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1.2.2组合(一)


情境创设 问题一:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的 活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不 同的选法? 2 3

A ?6

问题二:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动,有多少种不同的选法? 甲、乙;甲、丙;乙、丙 3

问题1
从已知的 3 个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.

问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组

有 顺 序

排列

组合

无 顺 序

概念讲解

组合定义:

一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素并成一组,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.

排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点?

概念讲解
排列定义: 一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.

共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关, 而组合则与元素的顺序无关.

概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?

1)元素相同; 2)元素排列顺序相同.
思考三:组合与排列有联系吗?

元素相同

构造排列分成两步完成,先取后排;而构造 组合就是其中一个步骤.

判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种 车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价? 组合是选择的结果,排列 组合问题

是选择后再排序的结果. (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有 多少种分法?? 组合问题
(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手 多少次?? 组合问题 (5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 排列问题

概念理解

1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组 合分别是: ab , ac , bc (3个) 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的 所有组合.

a

b

c
d

b c d

c d

ab , ac , ad , bc , bd , cd

(6个)

练一练

1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。 c a b b c c d d d abc , abd , acd , bcd .

组合
abc abc acb abd adb acd adc

排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb

abd acd

bcd

你发现了 bcd 什么?
bdc

不写出所有组合,怎样才能知道组合的种数?

求 A4可分两步考虑: 3
3

3

求 P4 可分两步考虑:
3

第一步, C 4 ( ? 4)个;
第二步, A3 ( ? 6)个;
根据分步计数原理, A4
3

?C?A
3 4

3 3 .

A 从而? ? C C A
3 4

3
3 4 4 3

P ? 3 如何计算: P3 3

3 4

C

m n

概念讲解

组合数公式

排列与组合是有区别的,但它们又有联系. 一般地,求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排 列数,可以分为以下2步: 第1步,先求出从这 n 个不同元素中取出m 个元素 m 的组合数 Cn .
m 第2步,求每一个组合中m 个元素的全排列数An .

m An n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? m 因此:Cn ? m ? Am m! * m、n ? N,且 m ? n 这里 ,这个公式叫做组合

m m m An ? Cn ? Am 根据分步计数原理,得到:

数公式.

概念讲解

从 n 个不同元中取出m个元素的排列数

A ?C ? A
m n m n

m m

组合数公式:

A n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) C ? ? A m!
m n m n m m

n! 0 C ? 我们规定:Cn ? 1. m !(n ? m)!
m n

例题分析
例1计算:⑴

C

4 7



C

7 10

(3) 已知

C

3 n

?

A

2 n

,求 n .

38-n 3n 选(4)求 C3n +C21+n的值.

例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛,

(1)列出所有各场比赛的双方;
(2)列出所有冠亚军的可能情况. 解:(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 (2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙

例3

m ? 1 m?1 求证 : C ? ? Cn . n?m
m n

n! 证明: ? C ? , m(n ? m) ! !
m n

m ? 1 m?1 m ? 1 n! ? Cn ? ? n?m n ? m (m ? 1)!(n ? m ? 1)! m ?1 n! ? ? (m ? 1)! (n ? m)( n ? m ? 1)!
n! m ? ? Cn . m !(n ? m) !

例题分析

例4.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端 点的线段共有多少条? (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点 的有向线段共有多少条?

例5.(1)凸五边形有多少条对角线?
(2)凸n( n>3)边形有多少条对角线?

课堂小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果,排列是 选择后再排序 的结果 组合 组合数的概念

复习巩固:
1、组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成 一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2、组合数: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! An n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m m Cn ? Cn ? m ? Am m! m !(n ? m)!

我们规定:Cn ? 1.
0

定理 1:

C ?C
m n

n?m n

例1:一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以 前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则,比赛时 一个足球队的上场队员是11人。问: (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案? (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守 门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?

例4:在100件产品中有98件合格品,2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种?

说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类 法或间接法求解。

变式练习
按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法? 3 2 (1)甲、乙、丙三人必须当选; C3 C9 ? 36 0 5 (2)甲、乙、丙三人不能当选; C3 C9 ? 126 (3)甲必须当选,乙、丙不能当选;C11C94 ? 126 (4)甲、乙、丙三人只有一人当选; C1C 4 ? 378 3 9 (5)甲、乙、丙三人至多2人当选; (6)甲、乙、丙三人至少1人当选;
3 1 5 (5)方法一:C32C9 ? C3C94 ? C30C9 ? 756

方法二:C ? C C ? 756 1 4 (6)方法一:C C ? C C ? C3C9 ? 666 方法二:C ? C C ? 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 3 2 9 2 3 3 9 0 5 3 9

例5、某医院有内科医生12名,外科医生8名,现要 派5人参加支边医疗队,至少要有1名内科医生和1名 外科医生参加,有多少种选法? 例6:(1)平面内有9个点,其中4个点在一条直线 上,此外没有3个点在一条直线上,过这9个点可确 定多少条直线?可以作多少个三角形?

(2)空间12个点,其中5个点共面,此外无任何4个 点共面,这12个点可确定多少个不同的平面?

例7、有翻译人员11名,其中5名仅通英语、4名仅通 法语,还有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名,其 中4名译英语,另外4名译法语,一共可列多少张不同 的名单? 例8、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任 意取出4只,试求满足如下条件各有多少种情况: (1)4只鞋子恰有两双; (2) 4只鞋子没有成双的; (3) 4只鞋子只有一双。

课堂练习:
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习,每个车间2人, 若甲必须分到一车间,乙和丙不能分到二车间,则不同的分 9 法有 种。 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两人中 9 至多有一个人参加,则有不同的选法种数为 。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队,如果 其中至少有2名男医生和至少有2名女医生,则不同的选法种数 为( C ) 3 2 3 3 2 3 A.(C8 ? C7 )(C7 ? C82 ) B.(C8 ? C7 ) ? (C7 ? C82 )
3 2 3 C.C8 C7 ? C7 C82

3 2 1 D.C8 C7 C11

4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员, 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有( ) D

AC A .

2 5

3 3

B.2C A

3 5

3 3

C. A

3 5

D.2C A ? A
2 5 3 3

3 5

课堂练习: 5、在如图7x4的方格纸上(每小方格均为正方形) (1)其中有多少个矩形? (2)其中有多少个正方形?

复习巩固:
1、组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一 组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2、组合数: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! An n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m m Cn ? Cn ? m ? Am m! m !(n ? m)!

我们规定:Cn ? 1.
0

定理 1:

C ?C
m n

n?m n

性质2
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. ⑴ 从口袋内取出3个球,共有多少种取法? ⑵ 从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 多少种取法? ⑶ 从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少 种取法?

解:(1) ⑶

C ? 56
C ? 35
3 7

3 8



C ? 21
2 7

我们发现:

C

3 8

?C ? C
2 7

3 为什么呢 7

我们可以这样解释:从口袋内的 8个球中所取出的3个球,可以分为 两类:一类含有1个黑球,一类不含 有黑球.因此根据分类计数原理, 上述等式成立.

性质2
证明:

C ?C
m n

? cn ? cn c n ?1
m m
m?1 n

m ?1

n! n! ? ? m!(n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]! n!(n ? m ? 1) ? n!m (n ? m ? 1 ? m)n! ? ? m!(n ? m ? 1)! m!(n ? 1 ? m)! (n ? 1)! m ? ? Cn?1 . m![( n ? 1) ? m]!

? cn ? cn c n ?1
m m

m ?1

注:1? 公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数 之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数. 2? 此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学 习“二项式定理”时,我们会看到它的主要应用.

例1
(1)

计算:

?C ?
3 100

C

3 99

? C 99; 100? 99 ? 98
2

3 ? 2 ?1
3 2

? 161700

( 2)

2C

3 8

?C9 ?C8 .
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8

? 2 C ? (C ? C ) ? C ? C ? 56

例2 求证: m m?1 m m?1 ( 1 ) Cn?1 ? Cn ? Cn?1 ? Cn?1 ;

? C ? 2C ? C . m?1 m?1 m (2) C n ? C n ? 2C n m m?1 m?1 m m m?1 m?1 ( 1 ) ? (C n C n C?)C n?1C nC n?1 n ) ? n ?( ? ?C m?1 m m?1 m ? Cn ? ? C n?1 ? C n?1 C n m m?1 ? ? C n?2 .C n?1 .
(2) C
m?1 n m?1 n m n m?1 n? 2

一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法;
(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分成三份,每份两本; (3)分成三份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)分给甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本;

(5)分给甲、乙、丙3人,每人至少一本;
(6)分给5个人,每人至少一本; (7)6本相同的书,分给甲乙丙三人,每人至少一本。

练习: (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?

解: (1) C ? C ? C ? C ? 3150 2 2 C ? C6 ? C4 ? C ? 18900 (2)
6 10 6 10 1 2 4 6 1 2 1 1 2 2

二、不相邻问题插空法
例4、某城新建的一条道路上有12只路灯,为了节 省用电而不影响正常的照明,可以熄灭其中三盏 灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两 盏灯,可以熄灭的方法共有( ) 3 3 3 3 A C8 种(B) 8 种 (C) 9 种 (D) 11 种 C (A) C

三、混合问题,先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能? 解:由题意知前5次测试恰有4次测到次品,且第5 次测试是次品。故有: 3C1 A4 ? 576 种可能。 C
4 6 4

练习:1、某学习小组有5个男生3个女生,从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动,每项活动至少有1 人参加,则有不同参赛方法______种.
解:采用先组后排方法:
3 1 2 3 C5 ? C3 ? C4 ? A3 ? 1080

2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生

体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方
法共有多少种?
解法一:先组队后分校(先分堆后分配)

C C ?A
2 2 6 4

3 3

? 540

解法二:依次确定到第一、第二、第三所学校去的医 生和护士.
1 3 2 6 1 2 2 4

(C C ) ? (C C ) ?1 ? 540

四、分类组合,隔板处理
例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得: 5 ? 4095 C
29

练习: 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级, 每班至少分到1个名额,共有多少种不同的分配方法?

2、从一楼到二楼的楼梯有17级,上楼时可以一步走 一级,也可以一步走两级,若要求11步走完,则有 多少种不同的走法?


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