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高中数学竞赛辅导讲义第十四章 极限与导数


第十四章
一、 基础知识

极限与导数

1.极限定义: (1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε ,总存在 正数 m,当 n>m 且 n∈N 时,恒有|un-A|<ε 成立(A 为常数) ,则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限,记为 xlim f ( x), xlim f ( x) ,另外 ? ?

? ? ??
? x ? x0

lim f ( x) =A 表示 x 大于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)极限为 A,称右极限。类
? x ? x0

似地 lim f ( x) 表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)的左极限。 2.极限的四则运算:如果 lim f(x)=a, lim g(x)=b,那么 lim [f(x)±
x? x0 x? x0 x? x0

g(x)]=a±b, lim [f(x)?g(x)]=ab, lim
x? x0 x? x0

f ( x) a ? (b ? 0). g ( x) b
x? x0

3.连续:如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义,且 lim f(x)存在,并且
lim f(x)=f(x0),则称 f(x)在 x=x0 处连续。
x? x0

4.最大值最小值定理:如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那 么 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5.导数:若函数 f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得一个 增量Δ x 时(Δ x 充分小) ,因变量 y 也随之取得增量Δ y(Δ y=f(x0+
lim Δ x)-f(x0)).若 ?x?0 ?y 存在, 则称 f(x)在 x0 处可导, 此极限值称为 f(x) ?x

在点 x0 处的导数(或变化率) ,记作 f ' (x0)或 y ' x ? x0 或
f ' ( x0 ) ? lim
x ? x0

dy dx

,即
x0

f ( x) ? f ( x0 ) 。由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可导 x ? x0

的必要条件。若 f(x)在区间 I 上有定义,且在每一点可导,则称它 在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在点 x0 处导数 f ' (x0)等于 曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。

6.几个常用函数的导数: (1) (c )' =0(c 为常数)(2) ( xa )' ? axa?1 (a ; 为 任 意 常 数 ) ; ( 3 )

(sin x)' ? cos x; (4) (cos x)' ? ? sin x ;(5) (a x )' ? a x ln a ;(6) (e x )' ? e x ; ( 7 )

(loga x)' ?

1 1 log a x ; (8) (ln x)' ? . x x

7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则 (1) [u( x) ? v( x)]'? u' ( x) ? v' ( x) ; (2) [u( x)v( x)]'? u' ( x)v( x) ? u( x)v' ( x) ; (3)
[cu( x)]'? c ? u' ( x) ( c

为 常 数 );( 4 ) [

1 ? u ' ( x) ;( 5 ) ]' ? 2 u ( x) u ( x)

[

u ( x) u ( x)v' ( x) ? u ' ( x)v( x) 。 ]' ? u ( x) u 2 ( x)

8. 复合函数求导法: 设函数 y=f(u),u= ? (x), 已知 ? (x)在 x 处可导, f(u)在对应的点 u(u= ? (x))处可导,则复合函数 y=f[ ? (x)]在点 x 处可导,且(f[ ? (x)] )' = f '[? ( x)]? ' ( x) . 9.导数与函数的性质: (1)若 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上 连续; (2)若对一切 x∈(a,b)有 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在(a,b)单调递增; (3)若对一切 x∈(a,b)有 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在(a,b)单调递减。 10.极值的必要条件:若函数 f(x)在 x0 处可导,且在 x0 处取得极值, 则 f ' ( x0 ) ? 0. 11.极值的第一充分条件:设 f(x)在 x0 处连续,在 x0 邻域(x0-δ ,x0+ δ )内可导, (1)若当 x∈(x-δ ,x0)时 f ' ( x) ? 0 ,当 x∈(x0,x0+δ )时
f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2)若当 x∈(x0-δ ,x0)时 f ' ( x) ? 0 ,当 x∈(x0,x0+δ )时 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极大值。

12.极值的第二充分条件:设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ ,x0+δ )内一

阶可导, x=x0 处二阶可导, f ' ( x0 ) ? 0, f ' ' ( x0 ) ? 0 。 若 f ' ' ( x0 ) ? 0 , 在 且 (1) 则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2)若 f ' ' ( x0 ) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极 大值。 13.罗尔中值定理:若函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导, 且 f(a)=f(b),则存在ξ ∈(a,b),使 f ' (? ) ? 0. [证明] 若当 x∈(a,b), f(x)≡f(a), 则对任意 x∈(a,b),f ' ( x) ? 0 . 若当 x∈(a,b)时, f(x)≠f(a),因为 f(x)在[a,b]上连续, 所以 f(x) 在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个不等于 f(a),不妨设最大值 m>f(a)且 f(c)=m,则 c∈(a,b),且 f(c)为最大值,故 f ' (c) ? 0 ,综 上得证。 14.Lagrange 中值定理:若 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导, 则存在ξ ∈(a,b),使 f ' (? ) ? [证明]
f (b) ? f (a) . b?a f (b) ? f ( a ) ( x ? a ) ,则 F(x)在[a,b]上连续,在 令 F(x)=f(x)b?a

(a,b)上可导,且 F(a)=F(b),所以由 13 知存在ξ ∈(a,b)使 F ' (? ) =0, 即 f ' (? ) ?
f (b) ? f (a) . b?a

15.曲线凸性的充分条件:设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数, (1) 如果对任意 x∈I, f ' ' ( x) ? 0 ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的; (2) 如果对任意 x∈I, f ' ' ( x) ? 0 ,则 y=f(x)在 I 内是上凸的。通常称上凸 函数为凸函数,下凸函数为凹函数。 16.琴生不等式:设α 1,α 2,…,α n∈R+,α 1+α 2+…+α n=1。 (1)若 f(x)是[a,b]上的凸函数, x1,x2,…,xn∈[a,b]有 f(a1x1+a2x2+…+anxn) 则 ?a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).

二、方法与例题 1.极限的求法。 例1 求下列极限: (1)lim? ?
an 1 2 n ? (2)lim (3) (a ? 0) ; ? 2 ??? 2 ? ; n ?? 1 ? a n n ?? n 2 n n ? ?

? 1 ? 1 1 ?; lim? ? ??? ? (4) lim n ( n ? 1 ? n ). n ??? n ?? n2 ?1 n2 ? 2 n2 ? n ? ?

[解](1) lim? ?

n( n ? 1) 1 2 n ? ?1 2 ? 1 ? lim? ? ? 2 ? ? ? 2 ? = lim ?? ; 2 2 n ?? n n ?? 2 2n ? 2 n n ? n ?? 2n ? ?

an 1 1 (2)当 a>1 时, lim ? lim ? ? 1. n n n?? 1 ? a n n?? ?1? ?1? ? ? ? 1 lim? ? ? 1 n?? a ?a? ? ?
lim a an 0 当 0<a<1 时, lim ? n?? n ? ? 0. n?? 1 ? a n 1? 0 1 ? lim a
n?? n

当 a=1 时, lim n ?? (3)因为 而 lim n ??
n n2 ? n
?

an 1 1 ? lim ? . n n ?? 1 ? 1 2 1? a

n n ?n
2

?
1

1 n ?1
2

?

1 n ?2
2

???

1 n ?n
2

?

n n ?1
2

.

? lim
n ??

1 1? n
1 n2 ? 2

? 1, lim
n ??

1 n2 ?1

? lim
n ??

1 1 1? 2 n

? 1,

所以 lim? n ???

1

2 ? n ?1

?

???

? ? ? 1. ? n2 ? n ? 1

(4) lim n ( n ? 1 ? n ) ? lim
n?? n ??

n n ?1 ? n

? lim
n ??

1 1?
2

1 ?1 n

1 ? . 2
n

例2

求下列极限: (1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x 2 )…(1+ x 2 )(|x|<1); n??
3 1 ? x2 ?1 ; (3) lim 。 ? ? 3 x ?1 3 ? x ? 1? x ?1? x 1? x ?
2 n

(2) lim? ? x ?1

[解] (1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x 2 )…(1+ x 2 ) n??

(1 ? x)(1 ? x)(1 ? x 2 ) ?(1 ? x 2 ) 1? x2 1 = lim ? lim ? . n?? n?? 1 ? x 1? x 1? x
n

n ?1

(2) lim? ? = lim? ?
x ?1

? 3 ?1? x ? x2 ? ?1? x ?1? x2 ? 3 1 ? ? ? lim? ? ? ? ? lim? ? x?1 ? 1 ? x 3 ? x ?1 1 ? x 3 1 ? x ? x?1 ? 1 ? x 3 ? ? ? ? ?

(1 ? x)(2 ? x) ? 2? x ? 1. ? ? lim 3 x ?1 1 ? x ? x 2 1? x ? ?

(3) lim
x ?1

x2 ?1 3 ? x ? 1? x

? lim
x ?1

( x 2 ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x ) ( 3 ? x ? 1 ? x )( 3 ? x ? 1 ? x )

= lim

( x ? 1)(x ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x ) ? ( x ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x ) ? lim x ?1 x ?1 2(1 ? x) 2

? ?2 2.

2.连续性的讨论。 例3 设 f(x)在(-∞,+∞)内有定义, 且恒满足 f(x+1)=2f(x), 又当

x∈[0,1)时,f(x)=x(1-x)2,试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。 [解] 当 x∈[0,1)时, f(x)=x(1-x)2, f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t, 有 在 则 x=t-1,当 x∈[1,2)时,利用 f(x+1)=2f(x)有 f(t)=2f(t-1),因 为 t-1∈[0,1),再由 f(x)=x(1-x)2 得 f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而 t∈ [1,2)时,有 f(t)=2(t-1)?(2-t)2;同理,当 x∈[1,2)时,令 x+1=t, 则 当 t ∈ [2,3) 时 , 有 f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2. 从 而
?2( x ? 1)(2 ? x) 2 , x ? ?1,2 ?; f(x)= ? 所以 ? ?4( x ? 2)(3 ? x) 2 , x ? ?2,3?. ?
x ?2?

lim f ( x) ? lim 2( x ? 1)( 2 ? x) 2 ? 0, lim f ( x) ? lim 4( x ? 2)( 3 ? x) 2 ? 0 , 所 以
x ?2? x ?2? x ?2 ?
x ?2 ?

x ?2 ?

l i f(x)= lim f(x)=f(2)=0,所以 f(x)在 x=2 处连续。 m

3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 [解] 因为点(2,0)不在曲线上,设切点坐标为(x0,y0),则 y 0 ?
1 , x0

切 线 的 斜 率 为 x' | x ? ?
0

1 1 , 所 以 切 线 方 程 为 y-y0= ? 2 ( x ? x0 ) , 即 2 x0 x0

y?

1 1 1 1 又因为此切线过点 (2,0) 所以 ? ? ? 2 (2 ? x0 ) , , ? ? 2 ( x ? x0 ) 。 x0 x0 x0 x0

所以 x0=1,所以所求的切线方程为 y=-(x-2),即 x+y-2=0. 4.导数的计算。 例 5
5 x 2 ? 3x ? x 求下列函数的导数: (1)y=sin(3x+1); (2) y ? ; x
1 2

(3)y=ecos2x; (4) y ? ln(x ? x 2 ? 1) ; (5)y=(1-2x)x(x>0 且 x ? )。 [解] (2) y' ? (1) y' ? cos(3x ? 1) ? (3x ? 1)' ? 3cos(3x+1).
(5 x 2 ? 3x ? x )'?x ? (5 x 2 ? 3x ? x ) ? ( x)' x2

? 1 ? ?10x ? 3 ? ? x ? 5 x 2 ? 3x ? x ? ? 2 x? ? ? x2

? 5?

1 2 x3

.

(3) y' ? ecos 2 x ? (cos2x)' ? e cos2x ? (? sin 2x) ? (2x)' ? ?2e cos 2 x ? sin 2x. (4) y ' ?
?
1 x ? x2 ?1 ? ( x ? x 2 ? 1)' ? ? ? x ?? ? 1? ? ? x ? x2 ?1 ? x2 ?1 ? 1

1 x2 ?1

.

(5) y' ? [(1 ? 2x) x ]' ? [e x ln(1?2 x) ]' ? e x ln(1?2 x) ( x ln(1 ? 2x))'
2x ? ? ? (1 ? 2 x) x ?ln(1 ? 2 x) ? . 1 ? 2x ? ? ?

5.用导数讨论函数的单调性。 例6 设 a>0,求函数 f(x)= x -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。

[ 解 ]
2

f ' ( x) ?

1 2 x

?
2

1 ( x ? 0) , 因 为 x?a
2

x>0,a>0 , 所 以

f ' ( x) ? 0 ? x +(2a-4)x+a >0; f ' ( x) ? 0 ? x +(2a-4)x+a+<0.

(1)当 a>1 时,对所有 x>0,有 x2+(2a-4)x+a2>0,即 f ' (x)>0,f(x) 在(0,+∞)上单调递增; (2)当 a=1 时,对 x≠1,有 x2+(2a-4)x+a2>0, 即 f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内递增, 又 f(x)在 x=1 处连续, 因此 f(x)在(0,+∞)内递增; 当 0<a<1 时, (3) 令 f ' ( x) ? 0 , x2+(2a-4)x+a2>0, 即 解得 x<2-a- 2 1 ? a 或 x>2-a+ 2 1 ? a , 因此,f(x)在(0,2-a- 2 1 ? a )内单调递增,在(2-a+ 2 1 ? a ,+∞)内也 单调递增,而当 2-a- 2 1 ? a <x<2-a+ 2 1 ? a 时,x2+(2a-4)x+a2<0,即
f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在(2-a- 2 1 ? a ,2-a+ 2 1 ? a )内单调递减。

6.利用导数证明不等式。 例7 设 x ? (0, ) ,求证:sinx+tanx>2x.
2

?

[证明]

设 f(x)=sinx+tanx-2x,则 f ' ( x) =cosx+sec2x-2,当 x ? (0, )
2

?

时, cosx ?

1 1 2 ,所以 ? 2 cosx ? ? ? 2 (因为 0<cosx<1) 2 2 cos x cos x cosx
2

f ' ( x) =cosx+sec x-2=cosx+

1 ? ?? ? 2 ? 0 .又 f(x)在 ? 0, ? 上连续,所以 2 cos x ? 2?

? ? f(x)在 ? 0, ? 上单调递增,所以当 x∈ ? 0, ? 时,f(x)>f(0)=0,即 ? ? ? ?
? 2? ? 2?

sinx+tanx>2x. 7.利用导数讨论极值。 例8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值,试求 a 与 b

的值,并指出这时 f(x)在 x1 与 x2 处是取得极大值还是极小值。

[解]

因为 f(x)在(0,+∞)上连续,可导,又 f(x)在 x1=1,x2=2 处取

?a ? 2b ? 1 ? 0, a 得极值, 所以 f ' (1) ? f ' (2) ? 0 , f ' ( x) ? +2bx+1, 又 所以 ? a 解 ? x ? 2 ? 4b ? 1 ? 0, ?
2 ? ?a ? ? 3 , 得? ? ?b ? ? 1 . ? 6 ?

所以 f ( x) ? ? ln x ? x 2 ? x, f ' ( x) ? ?

2 3

1 6

2 1 ( x ? 1)( 2 ? x) ? x ?1 ? . 3x 3 3x

所以当 x∈(0,1)时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在(0,1]上递减; 当 x∈(1,2)时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在[1,2]上递增; 当 x∈(2,+∞)时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在[2,+∞)上递减。 综上可知 f(x)在 x1=1 处取得极小值,在 x2=2 处取得极大值。 例 9 设 x ∈ [0, π ],y ∈ [0,1] , 试 求 函 数

f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。 [解] 首先,当 x∈[0,π ],y∈[0,1]时,

f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x
? sin(1 ? y ) x sin x ? sin(1 ? y ) x 2 y ? 1 sin x ? y2 sin x ? =(1-y)2x ? ? ? ? ? ? ? ,令 ? ? 2 2 x ? x x ? (1 ? y ) (1 ? y) ? (1 ? y ) x ? (1 ? y) x

g(x)=

sin x , x cos x( x ? tan x) ? g ' ( x) ? ( x ? ), 2 2 x

? 当 x ? ? 0, ? 时,因为 cosx>0,tanx>x,所以 g ' ( x) ? 0 ; ? ?
? 2?

当 x ? ? , ? ? 时,因为 cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以 g ' ( x) ? 0 ; ? ?
?2 ?

?

又因为 g(x)在(0,π )上连续,所以 g(x)在(0,π )上单调递减。

又因为 0<(1-y)x<x<π , 所以 g[(1-y)x]>g(x), 即 又因为

n i s (

1 ? y) x n x i s ? ? 0, (1 ? y ) x x

y2 sin x ? ? 0 ,所以当 x∈(0,π ),y∈(0,1)时,f(x,y)>0. 2 x (1 ? y)

其次,当 x=0 时,f(x,y)=0;当 x=π 时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π ?0. 当 y=1 时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当 y=1 时,f(x,y)=sinx?0. 综上,当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=π 且 y=1 时,f(x,y)取最小值 0。 三、基础训练题 1. lim n ??
2 n ?1 ? 3 n ?1 =_________. 2 n ? 3n

2.已知 lim? ?

? n2 ?1 ? ? an ? b ? ? 2 ,则 a-b=_________. ? n ?? n ? 1 ? ?

1 ? cos

?

3

3. lim n ??

3x 2 ? 4 x ? 1 2(n ? 1) ? lim ? _________. 3 n ?? n 3x ? 2 x 2 ? 2

x n?1 ? (n ? 1) x ? n 4. lim ? _________. x ?1 ( x ? 1) 2
2 ? (?1) n ? lim ( x 2 ? 1 ? x 2 ? 1) ? _________. 5.计算 lim n ?? x ??? n

6 . 若 f(x) 是 定 义 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 上 的 偶 函 数 , 且 f ' (0) 存 在 , 则
f ' (0) ? _________.

7 . 函 数 f(x) 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 上 可 导 , 且 f ' (2) ? 1 , 则
lim
h ?0

f ( 2 ? h) ? f ( 2 ? h) ? _________. 2h

8.若曲线 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 坐标 为_________.

9.函数 f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_________. 10.函数 f ( x) ? ln 11.若曲线 y ?
1? x2 的导数为_________. 1? x2

1 1 1 在点 M (2, ) 处的切线的斜率为 ,求实数 a. 2 4 4 ( x ? ax)
2

12.求 sin290 的近似值。 13.设 0<b<a< ,求证: 四、高考水平练习题
lim 1.计算 n ?? 1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n?1 =_________. 1 ? 3 ? 3 2 ? ? ? 3 n ?1

? 2

sin a a tan a ? ? . sin b b tan b

2.计算 xlim ? ? ?? ?

?

x3 x2 ? ? ? _________. ? 2x 2 ? 1 2x ? 1 ? ? ?

3.函数 f(x)=2x3-6x2+7 的单调递增区间是_________.。 4.函数 y ?
e x ? e?x 的导数是_________. e x ? e?x

5.函数 f(x)在 x0 邻域内可导,a,b 为实常数,若 f ' ( x0 ) ? c ,则
?x ?0

lim

f ( x0 ? a?x) ? f ( x0 ? b?x) ? _________. ?x
1 2

6.函数 f(x)= ex(sinx+cosx),x x ? [0, ] 的值域为_________.
2

?

7.过抛物线 x2=2py 上一点(x0,y0)的切线方程为_________. 8.当 x>0 时,比较大小:ln(x+1) _________x. 9.函数 f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值为_________,最小值 为_________. 10.曲线 y=e-x(x?0)在点 M(t,e-t)处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的 三角形面积为 S(t),则 S(t)的最大值为_________.

11.若 x>0,求证:(x2-1)lnx?(x-1)2. 12.函数 y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数 f ' ( x) 是减函数,且 x f ' ( x) >0, 0∈(0,+∞).y=kx+m 是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 方程,另设 g(x)=kx+m, (1)用 x0,f(x0), f ' ( x0 ) 表示 m; (2)证明: 当 x∈(0,+∞)时,g(x)?f(x); (3)若关于 x 的不等式 x2+1?ax+b
3 ? x 3 在(0,+∞)上恒成立,其中 a,b 为实数,求 b 的取值范围及 a,b 2
2

所满足的关系。 13.设各项为正的无穷数列{xn}满足 lnxn+ 1(n∈N+). 五、联赛一试水平训练题 1 . 设 Mn={ ( 十 进 制 ) n 位 纯 小 数 0? a1 a2 ?an | ai 只 取 0 或 1 (i=1,2,…,n-1) n=1},Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素 ,a 的和,则 lim
n??

1 xn ?1

? 1(n ? N ? ) ,证明:xn ?

Sn ? _________. Tn

1 1 1 2. 若(1-2x)9 展开式的第 3 项为 288, ml ? ? 2 ? ? ? n ? ? _________. 则i ? ? n ?? ?x x x ?

3.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,
f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 ,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为

_________. 4.曲线 y ? 2 ? x 2 与 y ? x 3 ? 2 的交点处的切线夹角是_________. 5.已知 a∈R+,函数 f(x)=x2eax 的单调递增区间为_________. 6.已 知 f ( x) ?
x 在(a,3-a2)上有 最大值,则 a 的取 值范围是 2 1? x 1 2 1 4

_________. 7.当 x∈(1,2]时,f(x)= 最小值为_________. 8.已知 f(x)=ln(ex+a)(a>0),若对任意 x∈[ln(3a),ln(4a)],不等 式|m-f-1(x)|+ln[ f ' ( x) ]<0 恒成立,则实数 m 取值范围是_________. 9.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数 f(x)的最大值; (2)设 0<a<b,证明:0<g(a)+g(b)- 2 g ? ?
a?b? ? <(b-a)ln2. ? 2 ?
x 2 ? a (a ? 0) 恒成立,则 y=lg(a -a+3)的 2x ? 1

10.(1)设函数 f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1),求 f(x)的最小 值; 设正数 p1,p2,…, p 2 满足 p1+p2+p3+…+ p 2 =1, (2) 求证: 1log2p1+p2 p
n n

log2p2+…+ p 2 log2 p 2 ?-n.
n n

11.若函数 gA(x)的定义域 A=[a,b),且 gA(x)= ? ? 1? ? ? ? 1? ,其中 ? ? ? ?
x ?a ? b ?x ?

2

2

a,b 为任意的正实数,且 a<b, (1)求 gA(x)的最小值; (2)讨论 gA(x)的单调性; ( 3 ) 若 x1 ∈ Ik=[k2,(k+1)2],x2 ∈ Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2] , 证 明 :
g I ( x1 ) ? g I ( x 2 ) ?
k k ?1

4 . k (k ? 1)

六、联赛二试水平训练题 1.证明下列不等式: (1) x ? (2)
tan x x ? ?? ? , x ? ? 0, ? 。 x sin x ? 2?
ab ? bc ? c d ? d a 的最小值。 ba ? cb ? d c ? a d

x2 x2 ? ln(x) ? x ? ( x ? 0) ; 2 2(1 ? x)

2.当 0<a?b?c?d 时,求 f(a,b,c,d)=

3.已知 x,y∈(0,1)求证:xy+yx>1.


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