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2016年深圳市第二高级中学高一期末试题(必修1+必修2)


2015?2016 学年深圳市第二高级中学第二学段考试

高 一 数 学 试 题
时间:120 分钟 满分: 150 分 命题人:殷木森

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?2,0,1,3? , B ?

?2,0, 4,6? ,则 A ? B 的真子集的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是 A. f ?x? ? x , g ?x ? ? C. f ? x ? ?

x2

B. f ?x ? ? D. f ? x ? ?

x 2 , g ?x ? ?

? x?

2

x2 ?1 , g ?x ? ? x ? 1 x ?1

x ? 1 ? x ? 1 , g ?x ? ? x 2 ? 1

3.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为 1cm 的正方形,则原图形的周长是 A. 6cm 4.函数 y ?
3

B. 8cm

C. 2(1 ? 3) cm

D. 2(1 ? 2) cm

x 2 的图象大致是
y
y y

y

O

x

O
B

x

x
O
C

x
O
D

A

5. 若 PQ 是圆 x2 ? y 2 ? 9 的弦, PQ 的中点是 ?1, 2 ? ,则直线 PQ 的方程是 A. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 0

6.已知 ? , ? , ? 是两两不重合的三个平面,下列命题中错误 的是 .. A.若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? C.若 ? // ? , ? ? ? ,则 ? ? ? 7. 以下四个数中的最大者是 A. (ln 2)
2

B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? D.若 ? //? ,? ? ? =a, ? ? ? =b ,则 a // b

B. ln(ln 2)

C. ln 2

D. ln 2

深圳市第二高级中学高一数学第二学段考试试题第 1 页

8. 深圳市政府早在 2009 年就开始着力把“互联网产业”打造成重要的新兴产业,已知某 互联网企业 2009 年的产值为 125 万元,计划从 2010 年起平均每年比上一年增长 20% ,则 这个企业产值首次超过 200 万元是在 A. 2011 年 B. 2012 年 C. 2013 年 D. 2014 年

第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.空间两点 P 1 (3, ?2,5), P 2 (6,0, ?1) 的距离等于 .

?9? 2 10.计算 9 ? ? ? 的结果是 ?4?
11.函数 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? x ? 2) 的定义域是

3 2

?

1

. . .

12.经过三点 A(?1,5), B(5,5), C (6, ?2) 的圆的方程是 13. 若某空间几何体的三视图如图 1 所示,则该几何体的 体积是 .
5

14. 曲线 y ? 2 ? 3 ? 2x ? x2 与直线 y ? k ( x ? 1) ? 5 有两个 不同交点时,实数 k 的取值范围是 .
2 2 正视图 2 2 侧视图

图1
俯视图

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15.(本题满分 12 分) 已知正方形 ABCD 中, A(?2,1) , BC 边所在直线方程是 l : y ? x ? 1 . (1)求 AB 、 AD 边所在的直线方程; (2)求点 B 、 C 、 D 的坐标.( C 在 B 的右边)

深圳市第二高级中学高一数学第二学段考试试题第 2 页

16.(本题满分 12 分) 已知奇函数 f ( x ) 在 x ? 0 时的图象是如图 2 所示的抛物线的一部分. (1)补全函数 f ( x ) 的图象并写出函数 f ( x ) 的表达式; (2)写出函数 f ( x ) 的单调区间;

y

?2
(3)若方程 f ( x) ? a 有三个不同的根,求实数 a 的取值范围.

2 1

1

2

x

O
?2
图2

17.(本题满分 14 分) 设函数 f ( x) 对任意 x , 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,f (1) ? ?2 . (1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)判断 f ( x) 的单调性并证明; (3)试问当 ? 3 ? x ? 3 时 f ( x) 是否有最值?如果有,求出最值;如果没有说出理由.

18.(本题满分 14 分) 如图 3,直角梯形 ABCD 中, AD // BC , AD ? CD , AD ? 2 BC ? 2CD ? 4 , E 为 AD 的中点,将 ?ABE 沿 BE 折起,使二面角 A ? BE ? C 是直二面角,并连结 AC,AD 得 到四棱锥 A ? BCDE ,如图 4. (1)求四棱锥 A ? BCDE 的体积; (2)若 M , N 分别是 BC , AD 的中点,求证: MN // 平面 ABE .

A

A

E

D

N
E D B
图3

C
B M
图4

C

深圳市第二高级中学高一数学第二学段考试试题第 3 页

19.(本题满分 14 分) 如图 5,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 点 E 、 F 分别是 AB 、 C1D1 的中点.
A D E

C

F 、 C 、 E 在同一平面内; (1)证明:点 A 1、
(2)若点 G 、 H 分别是 DD1 、 B1C1 的中点, 证明: GH ? 平面 A1 FCE .

G
D1

B

F

C1
H

A1

B1

图5

20.(本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在 x 轴上、半径为 2 的圆 C 位于 y 轴右侧,且与 直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)在圆 C 上,是否存在点 M (m, n) ,使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于不 同的两点 A, B ,且 ?OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的 ?OAB 的面积; 若不存在,请说明理由.

深圳市第二高级中学高一数学第二学段考试试题第 4 页

2014?2015 学年深圳市第二高级中学第二学段考试

高 一 数 学 参 考 答 案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.

1 2 3 4 5 答案 C A B C B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
题号 9.7 ; 10. 26 ; 13. 20 ?

6 B

7 D

8 B

1 3

11. x x ? ?1或x ? 2 ; 12. x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 20 ? 0 ; 14. (
5 3 3 5 , ] ? [? , ? ). 2 2 2 2

?

?

2 ?; 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. 解:(1)由题意得 AB ? BC, AD // BC , 所以 k AB ? ?1, k AD ? 1 又因为直线 AB 、 AD 过点 A(?2,1) 所以 AB 、 AD 的方程分别是 x ? y ? 1 ? 0 , x ? y ? 3 ? 0 ????????????6 分 (2)解 x ? y ? 1 ? 0 与 y ? x ? 1 得 x ? 0, y ? ?1 ,即 B(0,?1) ??????????7 分 又因为 y 轴平分 ?ABC ,所以 D(0,3) ?????????????????????9 分 所以 CD 直线所在的方程是 y ? ? x ? 3 ????????????????????10 分 解 y ? ? x ? 3 与 y ? x ? 1 得 x ? 2, y ? 1 ,即 C (2,1) ??????????????12 分 16.(1)如图:

y

?2

2 1

1

2

x

O
?2
??????????????3 分
2 (2)当 x ? 0 时,设解析式是 y ? a( x ? 1) ? 2 ,代入 ( 2,0) 得 a ? 2 ,

即 y ? 2 ? 2 x( x ? 1) ? 2 x ? 4 x ???????????????????????5 分
2 2

深圳市第二高级中学高一数学第二学段考试试题第 5 页

同理求得当 x ? 0 时,设解析式是 y ? ?2 x 2 ? 4 x ????????????????7 分
2 ? ?2 x ? 4 x , x ? 0 所以解析式是 f ( x) ? ? ????????????????????8 分 2 ? ?? 2 x ? 4 x , x ? 0

(3)由图可得 y ? f ( x) 与 y ? a 有三个交点时, ? 2 ? a ? 2 ??????????10 分 所以方程 f ( x) ? a 有三个不同的根,实数 a 的取值范围是 ?? 2,2??????????12 分 17. 解:(1)令 x ? y ? 0 ,则 f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ,即 f (0) ? 2 f (0) ,故 f (0) ? 0 又令 y ? ? x ,则 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) ,即 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 , 故 f (? x) ? ? f ( x) ,所以函数 f ( x ) 为奇函数?????????????????4 分 (2)令 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,易知有:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ? ?( x2 ? x1 ) ? x1 ? ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( x2 ? x1 )
又 x2 ? x1 ? 0 ,故 f ( x2 ? x1 ) ? 0 ,从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 所以函数 f ( x ) 在 R 上为减函数??????????????????????9 分 (3)由(2)知 f ( x ) 为 R 上的减函数,故在 ? ?3,3? 上,最小值为 f (3) ,最大值为 f (?3) 又 f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ? f (1) ? f (1 ? 1) ? 3 f (1) ? ?6 , f (?3) ? ? f (3) ? 6 。 故在 ? ?3,3? 上, f ( x ) 的最小值为 ?6 ,最大值为 6 ??????????????14 分 18. 解:(1)? AD ? 2 BC ? 4 , E 为 AD 的中点,

? BE // CD
又? AD ? CD

? BE ? AE,BE ? ED ? ? AED 是二面角 A ? BE ? C 所成的二面角,即 ?AED ? 90?
而 BE ? ED ? E , BE , ED ? 平面 BCDE

A

? AE ? 平面 BCDE

N
F

? AE ? 2 , SBCDE ? 4
8 ? 四棱锥 A ? BCDE 的体积 V ? ;?????????7 分 3 证明: (2)作 AE 的中点 F ,连结 NF , BF B ? N 分别是 AD 的中点
E

D M

C

深圳市第二高级中学高一数学第二学段考试试题第 6 页

1 ? NF // ED ? 2
又? M 分别是 BC 的中点, BC // ED
?

1 ? BM // ED ? 2 ? NF // BM
?

? 四边形 BMNF 是平行四边形 ? MN // BF
而 MN ? 平面 ABE , BF ? 平面 ABE ,

? MN // 平面 ABE .????????????????????????????14 分
19. 证明: (1)作 A1B1 的中点 M ,并连结 BM 、 FM 依题意得 EB 与 A1M 平行且相等?????????1 分
D E

C

A

? 四边形 A1MBE 是平行四边形
? A1E // MB ?????????????????2 分
又依题意得 BC 与 MF 平行且相等

G
D1

B

F

C1
H

? 四边形 MFCB 是平行四边形?????????3 分 A1
? MB // FC
????????????????4 分

M

B1

? A1E // FC ????????????????????????????????5 分

? 点 A1 、 F 、 C 、 E 在同一平面内??????????????????????6 分
(2)由 GD1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 D1

?GD1 ? A1F ???????????????????????????????7 分
又由 F 、 H 分别是 C1D1 、 B1C1 的中点,

? Rt?A1FD1 ? Rt?D1HC1 ? ?D1 A1F ? ?HD1C1
又? ?D1 A1F ? ?D1FA 1 ? 90?

? ?HD1C1 ? ?D1FA 1 ? 90? ? D1H ? A1F ???????????????????????????????9 分
深圳市第二高级中学高一数学第二学段考试试题第 7 页

而 D1H ? D1G ? D1 , D1H , D1G ? 平面 D1HG

? A1F ? 平面 D1HG ,而 GH ? 平面 D1HG ? A1F ? GH ???????????????????????????????11 分
同理可证 CF ? GH ????????????????????????????13 分 而 CF ? A1F ? F , CF , A1F ? 平面 A1 FCE .

? GH ? 平面 A1 FCE .???????????????????????????14 分
20. 解: (1) 设圆心是 ? x0 ,0? ( x0 ? 0) , 它到直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离是 d ?

x0 ? 2 1? 3

?2,

解得 x0 ? 2 或 x0 ? ?6 (舍去)????????????????????????3 分

? 所求圆 C 的方程是 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 ?????????????????????4 分
2

(2)? 点 M (m, n) 在圆 C 上

? ? m ? 2 ? ? n 2 ? 4 , n 2 ? 4 ? ? m ? 2 ? ? 4m ? m 2 且 0 ? m ? 4 ?????????6 分
2 2

又? 原点到直线 l : mx ? ny ? 1 的距离 h ?

1 m2 ? n 2

?

1 ? 1??????????8 分 4m

解得

1 ? m ? 4 ??????????????????????????????10 分 4
2

而 AB ? 2 1 ? h

? S?OAB ?
?

1 1 ? 1 ? ? 1 1? 1 AB ? h ? h2 ? h4 ? ?? ? ? ? ????????11 分 ? ? ?? 2 4m ? 4m ? ? 4m 2 ? 4

2

2

1 1 ? ? 1 ??????????????????????????????12 分 16 4m 1 1 1 1 ? ,即 m ? 时取得最大值 , ?当 4m 2 2 2
此时点 M 的坐标是 ( ,

1 1 7 1 7 ) ,面积的最大值是 . )与( ,? 2 2 2 2 2

深圳市第二高级中学高一数学第二学段考试试题第 8 页


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