1 时,由 ? 3x ? 1 ? 5 ,解得 x ? ?2 . 所以原不等式解集为 ? x | x ? ?2或x ? ? . 3? ?
(2) (1) 由 中分段函数 f ( x) 的解析式可知: f ( x) 在区间 ? ??, ?1? 上单调递减, 在区间 ? ?1, ?? ? 上单调递增.并且 f ( x) min ? f ( ?1) ? 2 , 所以函数 f ( x) 的值域为 [2, ??) .从而 f ( x) ? 4 的取值范 围是 [?2, ?? ) ,进而 (5 分)

1 1 ( f ( x) ? 4 ? 0) 的取值范围是 (??, ? ] ? (0, ??) .根据已知关于 f ( x) ? 4 2 1 1 ? a 的 解 集 为 空 集 , 所 以 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( ? , 0] . x 的方程 f ( x )? 4 2

(10 分)

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