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山东省2014年高考一轮专题复习资料数列理


2014 年高考一轮专题复习资料

一、选择题 1 . (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)已知等差数列

?an ?


的前 n 项和为 Sn ,满足 a13 ? S13 ? 13,则a1 ? A. ?14
【答案】D

( D. ?11

B. ?13

C. ?12

2 . (山东省莱芜五中 2013 届高三 4 月模拟数学(理)试题) 已知数列 {an },{ n }满足 b

a1 ? b1 ? 3 , an?1 ? an ?
A. 9
2012

bn?1 ? 3 , n ? N? ,若数列 {cn } 满足 cn ? ban ,则 c2013 ? ( bn
2012



B. 27

C. 9

2013

D. 27

2013

【答案】D

3 . (山东省莱芜市莱芜四中 2013 届高三 4 月月考数学试题) 已知等差数列{ an }的前 n 项和为

s n , a4 ? a7 ? a10 =9, s14 ? s3 =77,则使 s n 取得最小值时 n 的值为
A.4
【答案】B





B. 5

C.6

D.7

4 . (山东省莱芜市莱芜四中 2013 届高三 4 月月考数学试题)将正奇数 1,3,5,7,排成五列(如

表),按此表的排列规律,89 所在的位置是

( A.第一列 【答案】D B.第二列 C.第三列 D.第四列



5 . (山东省莱芜市莱芜十七中 2013 届高三 4 月模拟数学(理)试题)已知正项组成的等差数

列 {an } 的前 20 项的和 100 ,那么 a6 ? a15 最大值是 A. 25
【答案】A

( D.不存在



B. 50

C. 100

6 . (山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)等差数列 {an } 前 n 项

1

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和 为 Sn , 已 知 (a1 0 0? 13)? 6

2 0 1 3 ( ? 0 6 ? 1 ) (a1 , ?1)3 ? 2013(a1008 ?1) ? ?1, 则 a 10 1008
( ) B. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 D. S2013 ? ?2013, a1008 ? a1006

A. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 C. S2013 ? ?2013, a1008 ? a1006
【答案】B

7 . (山东省济南市 2013 届高三 4 月巩固性训练数学(理)试题) 等差数列

?an ? 中,已知
( )

a1 ? ?12 , S13 ? 0 ,使得 an ? 0 的最小正整数 n 为
A.7
【答案】B

B.8

C.9

D.10

8 . (山东省济南市 2012 届高三 3 月高考模拟题理科数学(2012 济南二模) 在等差数列 )

?a ?
n

中, a1 =-2 012 ,其前 n 项和为 S n ,若 A.-2 011
【答案】 【答案】B

S12 S10 =2,则 S 2 012 的值等于 ? 12 10
C.-2 010 D.-2 013





B.-2 012

【 解 析 】 设 公 差 为 d , 则 S n ? na1 ?

S n(n ? 1)d (n ? 1)d , n ? a1 ? , 由 2 n 2
所 以

S12 S10 (12 ? 1)d (10 ? 1)d ? ? ? ?d 12 10 2 2

,

d ?2

,





S n ? n(n ? 2

) , S 2012 ? 2012 2012? 2013 ? ?2012,选 B 0 1 3 ( )

9 (山东省德州市 2013 届高三第二次模拟考试数学 . (理) 试题) 已知定义在 R 上的函数 f(x),g(x)

满足

f ( x) f (1) f (?1) 5 ? a x , 且 f ? (x)g(x) ? f ( x) g ?( x), ? ? ,若有穷数列 g ( x) g (1) g (?1) 2
( D.7 )

? f (n) ? * ? ? (n ? N ) 的前 n 项和等于 126,则 n 等于 ? g (n) ?
A.4
【答案】C 二、填空题

B.5

C.6

2

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10. (山东省济宁市 2013 届高三 4 月联考理科数学)根据下面一组等式

S1=1 S2=2+3=5 S3=4+5+6=1 5 S4=7+8+9+1 0=34 S5=1 1+1 2+1 3+1 4+1 5=65 S6=1 6+1 7+1 8+1 9+20+2 1=1 1 1 S7=22+23+24+25+26+27+28=1 75 可得 S1+S3+S5++S2n-1=___________.
【答案】 n
4

三、解答题 11. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)等比数列 ....

?cn ? 满足

cn ?1 ? cn ? 10 ? 4n ?1 ? n ? N * ? , 数列?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? log2 cn .
(I)求 an , S n ; (II) 数 列 ?bn ? 满足bn ?

1 4Sn ? 1

, Tn为数列?bn ? 的 前 n 项 和 , 是 否 存 在 正 整 数

m, k ?1 ? m ? k ? ,使得 T1 , Tm , Tk 成等比数列?若存在,求出所有 m, k 的值;若不存在,请 说明理由.

【答案】(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ) c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4

c1 ? 4c1 ? 10

得 c1 ? 2

cn ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1
所以 an ? log2 22n?1 ? 2n ? 1

Sn ?

n(a 1 ? an ) n[1 ? (2n ? 1)] ? ? n2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 4n ? 1 2 ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 1
2

于是 Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ??1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ? 1 2 ?? ? ? ? ? ??

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假设存在正整数 m, k ?1 ? m ? k ? ,使得 T1 , Tm , Tk 成等比数列,则

k ? m ? 1 , ? ? ? ? ? 2m ? 1 ? 3 2 k ? 1
可得

2

3 ?2m2 ? 4m ? 1 ? ? 0, k m2

所以 ?2m ? 4m ? 1 ? 0
2

从而有, 1 ?

6 6 , ? m ? 1? 2 2

由 m ? N ? , m ? 1 ,得 m ? 2 此时 k ? 12 . 当且仅当 m ? 2 , k ? 12 时, T1 , Tm , Tk 成等比数列

12. (山东省枣庄市 2013 届高三 4 月(二模)模拟考试数学(理)试题)已知数列

?an ? 的前 n 项

和 Sn ?

1 an an ?1 , n ? N * ,且 a1 ? 1 . 2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? an ? 2(n ? N * ) ,求证:数列 ?bn ? 中任意的三项都不可能成为等比数列.

【答案】

4

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13 . 山 东 省 夏 津 一 中 2013 届 高 三 4 月 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 等 比 数 列 {an } (
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中, a 2 ?

1 1 , a3 ? a 6 ? .设 bn ? log 2 a2 2 ? log 2 a2 2 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和.(Ⅰ) n n?1 4 512
?

求 an 和 Tn ;(Ⅱ)若对任意的 n ? N ,不等式 ?Tn ? n ? 2(?1) n 恒成立,求实数 ? 的取值 范围.
【答案】解:(Ⅰ)设 {an } 的公比为 q ,由 a 3 a 6 ? a 2 ? q ?
2 5

1 5 1 1 q ? 得q ? , 16 512 2

∴ an ? a2 ? q

bn ? log 2 a2
n

1 ? ( )n 2 2 ? log 2 a2 2= log
n?2
n?1

1 ( )2 n?1 2

2 ? log

1 ( )2 n?1 2

2

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ) ? (? 1 )? ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 ?
(Ⅱ) ①当 n 为偶数时,由 ?Tn ? n ? 2 恒成立得, ? ? 即 ? ? ( 2n ? 而 2n ?

(n ? 2)( 2n ? 1) 2 ? 2n ? ? 3 恒成立, n n

2 ? 3) min , n

2 2 ? 3 随 n 的增大而增大,∴ n ? 2 时 (2n ? ? 3) min ? 0 ,∴ ? ? 0 ; n n (n ? 2)( 2n ? 1) 2 ? 2n ? ? 5 恒成立, ②当 n 为奇数时,由 ?Tn ? n ? 2 恒成立得, ? ? n n 2 即 ? ? (2n ? ? 5) min , n
而 2n ?

2 2 2 ? 5 ? 2 2n ? ? 5 ? 9 ,当且仅当 2n ? ? n ? 1 等号成立, n n n

∴? ? 9 综上,实数 ? 的取值范围 (- ?, 0 )

14. (山东省文登市 2013 届高三 3 月二轮模拟考试数学(理) 已知数列 {an } 为公差不为 0 的 )

等 差 数 列 , S n 为 前 n 项 和 , a5 和 a7 的 等 差 中 项 为 11 , 且 a2 ? a5 ? a1 ? a14 . 令

bn ?

1 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . an ? an ?1 (Ⅰ)求 an 及 Tn ;

(Ⅱ)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n), 使得T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有的

m, n 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)因为 {an } 为等差数列,设公差为 d ,则由题意得
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?a5 ? a7 ? 22 ? 2a1 ? 10d ? 22 ? ?a2 ? a5 ? a1 ? a14 ? (a1 ? d )(a1 ? 4d ) ? a1 (a1 ? 13d )

整理得 ?

?a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2 ?? ?a1 ? 1 ?d ? 2a1

所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 由 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 n 1 m n ,所以 T1 ? , Tm ? , Tn ? 2n ? 1 3 2m ? 1 2n ? 1

所以 Tn ?

(Ⅱ)假设存在 由(Ⅰ)知, Tn ?

若 T1 , Tm , Tn 成等比,则有

Tm 2 ? T1 ? Tn ? (

m 2 1 n m2 n ) ? ? ? ? 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6n ? 3

4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 3 4m ? 1 ? 2m 2 ,.....(1) ? ? ? ? m2 n n m2
因为 n ? 0 ,所以 4m ? 1 ? 2m 2 ? 0 ? 1 ?
?

6 6 , ? m ? 1? 2 2

因为 m ? N , m ? 1,? m ? 2, ,当 m ? 2 时,带入(1)式,得 n ? 12 ; 综上,当 m ? 2, n ? 12 可以使 T1 , Tm , Tn 成等比数列
15. (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试数学理试题(word 版) (本小题满分】2 分) )

某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产 线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护 费用是 4 万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加 2 万元,从第八年开始, 每年的维护费用比上年增加 25% (I)设第 n 年该生产线的维护费用为 an ,求 an 的表达式; (Ⅱ)若该生产线前 n 年每年的平均维护费用大于 12 万元时,需要更新生产线,求该生产 线前 n 年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?

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【答案】

16. (山东省泰安市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题) 已知等差数列

?an ? 的首项

a1 ? 3, 公差d ? 0 ,其前 n 项和为 Sn ,且 a1 , a4 , a13 分别是等比数列 ?bn ? 的第 2 项,第 3
项,第 4 项. (I)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (II)证明

1 1 1 1 3 ? ? ? ??? ? ? . 3 S1 S2 Sn 4

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【答案】

17 . 山 东 省 莱 芜 五 中 2013 届 高 三 4 月 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 等 差 数 列 {an } (

中, a3 ? a4 ? a5 ? 42, a8 ? 30 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? ( 3)
an ?2

? ? ( ? ? R ),则是否存在这样的实数 ? 使得 ?bn ? 为

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等比数列;

?2n ?1 , n为奇数 ? (3)数列 ?cn ? 满足 cn ? ? 1 ,Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求 T2n . an ?1 , n为偶数 ? ?2
【答案】解:(1)因为 {an } 是一个等差数列,所以 a3 ? a4

? a5 ? 3a4 ? 42,? a4 ? 14 .

设 数 列 {an } 的 公 差 为 d

, 则 4d ? a8 ? a4 ? 16 , 故 d ? 4 ; 故

an ? a4 ? (n ? 4)d ? 4n ? 2
(2) bn ? ( 3)
an ?2

? ? ? 9n ? ? .

假 设 存 在 这 样 的 ? 使 得

?bn ?

为 等 比 数 列 , 则 bn?12 ? bn ? bn?2 , 即

(9n?1 ? ? )2 ? (9n ? ? ) ? (9n?2 ? ? ) ,
整理可得 ? ? 0 . 即存在 ? ? 0 使得 ?bn ? 为等比数列 (3)∵ cn ? ?

?2n?1 , n为奇数 ?2n ? 3, n为偶数

,

∴ T2n ? 1 ? (2 ? 2 ? 3) ? 22 ? (2 ? 4 ? 3) ? 24 ? ?? 22n?2 ? (2 ? 2n ? 3)

? 1 ? 22 ? 24 ? ? ? 22n?2 ? 4(1 ? 2 ? ?? n) ? 3n
? 1 ? 4n n(n ? 1) 4n ? 1 ? 4? ? 3n ? ? 2n 2 ? n 1? 4 2 3
1 ,点 2

18. (山东省莱芜市莱芜四中 2013 届高三 4 月月考数学试题)已知数列{ an }中,

a1 =

(n,2 an ?1 - an )(n∈N*)在直线 y=x 上. (1)计算 a2 , a3 , a4 的值; (2)令 bn = an ?1 - an -1,求证:数列{ bn }是等比数列; (3)设 S N , TN 分别为数列{ an },{ bn }的前 n 项和,是否存在实数 λ ,使得数列 {

S n ? ?Tn }为等差数列?若存在,试求出 λ 的值;若不存在,请说明理由. n

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【答案】(1)解:由题意 2 an ?1 - an =n,

1 3 ,所以 2 a2 - a1 =1,解得 a2 = , 2 4 11 35 同理 a3 = , a4 = 8 16
又 a1 = (2)证明:因为 2 an ?1 - an =n,所以 bn+1= an +2- an ?1 -1 =

a n ?1 ? n ? 1 n ? a n ?1 ? 1 - an ?1 -1= , 2 2

bn = an ?1 - an -1= an ?1 -(2 an ?1 -n)-1=n- an ?1 -1=2 bn ?1 ,
3 , 4 3 1 所以数列{ bn }是以- 为首项, 为公比的等比数列. 4 2
又 b1 = a2 - a1 -1=(3)解:由(2)得

1 3 1 bn =- ×( )n-1=-3× ( ) n?1 (n∈N*), 4 2 2 3 1 ? ? (1 ? n ) 2 =3× ( 1 ) n?1 - 3 . Tn= 4 1 2 2 1? 2 1 n?1 又 an ?1 =n-1- bn =n-1+3× ( ) , 2 1 所以 an =n-2+3×( )n(n∈N*), 2 1 1 ? (1 ? n ) 2 n( n ? 1) 2 = n ? 3n +3- 3 . 所以 Sn= -2n+3× 2 1 2 2n 2 1? 2
由题意,记 cn =

S n ? ?Tn . n

要使数列{ cn }为等差数列,只要 cn - cn ?1 (n≥2)为常数.

n 2 ? 3n 3 1 3 1 ? 3 ? n ) ? ?[3 ? ( ) n ?1 ? ] 1? n S n ? ?Tn n?3 3 2 2 2 = 2 2 , = +(3- λ )× cn = n 2 2 n n (

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1 1 ? n ?1 n?4 3 2 , +(3- λ )× cn ?1 = 2 2 n ?1 1 1 1 ? n 1 ? n ?1 1 3 2 2 ). 则 cn - cn ?1 = +(3- λ )×( 2 2 n n ?1
故当 λ =2 时, cn - cn ?1 =

S ? ?Tn 1 为常数,即数列{ n }为等差数列. 2 n

19. (山东省莱芜市莱芜十七中 2013 届高三 4 月模拟数学(理)试题)已知数列 {an } 的前 n 项

和 Sn 满足 Sn ? 2an ?1 ,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b4 ? S3 . (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1001 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? 2012 bnbn ?1

【答案】解:(1)当 n ? 1 时, a1

? S1 ? 2a1 ?1,∴ a1 ? 1
an ?2 an ?1

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ? 2an ? 2an?1 , 即

∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ an ? 2n?1, Sn ? 2n ?1 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴ d ? 2 ∴ bn ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 (2) cn ? ∴ Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1001 n 1001 由 Tn > ,得 > ,解得 n > 100.1 2012 2n ? 1 2012

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∴ Tn >

1001 的最小正整数 n 是 101 2012

20. (山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)已知数列

?an ?是等差

数列,

2 cn ? an ? an?1 n ? N ? 2

?

?

(1)判断数列 (2)如果 列

?cn ?是否是等差数列,并说明理由;

a1 ? a3 ? ? ? a25 ? 130, a2 ? a4 ? ? ? a26 ? 143? 13k ?k为常数? ,试写出数

?cn ?的通项公式; ?cn ?得前 n 项和为 S n ,问是否存在这样的实数 k ,使 S n 当且

(3)在(2)的条件下,若数列

仅当 n ? 12 时取得最大值.若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.

【答案】解:(1)设

{an } 的公差为 d ,则

2 2 2 2 cn?1 ? cn ? (an?1 ? an?2 ) ? (an ? an?1 ) 2 ? 2an?1 ? (an?1 ? d )2 ? (an?1 ? d )2

? ?2d 2

? 数列 {cn } 是以 ?2d 为公差的等差数列 3
2

(2)

? a1 ? a3 ? ? ? a25 ? 130

a2 ? a4 ? ? ? a26 ? 143 ? 13k

? 两式相减:13d ? 13 ? 13k
?d ? 1? k 13(13 ? 1) ?13a1 ? ? 2d ? 130 2

a1 ? ?2 ? 12k

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? (1 ? k )n ? (13k ? 3)
2 2 ? cn ? an ? an?1 ? (an ? an?1 )(an ? an?1 )

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? 26k 2 ? 32k ? 6 ? (2n ? 1)(1 ? k ) 2 ? ?2(1 ? k ) 2 n ? 25k 2 ? 30k ? 5 8

S (3)因为当且仅当 n ? 12 时 n 最大
? 有c12 ? 0, c13 ? 0
??24(1 ? k ) 2 ? 25k ? 30k ? 5 ? 0 ?k 2 ? 18k ? 19 ? 0 ? ? ?? 2 ? 2 2 ??36(1 ? k ) ? 25k ? 30k ? 5 ? 0 ?k ? 22k ? 21 ? 0 ? ?



?k ? 1或k ? ?19 ?? ? k ? ?19或k ? 21 ?k ? 21或k ? 1 12
21. (山东省莱钢高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 )设数列

?an ? 为等差数列,且
, b1 ?

a5 ? 14 , a7 ? 20 , 数 列 3Sn ? Sn?1 ? 2 (n ? 2, n ? N ) ;,

?bn ?

的 前 n

项 和 为 Sn

2 且 3

(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? an ? bn , n ? 1, 2,3,? , Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和. 求 m 的最小值.

T

n

<m 对n ? N 恒成立 ,

?

【答案】解:(Ⅰ) 数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ?

1 (a7-a5 ) ? 3 , 2

易得 a1 ? 2

所以 a n ? 3n ? 1

由 bn ? 2-2 S n ,令 n ? 1 ,则 b1 ? 2 ? 2S1 ,又 S1 ? b1 ,所以.

b2 ? 2 ? 2(b1 ? b2 ) ,则 b2 ?
由 3Sn ? Sn ?1 ? 2

2 9

当 n ? 3 时,得 3Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2 ,

两式相减得. 3( Sn ? Sn ?1 ) ? Sn ?1 ? Sn ?2 即 3bn ? bn ?1 .所以 ?bn ? 是以 b1 ?

bn b 1 1 ? 又 2 ? b1 3 bn ?1 3

2 1 为首项, 为公比的等比数列, 3 3
14

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于是 bn ? 2 ?

1 3n

1 3n 1 1 1 1 ∴ Tn ? 2[2 ? ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? ? ? (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3
(Ⅱ) c n ? a n ? bn ? 2(3n ? 1) ?

1 1 1 1 ? ? 1 Tn ? 2?2 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? (3n ? 4) ? n ? (3n ? 1) ? n?1 ? 3 3 3 3 ? ? 3

2 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n?1 ] 3 3 3 3 3 3 3 7 7 1 n 所以 Tn ? ? ? n ? n ?1 2 2 3 3 7 7 1 n 7 从而 Tn ? ? ? n ? n ?1 ? 2 2 3 2 3 7 7 ? ∵ T n <m 对n ? N 恒成立 ∴ m ? ∴m 的最小值是 2 2
两式相减得 Tn ? 2[3 ?
22 .( 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 4 月 联 考 理 科 数 学 ) 已 知 数 列

?an ?

中, a1 ? 1, an ?1 ?

an , ? n ? N * ?. an ? 3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 若 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? 3 ? 1
n

?

? 2n a
n

n

,数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 若 不 等 式

n ? ?1? ? ? Tn 对一切 n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围.

【答案】

15

2014 年高考一轮专题复习资料

23. (山东省济南市 2013 届高三 4 月巩固性训练数学(理)试题) 已知数列 {an } 满足

a1 ? 3 , an?1 ? 3an ? 3n (n ? N * ) ,数列 {bn } 满足 bn ?

an . 3n

(1)证明数列 {bn } 是等差数列并求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

【答案】解(1)证明:由 bn ?

an an ?1 ,得 bn ?1 ? n ?1 , n 3 3

∴ bn ?1 ? bn ?

an ?1 an 1 ? ? 3n ?1 3n 3 1 3

所以数列 ?bn ? 是等差数列,首项 b1 ? 1 ,公差为 ∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ?

1 3

n?2 3

(2) an ? 3n bn ? (n ? 2) ? 3n?1

? Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 3 ?1 ? 4 ? 3 ? ? ? (n ? 2) ? 3n?1 ----①

16

2014 年高考一轮专题复习资料

?3Sn ? 3 ? 3 ? 4 ? 32 ? ?? (n ? 2) ? 3n -------------------②
①-②得 ? 2Sn ? 3 ?1 ? 3 ? 32 ? ?? 3n?1 ? (n ? 2) ? 3n

? 2 ? 1 ? 3 ? 32 ? ?? 3n?1 ? (n ? 2) ? 3n
? 3n ? 3 ? (n ? 2) ? 3n 2

3n ? 3 (n ? 2)3n ? Sn ? ? ? 4 2

24. (山东省济南市 2012 届高三 3 月高考模拟题理科数学 (2012 济南二模) 已知等比数列 )

?a ?
n

的前 n 项和为 S n ,且满足 S n = 3n +k, (1) 求 k 的值及数列 an ? 的通项公式; (2) 若数列 bn ? 满足

?

?

an ?1 ab = (4 ? k ) n n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2
n n ?1

【答案】 【答案】解(1) 当 n≥2 时由 an ? S n ? S n ?1 ? 3 ? k ? 3

? k ? 2? n ?1 3

a1 ? S1 =3+k,所以 k= ?1 ,
(2) 由

an ?1 n 3 n , bn ? ? n , ? (4 ? k ) anbn ,可得 bn ? n ?1 2 2? 3 2 3

3?1 2 3 n? Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? 2?3 3 3 3 ? 1 3? 1 2 3 n ? Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? ? n ?1 ? 3 2?3 3 3 3 ? 2 3?1 1 1 1 n ? ? Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? n ?1 ? 3 2?3 3 3 3 3 ? Tn ? 9?1 1 n ? ? n ?1 ? ? ? n 4 ? 2 2? 3 3 ?
x

25. (山东省菏泽市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知函数 f(x)=a 的图象过

1 an * x 点(1, ),且点(n-1, 2)(n∈N )在函数 f(x)=a 的图象上. 2 n

17

2014 年高考一轮专题复习资料

(1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)令 bn=an+1- an,若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn<5. 2

【答案】(1)∵函数 f(x)=a 的图象过点(1, ),

x

1 2

1 1 ∴a= ,f(x)=( )x. 2 2 又点(n-1, 2)(n∈N*)在函数 f(x)=ax 的图象上,从而 2= ? n+1? (2)证明:由 bn= n 2 3 5 2n+1 (3)Sn= + 2++ n , 2 2 2 1 3 5 2n-1 2n+1 则 Sn= 2+ 3++ n + n+1 , 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 2n+1 两式相减得: Sn= +2( 2+ 3++ n)- n+1 , 2 2 2 2 2 2
2

an n

an 1 n2 n-1,即 an= n-1. n 2 2

n 2n+1 - n= n 得, 2 2

2

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 2n ? 1 2 sn ? ? 2 4 ? n ?1 1 2 2 2 1? 2
2n+5 ∴Sn=5- n , 2

?

2n ? 5 ? 0 ∴Sn<5 2n

26. (山东省凤城高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 ) 设等比数列 {an } 的前项和为 Sn ,

已知 an?1 ? 2Sn ? 2 ,(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 数组成公差为 dn 的等差数列,求 {

1 } 的前 dn

n 项和 Tn .

【答案】解:(Ⅰ)由 an?1

? 2Sn ? 2(n ? N ? )
18

2014 年高考一轮专题复习资料

得 an ? 2Sn?1 ? 2(n ? N ? , n ? 2 ), 两式相减得: an?1 ? an ? 2an , 即 an?1 ? 3an (n ? N ? , n ? 2 ), ∵ {an } 是等比数列,所以 a2 ? 3a1 ; 又 a2 ? 2a1 ? 2, 则 2a1 ? 2 ? 3a1 ,∴ a1 ? 2 , ∴ an ? 2 ? 3n?1 (Ⅱ)由(1)知 an ? 2 ? 3n?1 ,则 an?1 ? 2 ? 3n ∵ an?1 ? an ? (n ? 1)d n , ∴ d n ?

4 ? 3n?1 n ?1

∵ Tn ? ∴ Tn ?

1 1 1 1 ? ? ?? d1 d 2 d 3 dn

2 3 4 n ?1 ? ? ??? ① 0 1 2 4?3 4?3 4?3 4 ? 3 n ?1 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? ? ??? ? ② 1 2 3 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 2 2 1 1 1 1 n ?1 ? ? ? ??? ? ①-②得 Tn ? 0 1 2 3 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n

1? 1 ? ?1 ? n ?1 ? 1 1 3 3 ? n ? 1 5 2n ? 5 ? ? ? ? ? ? ? 1 2 4 4 ? 3n 8 8 ? 3 n 1? 3
∴ Tn ?

15 2n ? 5 ? 16 16 ? 3 n ?1

27. (山东省德州市 2013 届高三第二次模拟考试数学 (理)试题) 各项均为正数的等比数列{an}

中,已知 a1=2,a5=512,Tn 是数列{log2an}的前 n 项和. (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求 Tn; (Ⅲ)求满足 ?1 ?

? ?

? 1 ?? 1? 1 ? 1011 的最大正整数 n 的值. ? ?1 ? ????1 ? ? ? T2 ?? T3 ? ? Tn ? 2013

【答案】

19

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所以数列 ?an ? 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列

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