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吉林省长春市2012届高三第三次调研测试数学文试题


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2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2012 年长春市高中毕业班第三次调研测试



学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 150 分.考试时间为 120 分钟,

其中 第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区 域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 .... 是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1. 若

3 ? 2i ? 1 ? i ,则 z ? z
1 2 5 2
B.

A. ? ? i 2. 3.

1 5 ? i 2 2

C.

1 5 ? i 2 2

D. ? ? i D. {?1,0,1,2,3}

1 2

5 2

若集合 A ? {?2, ?1,0,1, 2} ,则集合 { y | y ? x ? 1 , x ? A} ? A. {1, 2, 3} B. {0,1, 2}
2

C. {0,1, 2,3}
2

直线 l : x ? my ? 2 与圆 M: x ? 2 x ? y ? 2 y ? 0 相切,则 m 的值为 A.1 或-6 B.1 或-7 C.-1 或 7 D.1 或 ?

4.

a ?a 各项都是正数的等比数列 {an } 中, 3a1 , 1 a3 , 2a2 成等差数列,则 10 12 ? 2 a8 ? a10
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数比较,正确的是

1 7

5.

相关系数为 r1

相关系数为 r2

相关系数为 r3

相关系数为 r4

A. r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r1 C. r4 ? r2 ? 0 ? r3 ? r1 6. 函数 f ( x) ? 3cos A.2

?

B. r4 ? r2 ? 0 ? r1 ? r3 D. r2 ? r4 ? 0 ? r1 ? r3

1 x ? log 2 x ? 的零点个数为 2 2
B.3 C.4 D.5

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7.

一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是

1 ,则判断框内应填入的条件是 63 A. i <4 C. i <5
8. 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

B. i >4 D. i >5

?
6

) (? ? 0) 的图像与 x 轴的交

点的横坐标构成一个公差为

? 的等差数列,要得到函数 2 g ( x) ? A cos ? x 的图像只需将 f ( x) 的图像

A.向左平移 C.向左平移 9.

? 6 2?
3

B.向右平移

? 3

D.向右平移

若满足条件 AB= 3 ,C= A. ?1, 2? B.

?
3

2? 3

的三角形 ABC 有两个,则边长 BC 的取值范围是

?

2, 3

?
C.

C.

?

3, 2

?

D.

?

2,2

?

10. 现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛,共有 2 道备选题目,若每位选手从中有放回地 随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为 A.

1 3

B.

2 3

1 2

D.

3 4

11. 双曲线

x2 y 2 N 过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M 、 两 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2
B.

点,O 是坐标原点,满足 OM ? ON ,则双曲线的离心率为
1? 2 1? 5 1? 3 C. D. 2 2 2 12. 四棱锥 S ? ABCD 的所有顶点都在同一个球面上,底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一

A.

1? 7 2

平面内,当此四棱锥的体积取得最大值时,它的表面积等于 4 ? 4 3 ,则球 O 的体积等于 A.

4 2 ? 3

B.

8 2 ? 3

C.

16 2 ? 3

D.

32 2 ? 3

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第Ⅱ (非选择题,共 90 分) 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 平面区域 ?

?? 1 ? x ? y ? 1 的周长为_______________. ?? 1 ? x ? y ? 1

6

5

14. 某长方体的三视图如右图,长度为 10 的体对角线在正视图

正视图

侧视图



积 的长度为 6 ,在侧视图中的长度为 5 ,则该长方体的全面 俯视图 为________________. 15. 等差数列 {an } 的首项为 a ,公差为 d ,其前 n 项和为 Sn ,则数列 {Sn } 为递增数列的充分必 要条件是________________. 16. 如果直线 2ax ? by ? 14 ? 0 (a ? 0,b ? 0) 和函数 f ( x) ? mx?1 ? 1 (m ? 0, m ? 1) 的图像恒过 同一个定点,且该定点始终落在圆 ( x ? a ? 1)2 ? ( y ? b ? 2)2 ? 25 的内部或圆上,那么 取值范围是_______________. 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分)

b 的 a

在△ ABC 中, 向量 m ? (2cos B,1) , 向量 n ? (1 ? sin B, ?1 ? sin 2B) , 且满足 m ? n ? m ? n . ⑴ 求角 B 的大小; ⑵ sin A ? sin C 的取值范围. 求 18. (本小题满分 12 分) 2012 年 2 月份, 从银行房贷部门得到好消息, 首套 款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内 款的情况统计如图所示: ⑴ 求本周该银行所发放贷款的贷款年限的标准差; .... ⑵ 求在本周内一位购房者贷款年限不超过 20 年的概率; ⑶ 求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限 (取 似整数值). 19. (本小题满分 12 分) 已知四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AA1 ? 底面ABCD , 1
D1
C1

??

?

?? ?

?? ?

住房贷 发放贷

过剩近

?ADC ? 90? , AB ?? CD , AD ? CD ? DD1 ? 2 AB ? 2 .
⑴ 求证: AD1 ? B1C ; ⑵ 求四面体 A BDC1 的体积. 1

A1

B1

D

C

A

B

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点, M , N 分别为其左右顶 a 2 b2 点,过 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点. 当直线 l 与 x 轴垂直时,四边形 AMBN ???? ? ??? ???? ? ? 的面积等于 2,且满足 MF2 ? 2 AB ? F2 N .
已知 F1 , F2 分别为椭圆
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⑴ 求此椭圆的方程;

⑵ 当直线 l 绕着焦点 F2 旋转但不与 x 轴重合时,求 MA ? MB ? NA ? NB 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . ⑴ 讨论函数 f ( x ) 的单调性; ⑵ 对于任意正实数 x ,不等式 f ( x) ? kx ?

???? ???? ??? ??? ? ?

1 恒成立,求实数 k 的取值范围; 2

⑶ 求证:当 a ? 3 时,对于任意正实数 x ,不等式 f (a ? x) ? f (a) ? e x 恒成立. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. M 自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA , 切点为 A , 为 PA 点 , 过 点 M 引 圆 O 的 割 线 交 该 圆 于 B, C 两 点 , 且





?BMP ? 100? , ?BPC ? 40? .
⑴ 求证: ?MBP 与 ?MPC 相似; ⑵ ?MPB 的大小. 求 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲.

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数),若以该直角坐标 y ? sin 2? ? 系 的 原 点 O 为 极 点 , x 轴 的正 半 轴 为 极轴 建 立 极坐标 系 , 曲 线 N 的 极 坐 标方程 为 : ? 2 ? sin(? ? ) ? t (其中 t 为常数).
在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为 ?

4 2 ⑴ 若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围; ⑵ t ? ?2 时,求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离. 当
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 2 | . ⑴ 解不等式 f ( x) ? 5 ; ⑵ 若关于 x 的方程

1 ? a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围. f ( x) ? 4

2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2012 年长春市高中毕业班第三次调研测试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.C 3. B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.C 11.B 12.B 简答与提示: 1. 2. C C

3 ? 2i 1 5 ? ? i . 故选 C. 1? i 2 2 将 x ? ?2,?1,0,1,2 逐一带入 y ? x ? 1 ,得 y=0,1,2,3,故选 C.
由已知 z ?

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3.

m ?1 m ? ?7或1. 故选 B. 4. D 由已知 a3 ? 3a1 ? 2a2 于是 q2 ? 3 ? 2q ,由数列各项都是正数,解得 q ? 3 , a1 0 ? a 1 2 2 ? q ? 9 . 故选 D. a8 ? a 1 0 5. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知 r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r . 故选 A 1 ? 1 6. B 在同一坐标系内画出函数 y ? 3cos x 和 y ? log 2 x ? 的图像,可得交点个数为 3. 故 2 2
2

B

圆 的 方 程 化 为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 , 由 直 线 与 圆 相 切 , 可 有

m?3

? 2 ,解得

7.

选 B. C 初 始 值 i ? 1, T ? 0, P ? 15 , 第 一 次 循 环 后 i ? 2, T ? 1, P ? 5 , 第 二 次 循 环 后 1 1 i ? 3, T ? 2, P ? 1 ,第三次循环后 i ? 4, T ? 3, P ? ,第四次循环后 i ? 5, T ? 4, P ? ,因此 7 63 循环次数应为 4 次,故 i ? 5 可以作为判断循环终止的条件. 故选 C. A 由条件知函数 f ( x ) 的周期为 ? ,可知 ? ? 2 ,即函数 f ( x) ? A sin(2 x ?

8.

?

g ( x) ? A cos 2 x ,可将 g ( x) 化为 g ( x) ? A sin(2 x ? ) ,由此可知只需将 f ( x) 向左平移 2 6 ? ? ? ? 个单位即可获得 .故选 A.
f ( x ? ) ? A sin[ 2( x ? ) ? ] ? A sin( 2 x ? ) ? A cos 2 x 6 6 6 2
9. C 若满足条件的三角形有两个,则应

?

6

),

?

BC AB 3 ? ? 2, ? sin C ? sin A ? 1 ,又因为 sin A sin C 2

故 BC ? 2 sin A , 3 ? BC ? 2 . 故选 C. 10. C 11. B

1 . 故选 C. 2 b2 1? 5 . 故选 B. 由题意可有: c ? ,由此求得 e ? a 2
通过将基本事件进行列举,求得概率为

12. B 由题意可知四棱锥 S ? ABCD 的所有顶点都在同一个球面上,底面 ABCD 是正方形且和 球心 O 在同一平面内,当体积最大时,可以判定该棱锥为正四棱锥,底面在球大圆上,可得 知底面正方形的对角线长度为球的半径 R ,且四棱锥的高 h ? R ,进而可知此四棱锥的四个 侧面均是边长为 2R 的正三角形,底面为边长为 2R 的正方形,所以该四棱锥的表面积为 1 2 2 R 2 ? 4 ? ( ? 2 R ? 2 R sin 60? ) ? (2 ? 2 3) R2 ? 4 ? 4 3 ,于是 R ? 2, R ? 2 ,进而球 O 的体积 2 4 4 8 2? . 故选 B. V ? ? R3 ? ? ? 2 2 ? 3 3 3 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 4 2 简答与提示: 13. 画出图形,可得该区域图形为边长为 2 的正方形,故其周长为 4 2 . 14. 由体对角线长 10 ,正视图的对角线长 6 ,侧视图的对角线长 5 ,可得长方体的长宽高 分别为 5 ,2,1,因此其全面积为 2( 5 ?1 ? 5 ? 2 ? 1? 2) ? 4 ? 6 5 . 15. 由 S n?1 ? S n ,可得 (n ? 1) a ?
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14. 4 ? 6 5

15. d ≥ 0 且 d ? a ? 0

16. [ , ]

3 4 4 3

(n ? 1) n n( n ?1) d ? na ? d ,整理得 dn ? a ? 0 ,而 n ? N ? , 2 2
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所以 d ≥ 0 且 d ? a ? 0 . 因此数列 {Sn } 单调递增的充要条件是: d ≥ 0 且 d ? a ? 0 . 16. 根据指数函数的性质,可知函数 f ( x) ? mx?1 ? 1(m ? 0, m ? 1) 恒过定点 (?1, 2) . 将点 (?1, 2) 代入 2ax ? by ? 14 ? 0 ,可得 a ? b ? 7 . 由于 (?1, 2) 始终落在所给圆的内部或圆上,所以 a 2 ? b2 ? 25 . 由?

?a ? b ? 7
2 2 ?a ? b ? 25

,解得 ?

段上运动,所以

b a

?a ? 3 ?a ? 4 或? ,这说明点 ( a, b) 在以 A(3, 4) 和 B(4,3) 为端点的线 ?b ? 4 ?b ? 3 3 4 的取值范围是 [ , ] . 4 3

三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简,并且考查利用三角函数 的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识. 【试题解析】解:⑴由 m ? n ? m ? n ,可知 m ? n ? m ? n ? 0 . 然而 m ? (2cos B,1), n ? (1 ? sin B, ?1 ? sin 2B) ,所以有

?? ?

?? ?

??

?

?? ?

??

?

?? ? 1 ? m ? n ? 2cos B ? sin 2B ?1 ? sin 2B ? 2cos B ?1 ? 0 ,得 cos B ? , B ? 60 .(6 分) 2
⑵ sin A ? sin C ? sin A ? sin(120? ? A) ?

3 3 sin A ? cos A ? 3 sin( A ? 30? ) .(9 分) 2 2

又 0? ? A ? 120? ,则 30? ? A ? 30? ? 150? , 所以

1 ? sin( A ? 30? ) ? 1 , 2 3 3 ? sin A ? sin C ? 3 ,即 sin A ? sin C 的取值范围是 ( , 3] .(12 分) 2 2

18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到统计图的应用、平均值的 求取以及概率的初步应用. 【试题解析】解:⑴贷款年限依次为 10,15,20,25,30,其平均值 x ? 20 .

(10 ? 20)2 ? (15 ? 20)2 ? (20 ? 20)2 ? (25 ? 20) 2 ? (30 ? 20) 2 s ? ? 50 , 5 所以标准差 s ? 5 2 . (4 分) 10 10 25 9 ? ? ? ⑵所求概率 P ? P ? P2 ? P ? . (8 分) 1 3 80 80 80 16 10 ?10 ? 10 ?15 ? 20 ? 25 ? 25 ? 20 ? 15 ? 30 ? 22 (年). ⑶平均年限 n ? 80
2

(12 分) 19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面的垂直关系以及几何体 体积的求法. 【试题解析】解:⑴由四边形 ADD1 A1 是正方形,所以 AD1 ? A1 D .又 AA1 ? 平面 ABCD ,

? 所以 AA ? DC, AD ? DC , A 1 ? D A 而 A A ?ADC ? 90? , 1

, 所以 DC ? 平面 AA1 D1 D ,

AD1 ? DC . 又 A1D ? DC ? D , 所 以 AD1 ? 平 面 A1 D C B , 从 而 AD1 ? B1C . 1
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(6 分) ⑵设所给四棱柱的体积为 V,则 V ? S ABCD ? AA ? 6 ,又三棱锥 A1 ? ABD 的体积等于三棱 1 锥 B ? A1 D1C1 的体积, 记为 V1 ,三棱锥 D ? A1 D1C1 的体积又等于三棱锥 C1 ? CBD 的体积, 1 1 4 1 1 2 记为 V2 .而 V1 ? ? ? 2 ? 1 ? 2 ? , V2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ,所以所求四面体的体积为 3 2 3 3 2 3 V ? 2V1 ? 2V2 ? 2 . (12 分) 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到椭圆 方程 的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识. 【试题解析】解:⑴当直线 l 与 x 轴垂直时,四边形 AMBN 面积:

1 2b 2 ? 2a ? ? 2, 得 b 2 ? 1 . 2 a
2 ,又

???? ? ??? 2b2 ???? ? ? 2 2b 2 又 MF2 ? a ? c, AB ? , F2 N ? a ? c ,于是 a ? c ? ? a ? c ,得 ac ? a a

a ? c ? 1 ,解得 a ?
2 2

2 .因此该椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 . (4 分) 2

?x ? m y ? 1 ? (2)设直线 l : x ? my ? 1 ,由 ? x 2 消去 x 并整理得: (m 2 ? 2) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则有 y1 ? y 2 ?

? 2m 1 , y1 y 2 ? ? 2 . 2 m ?2 m ?2

(6 分)

由 MA ? ( x1 ? 2, y1 ) , MB ? ( x2 ? 2 , y2 ) , NA ? ( x1 ? 2, y1 ) , NB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,可 得 MA ? MB ? NA ? NB ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) ? 4 . (8 分)

x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1 ?
所以 MA ? MB ? NA ? NB ? 2( x1 x 2 ? y1 y 2 ) ? 4 ?

? 2m 2 ? 1 , m2 ? 2
(10 分) (12 分) 究函

10 . m2 ? 2

由于 m ? R ,可知 MA ? MB ? NA ? NB 的取值范围是 (0,5] .

???? ???? ??? ??? ? ?

21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研 数的单调性、极值以及函数零点的情况.

?x n? ,得 ? ? 【试题解析】解:⑴令 f() l x10 x ?

1 . e

当 x ? ( 0 , ) 时, f ?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, f ?(x) ? 0.

1 e

1 e

1 (3 分) e 1 1 ( ?n x ) l ?? k l ? ? n ⑵由于 x ? 0 ,所以 fx xxk ? x . 2 2 x 1 1 2? x1 1 1 ? () 0 . 构造函数 k(x) ? ln x ? ,则令 kx? ? 2? 2 ? ,得 x ? x2 x 2 x 2x 2
所以函数 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递减,在 ( , ? ? ) 上单调递增.
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1 e

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当 x ? ( 0 , ) 时, k?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, k?(x) ? 0.

1 2

1 2

1 1 1 ()i k x n () l n 11l . ? n 处取得最小值,即 k m? ? ? ? 2 2 2 2 ? ,1 l 2 (7 分) 因此所求的 k 的取值范围是 ( ? ?n ).
) 所以函数k(x在点 x ?
⑶ f (a ? x) ? f (a) ? e x ? (a ? x)ln(a ? x) ? a ln a ? e x ? 构造函数 g ( x) ?

(a ? x) ln(a ? x) a ln a ? a . ea ? x e

x ln x ,则问题就是要求 g (a ? x) ? g (a) 恒成立. (9 分) ex (ln x ? 1)e x ? x ln x ? e x ln x ? 1 ? x ln x ?( x) ? ? 对于 g ( x) 求导得 g . e2 x ex 1 令 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x ,则 h?( x) ? ? ln x ? 1 ,显然 h?( x) 是减函数. x 当 x ? 1 时, h?( x) ? h?(1) ? 0 ,从而函数 h( x) 在 (1, ??) 上也是减函数. 从而当 x ? 3 时, h( x) ? h(e) ? ln e ? 1 ? e ln e ? 2 ? e ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 , x ln x 即函数 g ( x) ? 在区间 (3, ??) 上是减函数. ex 当 a ? 3 时,对于任意的非零正数 x , a ? x ? a ? 3 ,进而有 g (a ? x) ? g (a) 恒成立,结论
得证. (12 分) 22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算,具体涉及到圆的性质以及三角形相 似等有关知识内容. 【试题解析】解:⑴因为 MA 为圆的切线,所以 MA ? MB ? MC
2

又 M 为 PA 中点,所以 MP ? MB ? MC .
2

因为 ?BMP ? ?PMC ,所以 ?BMP 与 ?PMC 相似. ⑵由⑴中 ?BMP 与 ?PMC 相似,可得 ?MPB ? ?MCP . 在 ?MCP 中,由 ?MPB ? ?MCP ? ?BPC ? ?BMP ? 180 ,
?

(5 分)

得 ?MPB ?

180? ? ?BPC ? ?BMP ? 20? . 2

(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面 直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容. 【试题解析】对于曲线 M,消去参数,得普通方程为 y ? x ? 1, x ?
2

2 ,曲线 M
(2 分)

是抛物线的一部分; 对于曲线 N,化成直角坐标方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线.

(1)若曲线 M,N 只有一个公共点,则有直线 N 过点 ( 2,1) 时满足要求,并且向左下方平行运 动直到过点 (? 2,1) 之前总是保持只有一个公共点,再接着向左下方平行运动直到相切之前 总是有两个公共点,所以 ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 满足要求;相切时仍然只有一个公共点,由
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2 t ? x ? x 2 ? 1 ,得 x ? x ?1 ? t ? 0, ? ? 1 ? 4(1 ? t ) ? 0,求得 t ? ?

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5 . 综合可求得 t 的取值范 4

围是: ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 或 t ? ? .

5 4

(6 分)

2 (2)当 t ? ?2 时,直线 N: x ? y ? ?2 ,设 M 上点为 ( x0 , x0 ? 1) , x0 ?

2 ,则

d?

2 x0 ? x0 ? 1

2

1 3 ( x0 ? ) 2 ? 2 4 ?3 2, ? 8 2
(10 分)

当 x0 ? ?

1 3 2 . 时取等号,满足 x0 ? 2 ,所以所求的最小距离为 2 8

24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及 明以及解法等内容.

不等式证

?3 x ? 1, x ? 1 ? 【试题解析】解: (1) f ( x) ? ? x ? 3,?1 ? x ? 1 ?? 3 x ? 1, x ? ?1 ?
4 ;当 ? 1 ? x ? 1 时,由 x ? 3 ? 5 得 x ? 2 ,舍去; 3 4? ? 当 x ? ?1 时,由 ? 3x ? 1 ? 5 ,解得 x ? ?2 . 所以原不等式解集为 ? x | x ? ?2或x ? ? . 3? ?
当 x ? 1 时,由 3x ? 1 ? 5 解得: x ? (2)由(1)中分段函数 f ( x ) 的解析式可知: f ( x ) 在区间 ? ??, ?1? 上单调递减,在区间 ? ?1, ?? ? 上单调递增.并且 f ( x)min ? f (?1) ? 2 ,所以函数 f ( x ) 的值域为 [2, ??) .从而 f ( x) ? 4 的取值范 (5 分)

1 1 ( f ( x ) ? 4 ? 0) 的取值范围是 (??, ? ] ? (0, ??) .根据已知关于 x f (x) ? 4 2 1 1 ? a 的 解 集 为 空 集 , 所 以 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (? , 0] . 的 方 程 f (x ) 4 ? 2
围是 [?2, ?? ) ,进而 (10 分)

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