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高中数学 平面向量的基本概念及线性运算


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第一节

平面向量的基本概念及线性运算

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1.向量的有关概念 方向 大小 (1)向量:既有_______又有_______的量叫做向量,向量 长度 的大小叫做向量的 ______ (或模) .

长度为0 (2)零向量:__________的向量,其方向是任意的.
1个单位 (3)单位向量:长度等于__________的向量. 相同或相反 (4)平行向量:方向____________的非零向量.平行向量 共线向量 平行 又叫_____________.规定:0与任一向量_______. 相等 相同 (5)相等向量:长度_______且方向_______的向量. 相等 相反 (6)相反向量:长度_______且方向_______的向量.
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2.向量的加法和减法
(1)加法法则:服从三角形法则,平行四边形法则. a+(b+c) b+a 运算性质:a+b=_______;(a+b)+c=__________. 加法 (2)减法与_______互为逆运算;服从三角形法则. 3.实数与向量的积 (1)实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,规定: |λ||a| λ>0 ①长度:|λa|=________;②方向:当_______时,λa与 λ<0 a的方向相同;当_________时,λa与a的方向相反;当λ=0 0 时,λa=_____.
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(2)运算律:设λ、μ∈R,则:①λ(μa)= (λμ)a λa+μa __________;②(λ+μ)a=____________;③λ(a+b)=
λa+λb ____________. 4.平面向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是 有且只有一个实数λ,使得b=λa _________________________________.

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→ → 1.向量AB与向量CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上,这种说法正确吗?
【示 提】 不 确若 量 正 .向 → → 共向, AB与向量CD是 线 量 A,B,C,

→ → 在 直 平 或 合因 , 则向量AB与CD所 的 线 行 重 , 此 D不 定线 一共.

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2.a∥b是a=λb(λ∈R)的充要条件吗? 【提示】 ? a∥b, ∴a∥b是a=λb(λ∈R)的必要不充分条件,不是充要条 当a≠0,b=0时,a∥bD? a=λb,但a=λb

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件.

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→ → → → 1.(人教A版教材习题改编)化简OP -QP +MS +QM 的 结果为( ) → A.OM → B.SM → C.PS → D.OS

【解析】

→ → → → → → → OP -QP +MS +QM =(OP +PQ )+(QM +

→ → → → MS)=OQ+QS=OS.
【答案】 D

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2.下列给出的命题正确的是(
A.零向量是唯一没有方向的向量

)

B.平面内的单位向量有且仅有一个 C.a与b是共线向量,b与c是平行向量,则a与c是方向 相同的向量 D.相等的向量必是共线向量

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【解析】

零向量方向任意,而不是没有方向,故A

错;平面内单位向量有无数个,故B错;若b=0,b与a、c都 平行,但a、c不一定共线,故C错;相等的向量方向相同, 必是共线向量,故D正确. 【答案】 D

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3. (2012· 合肥高三质量检测)如图 4-1-1, 正方形 ABCD → 中,点 E,F 分别是 DC,BC 的中点,那么EF等于( 1→ 1→ A. AB+ AD 2 2 1→ 1→ B.- AB- AD 2 2 1→ 1→ C.- AB+ AD 2 2 1→ 1→ D. AB- AD 2 2 → =1DB=1(AB-AD),故选 D. → → → 【解析】 EF 2 2
【答案】
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)

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B

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4.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b- 3a)共线,则λ的值为( ) 1 1 A.1 B.-1 C. D.- 3 3

【解析】

由题意知a+λb=-k(b-3a)=-kb+3ka,

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【答案】

D

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5.(2012· 四川高考)设 a、b 都是非零向量,下列四个条 a b 件中,使 = 成立的充分条件是( ) |a| |b| A.|a|=|b|且 a∥b B.a=-b C.a∥b D.a=2b a b 【解析】 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同 |a| |b| a b 向的单位向量.只要 a 与 b 同向就有 = ,观察选择项易 |a| |b| 知 D 满足题意.
【答案】 D

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给下四命: 出列个题 ①若|a|=|b|,则a=b或a=-b; → → ②若AB=DC,则四边形ABCD为平行四边形; ③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b; ④λ ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中假命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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【思路点拨】
明其不正确.

以概念为判断依据,或通过举反例来说

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【试答 尝解】 ①不 确 .|a|=|b|但a、b的 向 确 正 方不 定,故a,b不一定相等; → → ②不 确 .因为 AB = DC ,A、B、C、D可能在同一直 正 线上,所以ABCD不一定是四边形. ③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确.当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足 λa=μb,但a与b不一定共线.
【答案】 D

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1.(1)易忽视零向量这一特殊向量,误认为④是正确 的;(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判 定的行之有效的方法. 2.准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关 键.(1)相等向量具有传递性,非零向量平行也具有传递

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性.(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无 关.
3.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念,向量

只有两个要素:大小、方向;而有向线段有三个要素:起 点、方向、长度.
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给出下列四个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;

②若a=b,b=c,则a=c;
③若a∥b,b∥c,则a∥c; ④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b. 其中假命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

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【解析】
点.

①不正确.两个向量起点相同,终点相同,

则两向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终

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②正确.根据向量相等的定义知. ③不正确.若b=0时,b与a、c都平行,但a、c不一定

平行.
④不正确.a=b的充要条件是|a|=|b|且a,b同向.

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【答案】

C
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→ → 1 在△ABC中,若D是AB边上一点,且AD =2DB , () → =1CA+λCB,则λ=( → → CD ) 3 2 1 1 2 A. B. C.- D.- 3 3 3 3 (2)若O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且 → → → 2OA+OB+OC=0,那么( → → A.AO=OD → → C.AO=3OD
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)
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→ → B.AO=2OD → → D.2AO=OD

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【思路点拨】 → → CA、CB表示;

→ (1)D是AB边上的三等分点,把 CD 用

→ → → (2)由D为BC边中点可得 OB + OC =2 OD ,代入已知条 件即可求解.
→ =CA +AD =CA +2 AB =CA + 2 → → 【尝试解答】 (1)CD → → → 3 3 → -CA)=1CA+2CB,所以λ=2,故选A. → → (CB → 3 3 3 → → → → (2)因为D为BC边中点,∴ OB + OC =2 OD ,又2OA + → → → → → → OB+OC=0,∴2OA+2OD=0,即AO=OD,故选A.

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【答案】
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(1)A

(2)A

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1.解 本 答题

1 的键利向的法减把 () 关 是 用 量 加 与 法

→ CD

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→ → → → → 用CA、CB表示出来.解答本题(2)的关键是OB+OC=2OD. 2.进行向量的线性运算时,要尽可能转化到三角形或 平行四边形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相 连的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来解.

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1 23 ( (1 ) 0·

海口模拟)如图 4-1-2 所示,

→ → → 向量OA=a,OB=b,OC=c,A、B、C 在 → → 一条直线上,若AC=-3CB,则( 1 3 A.c=- a+ b 2 2 C.c=-a+2b )

3 1 B.c= a- b 2 2 D.c=a+2b

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→ → → → → → 2 若 | AB | = | AC | = | AB - AC | = 2 , 则 | AB + AC | = ( ) ___ ___ __ .

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→ → → → → → → 【解析】 1 ∵OC=OA+AC=OA+3BC=OA+3(OC ( ) → → → → → → → -OB)=3OC+OA-3OB,∴2OC=-OA+3OB, → =-1a+3b. ∴c=OC 2 2 → → → → → 2 ∵|AB|=|AC|=|AB-AC|=|CB|=2, () ∴△ABC 是边长为 2 的正三角形,→ +AC|为三角形高 |AB → → → 的 2 倍,所以|AB+AC|=2 3.
【答案】 1 A 2 ( ) ( 2 ) 3

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设个零量 两非向

e1和e2不 线 共.

→ → → 1 如果AB=e1-e2,BC =3e1+2e2,CD=-8e1-2e2, () 求证:A、C、D三点共线. → → → (2)如果AB =e1+e2,BC =2e1-3e2,AF =3e1-ke2,且 A、C、F三点共线,求k的值.
【路拨 思点】 → → AC=λCD. → → 2 A、C、F三点共线?存在实数λ,使AC=λAF. () 1 A、C、D三点共线?存 实 ( ) 在数 λ使

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【试答 尝解】

→ 1 AB=e1-e2,BC=3e1+2e2, ( → )

→ → → ∴AC=AB+BC=4e1+e2, → 又CD=-8e1-2e2, → → → → 所以CD=-2AC,∴AC与CD共线, → → 又∵AC与CD有公共点C, ∴A、C、D三点共线. → → (2)∵AB=e1+e2,BC=2e1-3e2, → → → ∴AC=AB+BC=3e1-2e2. ∵A、C、F三点共线,

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→ → → → ∴AC∥AF,从而存在实数λ,使得AC=λAF. ∴3e1-2e2=3λe1-λke2, 又e1,e2是 共 的 零 量 不线非向, 因此k=2. 所实 以数 k的值为2.

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1.向量b与非零向量a共 的 要 件 线充条 是在一数 存唯实 λ,使b=λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用. 2.(1)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应 注意当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. → → → (2)OA=λOB+μOC(μ,λ∈R),若A、B、C三点共线, 则λ+μ=1.

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(1)(2013· 南 昌 模 拟 ) 已 知 向 量 a , b 不 共 线 , c = ka + b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( )

A.k=1且c与d同向
C.k=-1且c与d同向

B.k=1且c与d反向
D.k=-1且c与d反向

(2)(2013·青岛模拟)对于非零向量a、b,“a+b=0”是 “a∥b”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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A.充分不必要条件 C.充分必要条件
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【解析】

(1)∵c∥d,∴c=λd,

即ka+b=λ(a-b)=λa-λb,

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∴k=λ=-1,故选D. (2)由a+b=0知道a与b互为相反向量,从而a∥b,充分 性成立.由a∥b知a=λb,λ≠-1时,a+b≠0, ∴必要性不成立.

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【答案】

(1)D

(2)A

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一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个 向量起点指向最后一个向量终点的向量.

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1.向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不

存在,也可能有无数个.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注 意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公 共点时,才能得出三点共线; 3.利用向量平行证明直线平行,必须说明这两条直线

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不重合.

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从近两年高考试题来看,平面向量的概念,线性运算及 向量共线是高考命题的重点,常与平面向量基本定理、平面 向量的数量积交汇命题,多以客观题形式呈现.在求解过程 中,不要忽视零向量的特殊性.

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易错辨析之七 忽视零向量的特殊性致误 (2013· 杭州模拟)下列命题正确的是( ) A.向量 a、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ , 使 b=λa → → → B.在△ABC 中,AB+BC+CA=0 C.不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中两个等号不可能同 时成立 D.向量 a、b 不共线,则向量 a+b 与向量 a-b 必不共 线

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【错解】

错解一

a、b共线,必然是有且只有一个实
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数λ,使b=λa,故选A.

【答案】
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A

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错解二

→ → 首尾相连,始终如一.在△ABC 中,AB、BC、

→ → → → CA围成了一个封闭图形,故AB+BC+CA=0,故选 B.
【答案】
错解三

B
当a与b同向时,式子中第一个等号不成立;当

a与b反向时,式子中第二个等号不成立,当两个向量不共线
时,两个等号都不成立,故两个等号不可能同时成立,故选 C.

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【答案】

C

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错因分析:(1)错解一,忽视了a≠0这一条件. (2)错解二,忽视了0与0的区别. (3)错解三,忽视了零向量的特殊性,当a=0或b=0时, 两个等号同时成立.

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防范措施:(1)共线向量定理中,b=λa要求a≠0,否则λ
值可能不存在. (2)向量的加减及数乘运算的结果,仍然是一个向量, 而不是一个数. (3)应熟练掌握向量不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|等号成

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立的条件.

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【正解】
不为零向量.

∵向量a与b不共线,∴a,b,a+b与a-b均

若a+b与a-b平行,则存在实数λ,使a+b=λ(a-b), 即(λ-1)a=(1+λ)b,

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λ无解,故假设不成立, 即a+b与a-b不平行,故选D.

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【答案】

D

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1.(2012·浙江高考)设a,b是两个非零向量(

)

A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 【解析】 由|a+b|=|a|-|b|知(a+b)2=(|a|-|b|)2,即a2

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+2a·b+b2=|a|2-2|a||b|+|b|2, ∴a·b=-|a||b|.
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∵a· b=|a||b|cos〈a,b〉,∴cos〈a,b〉=-1,
∴〈a,b〉=π,此时a与b反向共线,因此A错误. 当a⊥b时,a与b不反向也不共线,因此B错误. 若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ=-1,使b=-a,满 足a与b反向共线,故C正确.若存在实数λ,使得b=λa,则 |a+b|=|a+λa|=|1+λ||a|,|a|-|b|=|a|-|λa|=(1-|λ|)|a|,只 有当-1≤λ≤0时,|a+b|=|a|-|b|才能成立,否则不能成立,

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故D错误.
【答案】 C
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2.(0· 2 1 系两 中两

山高 东考

)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标

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→ 不的点若 同四, A1A3 =λ A→ 2 (λ∈R), A→ 4 =μ 1A 1A → 2 (μ∈R),且 1 + 1 =2,则称A3,A4调和分割A1,A2.已 A1A λ μ 知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是 ( ) A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点 C.C,D可能同时在线段AB上 D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上

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【析 解】 条知 件:

A,B, 由 则 → =λAB(λ∈R),AD=μAB(μ∈R), 1 + 1 =2 → → → AC 且 .

∵平 上 点 面的

C,D调 分 点 和割

λ μ

对A:若C为 段 AB的 点 则 线 中,

1 λ= , 2

自 主 落 实 · 固 基 础

1 ∴ =0, 然 存 显不在 μ, μ ∴A是 误 , 理 错的同 B也 错 的 是误; 对C:若C、D同 在 段 AB上 时线 , 则0<λ<1,0<μ<1, 1 1 ∴ + >2, 符 条 ; 不合件

λ μ

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对D:若同时在线段AB延长线上, 1 1 则λ>1,μ>1,与 + =2矛盾,故不可能.

λ μ

∴C、D不可能同时在线段AB的延长线上,D正确.

【答案】

D

自 主 落 实 · 固 基 础
菜 单

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课后作业(二十四)

高 考 体 验 · 明 考 情

自 主 落 实 · 固 基 础
菜 单

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