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(成才之路)2014-2015学年高二数学人教a版选修2-1课件2.1.1曲线与方程


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
圆锥曲线与方程

第二章 2.1 曲线与方程 第1课时 曲线与方程

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

自主预习学案

? 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关 系. ? 2.理解曲线的方程和方程的曲线的意义.

? 重点:曲线和方程的概念;确定曲线的方 程. ? 难点:曲线与方程的关系;寻求动点所满足 的几何条件.

? 曲线与方程 ? 温故知新 ? 1.在必修2中我们通过直线与圆的方程讨论 过曲线与方程的关系,请回顾复习直线与直 线的方程、圆与圆的方程的关系,回顾复习 用待定系数法求直线、圆的方程的一般步 骤. ? 思维导航 ? 1.想一想曲线与方程是怎样的关系?

? 新知导学 ? 1.在建立了直角坐标系之后,平面内的点与 它的坐标即有序实数对之间就建立了一一对 应关系,那么对应于符合某种条件的一切点, 它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约 束,所以探求符合某种条件的点的轨迹问题, 就变为探求这些点的横坐标与纵坐标受怎样 的约束条件的问题,两个变数x、y的方程f(x, y)=0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的 约束,一般由已知条件列出等式,再将点的 坐标代入这个等式,就得到x、y的方程,于 是符合某种条件的点的集合,就变换到x、y

方程f(x,y)=0 ? (1)曲线C上的点的坐标都是 方程f(x,y)=0 ________________ 的解; ? (2)以______________的解为坐标的点都在 曲线C上. ? 这样一来,一个二元方程也就可以看作它的 曲线 C 方程f(x,y)=0 解所对应的点的全体组成的曲线;二元方程 所表示的x、y之间的关系,就是以(x,y)为 坐标的点所符合的条件.这样方程f(x,y)=0 就叫做__________的方程;反过来,曲线C 就叫做________________的曲线.

? 在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程 的解之间的关系(1)和(2)缺一不可,而且两者 是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个 实数解而言的.从集合的角度来看,设A是 曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方 程f(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点 集.则由关系(1)可知A?B,由关系(2)可知 B?A;同时具有关系(1)和(2),就有A=B.

2.根据曲线方程的意义,可以由两条曲线的方程,求出这 两条曲线的交点的坐标. 已知两条曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F(x,y)=0,G(x,y) =0,则交点的坐标必须满足上面的两个方程.反之,如果(x0, y0)是上面两个方程的公共解,则以(x0,y0)为坐标的点必定是两 条曲线的交点.因此,求两条曲线 C1 和 C2 的交点坐标,只要
? ?F?x,y?=0, ? ? ?G?x,y?=0, 解方程组____________ 就可以得到.

? 3.坐标法:借助于坐标系,用坐标表示点, 把曲线看成满足某条件的点的集合或轨迹, 用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程 f(x,y) 方程 =0表示曲线,通过研究_______的性质间接 地来研究曲线的性质,这就叫坐标法. ? 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫 方程 做解析几何,解析几何研究的主要问题是: 方程 ? (1)根据已知条件,求出表示曲线的 ________; ? (2)通过曲线的_______,研究曲线的性质.

? 牛刀小试 ? 1.“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在 曲线C上”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的 ( ) ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ? C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? [答案] B ? [解析] 根据曲线方程的概念“曲线C的方程 是f(x,y)=0”包含“曲线C上的点的坐标都 是这个方程f(x,y)=0的解”和“以方程f(x, y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含

? 2.方程4x2-y2+6x-3y=0表示的图形是 ( ) ? A.直线2x-y=0 ? B.直线2x+y+3=0 ? C.直线2x-y=0或直线2x+y+3=0 ? D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=0 ? [答案] C ? [解析] ∵4x2-y2+6x-3y=(2x+y)(2x-y) +3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3), ? ∴原方程表示两条直线2x-y=0和2x+y+3 =0.

3.方程(x+y-1) x-1=0 所表示的曲线是________.

[答案] 射线 x+y-1=0(x≥1)和直线 x=1
[解析]
? ?x+y-1=0, 原方程等价于? ? ?x-1≥0,

或 x=1.

即 x+y-1=0(x≥1)或 x=1.

4.下列方程各表示什么曲线,为什么? (1)x2+xy-x-y=0; (2)(x-2)2+ y2-4=0.

? [解析] (1)原方程?(x+y)(x-1)=0?x+y =0或x-1=0.故原方程表示两条直线. ? (2)原方程等价于x-2=0且y2-4=0,即x= 2且y=±2.故原方程表示两点(2,-2)和 (2,2).

典例探究学案

? 曲线与方程的概念
如果曲线 l 上的点的坐标满足方程 F(x,y)=0, 则以下说法正确的是( )

A.曲线 l 的方程是 F(x,y)=0 B.方程 F(x,y)=0 的曲线是 l C.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点不在曲线 l 上 D.坐标满足方程 F(x,y)=0 的点在曲线 l 上

? [答案] C

? [分析] 从“曲线的方程”和“方程的曲线” 两方面判断. ? [解析] 直接法:原说法写成命题形式即“若 点M(x,y)是曲线l上的点,则M点的坐标适合 方程F(x,y)=0”,其逆否命题即“若M点的 坐标不适合方程F(x,y)=0,则M点不在曲 线 l 上”,故选 C. ? 特值法:作如图所示的曲线l,
考查l与方程F(x,y)=x2-1 =0的关系,显然A、B、D中 的说法全不正确.∴选C.

? [方法规律总结] 说明曲线C是方程F(x,y)= 0的曲线,方程F(x,y)=0是曲线C的方程时, 必须严格考察纯粹性和完备性,即“多一点 不行,少一点不可”.

? 说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|= 2之间的关系. ? [解析] 过点A(2,0)平行于y轴的直线l是x=2, 而|x|=2是直线x=2和x=-2,直线l上点的 坐标都是方程|x|=2的解,但以方程|x|=2的 解为坐标的点不都在直线l上. ? 因此,方程|x|=2不是直线l的方程. ? l是方程|x|=2的曲线的一部分.

? 方程的曲线
方程 x(x2+y2-1)=0 和 x2+(x2+y2-1)2=0 所表 示的图形是( )

A.前后两者都是一条直线和一个圆 B.前后两者都是两点 C.前者是一条直线和一个圆,后者是两点 D.前者是两点,后者是一条直线和一个圆

? [答案] C

[解析] x(x2+y2-1)=0?x=0 或 x2+y2=1,表示直线 x =0 和圆 x2+y2=1.
? ?x=0 2 2 2 2 x +(x +y -1) =0?? 2 2 ? ?x +y -1=0 ? ?x=0 ?? ? 1 ?y=±

表示点(0,1)、(0,-1).

? [方法规律总结] 判断方程表示什么曲线,必 要时要对方程适当变形,变形过程中一定要 注意与原方程等价,既不能扩大也不能缩小 变量的允许取值范围.

已知方程 x2+(y-1)2=10. (1)判断点 P(1,-2),Q( 2,3)是否在此方程表示的曲线 上; m (2)若点 M( 2 ,-m)在此方程表示的曲线上,求 m 的值.

? [分析] (1)只需判断点P,Q的坐标是否满足 方程即可;(2)M在曲线C上,则M点的坐标满 足C的方程,代入建立m的方程解之即可.

[解析] (1)∵12+(-2-1)2=10,( 2)2+(3-1)2=6≠10, ∴点 P(1,-2)在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上, 点 Q( 2,3)不在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上. m (2)∵点 M( 2 ,-m)在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上, m ∴x= 2 ,y=-m 适合上述方程, m2 即( 2 ) +(-m-1)2=10. 18 解之得 m=2 或 m=- 5 , 18 ∴m 的值为 2 或- 5 .

? 求曲线的方程
已知圆 C:x2+(y-3)2=9,过原点作圆 C 的弦 OP,求 OP 中点 Q 的轨迹方程.

? [分析] 关键是寻找Q点满足的几何条件,可 以考虑圆的几何性质,如CQ⊥OP,还可考 虑Q是OP的中点.

[解析] 解法一:(直接法) 如图,因为 Q 是 OP 的中点,所以∠OQC=90° . 设 Q(x,y),由题意,得 |OQ|2+|QC|2=|OC|2, 即 x2+y2+[x2+(y-3)2]=9, 32 9 所以 x +(y-2) =4(去掉原点).
2

解法二:(定义法) 如图所示,因为 Q 是 OP 的中点, 所以∠OQC=90° ,则 Q 在以 OC 为直径 32 的圆上, 故 Q 点的轨迹方程为 x +(y-2)
2

9 =4(去掉原点).

解法三:(代入法) 设 P(x1,y1),Q(x,y),由题意得, ? x1 ? x= 2 , ? ?y=y1, 2 ?
? ?x1=2x, 即? ? ?y1=2y.

2 又因为 x2 + ( y - 3) =9, 1 1

32 所以 4x +4(y-2) =9,
2

32 9 即 x +(y-2) =4(去掉原点).
2

? [方法规律总结] 1.求曲线的方程时,若题设 条件中无坐标系,则需要先建立坐标系,建 系时,尽量取已知的相互垂直的直线为坐标 轴,或利用图形的对称性选轴,或使尽可能 多的点落在轴上;求曲线的方程与求轨迹是 有区别的,若是求轨迹,则不仅要求出方程, 而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图 形,即说出图形的形状、位置等. ? 2.判断点P是否在曲线C上,只需将点P的坐 标代入C的方程,若成立,则P在C上,否则 P不在C上.

? 已知点A(-1,0),B(1,0),则使得∠APB为直 角的动点P的轨迹方程为________. ? [答案] x2+y2=1 (x≠±1)

[解析] 如图,设 P(x,y),由条件知 AP⊥PB, y ∴x≠± 1,kPA= , x+1 y kPB= , x-1 由 kPA· kPB=-1 得, y y · =-1,∴x2+y2=1. x+1 x-1 ∴动点 P 的轨迹方程为 x2+y2=1(x≠± 1).

注意点的坐标与点到坐标轴距离的区别 动点 P 到两坐标轴的距离相等,求 P 点的轨迹 方程.

? [错解] 设P(x,y),由条件知y=x,∴P点的 轨迹方程为x-y=0.

? [辨析] 点P到坐标轴的距离不一定就是点P 的坐标,点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴 的距离为|x|. ? [正解] 设P(x,y),由条件知|x|=|y|,∴y2 =x2,即P点的轨迹方程为x2-y2=0.

巩固提高学案
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