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【复习参考】2015年高考数学(理)提升演练:变量间的相关关系与统计案例]


2015 届高三数学(理)提升演练:变量间的相关关系与统计案例
一、选择题 1.设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直 线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图), 以下结论 正确的是( )

A.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B.x 和 y 的相关系数在 0 到

1 之间 C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D.直线 l 过点( x , y ) 2.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

由K=

2

a+b

n ad-bc 2 c+d a+c
2

b+d

算得,

K2=
附表:

- 60×50×60×50

≈7.8.

P(K2≥k) k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

参照附表,得到的正确结论是(

)

A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 3.一位母亲记录了自己儿子 3~9 岁的身高数据(略),由此建立的身高与年龄的回归模 ^ 型为y=7.19x+73.93,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( A.身高一定是 145.83 cm B.身高在 145.83 cm 以上 )

C.身高在 145.83 cm 左右 D.身高在 145.83 cm 以下 4.如图 5 个(x,y)数据,去掉 D(3,10)后,下列说法错误的是( )

A.相关系数 r 变大 B.残差平方和变大 C.相关指数 R 变大 D.解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强 5.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( ^ A.y=-10x+200 ^ C.y=-10x-200 6.下列四个命题正确的是( ) ^ B.y=10x+200 ^ D.y=10x-200 )
2

①线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱; ②残差平方和越小的模型,拟合的效果越好; ③用相关指数 R 来刻画回归效果,R 越小,说明模型的拟合效果越好; ④随机误差 e 是衡量预报精确度的一个量,它满足 E(e)=0. A.①③ C.①④ 二、填空题 7.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查 显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: ^ B.②④ D.②③
2 2

y=0.254x+0.321.由回归方程可知, 家庭年收入每增加 1 万元, 年饮食支出平均增加________
万元. 8.某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm、170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身 高为________cm. 9.第二十届世界石油大会将于 2011 年 12 月 4 日~8 日在卡塔尔首都多哈举行,能源问 题已经成为全球关注的焦点.某工厂经过技术改造后,降低了能源消耗,经统计该厂某种产 品的产量 x (单位:吨)与相应的生产能耗 y(单位:吨)有如下几组样本数据:

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

根据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线 的斜率为 0.7.已知该产品的年产量为 10 吨,则该工厂每年大约消耗的汽油为________吨. 三、解答题 10.已知 x,y 的一组数据如下表:

x y

1

3 2

6 3

7 4

8 5

1

(1)从 x,y 中各取一个数,求 x+y≥10 的概率; 1 1 1 (2)对于表中数据,甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y= x+1 与 y= x+ ,试利用 3 2 2 “最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好.

11.为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他 前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 数学 物理 88 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分, 请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在 ^ ^ 学习数学、物理上的合理建议.(其中,数据(xi,yi)(i=1,2,?,n)的线性回归方程为y=b

?
x+a,b=
^ ^
i=1

n

xi- x
n



yi- y


- ^ - ^- ,a= y -b x )

?
i=1

xi- x

2

12.某学生对其亲属 30 人的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示 30 人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于 70 的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于 70 的人, 饮食以肉类为主.) 甲(50 岁以下) 乙(50 岁以上) 2 1 5 3 8 6 7 8 4 3 4 5 6 7 8 9 (1)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属 30 人的饮食习惯; (2)根据以上数据完成下列 2×2 的列联表: 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计 主食肉类 合计 0 2 4 8 1 5 8 1 5 3 7 5 2 6 7 6 9 6

5 3 2 0

(3)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析. 附:K =
2

a+b
0.25 1.32 3

n ad-bc 2 c+d a+c
0.15 2.07 2 0.10

b+d
0.05

. 0.010

P(K2
≥k0)

0.025

0.005

0.001 10.82 8

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

详解答案 一、选择题 1. 解析:回归直线过样本中心( x , y ). 答案:D 2.解析:根据独立性检验的思想方法,正确选项为 A. 答案: A ^ 3.解析:用回归模型y=7.19x+73.93,只能作预测,其结果不一定是一个确定值. 答案: C 4.解析:相关系数 r 越接近 1,R 越大,残差平方和越小,拟合效果越好. 答案:B 5.解析:由图象可知,选项 B、D 为正相关,选项 C 不符合实际意义,只有 A 项符合要 求. 答案:A 6.解析:线性相关系数 r 满足|r|≤1,并且|r|越接近 1,线性相关程度越强;|r|越接 近 0,线性相关程度越弱,故①错误;③相关指数是度量模型拟合效果的一种指标.相关指数 越大,模型拟合效果越好.故②④正确 答案:B 二、填空题 ^ ^ 7.解析:以 x+1 代 x,得y=0. 254(x+1)+0.321,与y=0.254x+0.321 相减可得, 年饮食支出平均增加 0.254 万元. 答案:0.254 8.解析:设父亲身高为 x cm,儿子身高为 y cm,则
2

x y
- ^

173 170

170 176

176 182 +3×6 =1, ^

x =173, y =176,b=
- ^-



^



+ - 2 0 +9+9 ^

a= y -b x =176-1×173=3,∴y=x+3,当 x=182 时,y=185.
答案:185 - 3+4+5+6 - 2.5+3+4+4.5 9.解析:由题知, x = =4.5, y = =3.5,故样本数据的中 4 4 心点为 A(4.5,3.5).设回归方程为 y=0.7x+b,将中心点坐标代入得:3.5=0.7×4.5+b, 解得 b=0.35,故回归方程为 y=0.7x+0.35,所以当 x=10 时,y=0.7×10+0.35=7.35,

即该工厂每年大约消耗的汽油为 7.35 吨. 答案:7.35 三、解答题 10.解:(1)从 x,y 中各取一个数组成数对(x,y),共有 25 对,其中满足 x+y≥10 的 有(6,4),(6,5),(7,3),(7,4),(7,5),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),共 9 对.故所求概 9 率 P= . 25 1 4 2 (2)用 y= x+1 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 S1=( -1) + 3 3 10 11 7 2 2 2 2 (2-2) +(3-3) +( -4) +( -5) = . 3 3 3 1 1 2 用 y= x+ 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 S2=(1-1) +(2- 2 2 7 9 1 2 2 2 2 2) + ( -3) +(4-4) +( -5) = . 2 2 2 1 1 ∵S2<S1,∴直线 y= x+ 的拟合程度更好. 2 2 -12-17+17-8+8+12 - 11.解:(1)∵ x =100+ =100, 7 -

y =100+
2

-6-9+8-4+4+1+6 =100, 7

∴s数学=
2

994 250 2 =142,∴s物理= , 7 7
2

从而 s数学>s物理,∴该生的物理成绩更稳定. (2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,
7
?

^ ∴b=

i=1

xiyi-7 x y
- 7 2 x2-7 x 2
?

- - = 497 ^ - ^- =0.5,a= y -b x =100-0.5×100=50, 994

i=1

^ ∴线性回归方程为y=0.5x+50.当 y=115 时,x=130. 建议: 进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,这将有助于物理成绩的进一步提高. 12.解:(1)在 30 位亲属中,50 岁以上的人多以食蔬菜为主,50 岁以下的人多以食肉为 主. (2)2×2 的列联表如下: 主食蔬菜 主食肉类 合计

50 岁以下 50 岁以上 合计
2

4 16 20

8 2 10

12 18 30

(3)因为 K =

2

- 30×120×120 = =10>6.635, 12×18×20×10 12×18×20×10

所以有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.


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