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2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(43)圆的方程)


课时作业(四十三) [第 43 讲 圆的方程]

[时间:45 分钟 分值:100 分]

基础热身 1.已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是 A(5,6),C(3,4),则这个圆的方程 是________________________________________________________________________

. 2.圆心在(2,-1)且经过点(-1,3)的圆的标准方程是________________. 3.直线 y=x+b 平分圆 x2+y2-8x+2y+8=0 的周长,则 b=________. 4.[2011· 江西九校联考] 经过圆(x-1)2+(y+1)2=2 的圆心,且与直线 2x+y=0 垂直 的直线方程是________. 能力提升 5.以线段 AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的标准方程为________. 6.已知圆过 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3,则该圆的方 程为______________. 7.若方程 x2+y2-2mx+(2m-2)y+2m2=0 表示一个圆,且该圆的圆心位于第一象限, 则实数 m 的取值范围为________. 8.若实数 x,y 满足(x+5)2+(y-12)2=196,则 x2+y2 的最小值是________. 9 .如果圆的方程为 x2 + y2 + kx + 2y + k2 = 0 ,那么当圆的面积最大时,圆心坐标是 ________. 10.[2011· 盐城一调] 已知点 P(a,b)关于直线 l 的对称点为 P′(b+1,a-1),则圆 C: x2+y2-6x-2y=0 关于直线 l 对称的圆 C′的方程为________. 11.点 P(x,y)是圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点,若点 P 的坐标满足不等式 x+y+m≥0, 则实数 m 的取值范围是________. 12 .定义:若平面点集 A 中的任一个点 (x0 , y0) ,总存在正实数 r ,使得集合 {(x , y)| ?x-x0?2+?y-y0?2<r}?A,则称 A 为一个开集.给出下列集合: ①{(x,y)|x2+y2=1}; ②{(x,y)|x+y+2>0}; ③{(x,y)||x+y|≤6}; ④{(x,y)|0<x2+(y- 2)2<1}. 其中是开集的是________.(请写出所有符合条件的序号) 13.(8 分)已知△ABC 顶点的坐标为 A(0,0), B (1,1),C(4,2),求△ABC 的外接圆的方程.

14.(8 分)已知点 P(x,y)在圆 x2+(y-1)2=1 上运动. y-1 (1)求 的最大值与最小值; x-2 (2)求 2x+y 的最大值与最小值.

15.(12 分)[2012· 苏南三校联考] 已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M, 求|QM|的最小值,并求此时直线 l2 的方程.

16.(12 分)船行前方的河道上有一座圆拱桥,在正常水位时,圆拱桥下沿线最高点距水 面为 9 m,圆拱桥下沿线内水面宽 22 m.船只在水面以上部分高 6.5 m、船顶部宽 4 m,故 通行无阻. 近日水位暴涨了 2.7 m, 船已经不能通过桥洞了. 船员必须加重船载, 降低船身. 试 问船身必须降低多少,才能顺利地通过桥洞?

课时作业(四十三) 【基础热身】 1.(x-4)2+(y-5)2=2 [解析] 由题知 AC 即为直径,且 AC 长是 2 2,中点(4,5),所 以圆的方程是(x-4)2+(y-5)2=2. 2 . (x - 2)2 + (y + 1)2 = 25 [ 解 析 ] 因 为 圆 的 圆 心 为 (2 , - 1) , 半 径 为 r = ?2+1?2+?-1-3?2=5,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=25. 3.-5 [解析] 圆心为(4,-1),由已知直线 y=x+b 过圆心,所以-1=4+b,所以 b=-5. 1 4.x-2y-3=0 [解析] 圆心坐标为(1,-1),所求直线的斜率为 ,所以方程为 y+1 2 1 = (x-1),即 x-2y-3=0. 2 【能力提升】 5. (x-1)2+(y-1)2=2 [解析] 线段 AB: x+y-2=0(0≤x≤2)的两端点为(0,2), (2,0), 2 2 则圆心为(1,1),故圆的标准方程为(x-1) +(y-1) =2. 6.(x-1)2+y2=13 或(x-5)2+(y-4)2=37 [解析] 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2 2 =r ,

??4-a? +?-2-b? =r , ? 2 2 2 则有??-1-a? +?3-b? =r , ? ?|a|2+?2 3?2=r2

2

2

2

a=1, ? ? ??b=0, ? ?r2=13

a=5, ? ? 或?b=4, ? ?r2=37,

由此可写出所求圆的方程. 1 7.0<m< [解析] 将圆的方程配方得(x-m)2+[y+(m-1)]2=1-2m, 2 1 则 1-2m>0,∴m< . 2 ?m>0, ? 又圆心(m,1-m)在第一象限,∴? ?0<m<1, ? ?1-m>0 1 综上,0<m< . 2 8.1 [解析] 易知 x2+y2 的最小值即为圆(x+5)2+(y-12)2=196 上的点到原点的距离 最小值的平方,原点 O 在圆内,半径 r=14,∴(x2+y2)min=(14- ?-5?2+122)2=1. k 3k2 x+ ?2+(y+1)2=1- ,当 k=0 时,r2=1 9.(0,-1) [解析] 化为圆的标准方程? ? 2? 4 3k2 - 最大,则圆的面积最大.圆心坐标是(0,-1). 4 10.(x-2)2+(y-2)2=10 [解析] 圆 C:(x-3)2+(y-1)2=10,圆关于直线的对称圆 半径相等,圆心关于直线 l 对称.又由题意,(2,2)关于直线的对称点为(3,1),即可得所求圆 的方程. 11. [ 2-1, +∞) [解析] 令 x=cosθ, y=1+sinθ, 则 m≥-x-y=-1-(sinθ+cosθ) π ? =-1- 2sin? ?θ+4?对任意 θ∈R 恒成立,所以 m≥ 2-1. 12.②④ [解析] 集合{(x,y)| ?x-x0?2+?y-y0?2<r}表示以(x0,y0)为圆心,以 r 为半 径的圆面(不包括圆周), 由开集的定义知,集合 A 应该无边界, 故由①②③④表示的图形知,只有②④符合题意. 13.[解答] 解法一:设△ABC 的外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.

F=0, ? ? 由题意得?D+E+F+2=0, ? ?4D+2E+F+20=0,

D=-8, ? ? 解得?E=6, ? ?F=0

所以△ABC 的外接圆的方程为 x2+y2-8x+6y=0. 解法二:根据圆的性质,可知△ABC 的外接圆的圆心一定在三边垂直平分线的交点处, 1? 1 易求得 AB 的垂直平分线的方程为 y- =-? ?x-2?,① 2 5? 3 BC 的垂直平分线的方程为 y- =-3? ?x-2?.② 2
?x+y=1, ?x=4, ? ? 联立①②得? 解得? ?3x+y=9, ?y=-3. ? ? 所以所求圆的圆心 P(4,-3),半径 r=AP=5. 所以所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25. [点评] 在确定圆的方程时,应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特 点,灵活选用圆的方程形式.解题时要注意运用圆的相关性质及数形结合思想. y-1 14.[解答] (1)设 =k,则 k 表示点 P(x,y)与点(2,1)连线的斜率. x-2 |2k| 当直线 y-1=k(x-2)与圆相切时,k 取得最大值与最小值.由 2 =1, k +1 y-1 3 3 3 解得 k=± ,∴ 的最大值为 ,最小值为- . 3 3 3 x-2 (2)设 2x+y=m,则 m 表示直线 2x+y=m 在 y 轴上的截距. |1-m| 当该直线与圆相切时,m 取得最大值与最小值.由 =1,解得 m=1± 5, 5 ∴2x+y 的最大值为 1+ 5,最小值为 1- 5. 15.[解答] (1)设点 P 的坐标为(x,y), 则 ?x+3?2+y2=2 ?x-3?2+y2, 化简可得(x-5)2+y2=16 即为所求.

(2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图则直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ|2-|CM|2= |CQ|2-16, |5+3| 当 CQ⊥l1 时,|CQ|取最小值,|CQ|= =4 2, 2 此时|QM|的最小值为 32-16=4,这样的直线 l2 有两条,设满足条件的两个公共点为 M1,M2, 易证四边形 M1CM2Q 是正方形, ∴l2 的方程是 x=1 或 y=-4. 16.[解答] 画出正常水位时的桥、船的示意图如图(1);涨水 后桥、船的示意图如图(2).

(1)

(2) 以正常水位时河道中央为原点,建立如图所示的坐标系. 设桥拱圆顶的圆心在 O1(x1,y1),则 x1=0,因此桥拱圆顶在坐标系中的方程为 x2+(y -y1)2=r2.其中 r 为桥拱半径. 桥拱最高点 B 的坐标为(0,9),桥拱与水平面的交点 A 的坐标为(11,0).圆 O1 过点 A、B, 因此,02+(9-y1)2=r2,112+(0-y1)2=r2, 20 两式相减后得 121+18y1-81=0,y1=- ≈-2.22; 9 代回到两个方程之一,即可解出 r≈11.22. 所以桥拱圆顶的方程是 x2+(y+2.22)2=125.94. 当船行驶在河道的正中央时,船顶最宽处点 C 的坐标为(x,y),则 x=2.使船能通过桥 洞的最低要求,是点 C 正好在圆 O1 上,因此 C(2,y)应满足圆 O1 的方程,即 22+(y+2.22)2 =125.94,解出 y≈8.82.扣除水面上涨的 2.70,点 C 距水面为 8.82-2.70=6.12. 由于船身在水面以上部分高 6.12 m 时,才能通行,∴为使船能通过桥洞,必须降低船 身 6.5-6.12=0.38( m)以上.


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