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(寒假总动员)2015年高三数学寒假作业 专题07 三角函数在解三角形中的应用(学)


(寒假总动员)2015 年高三数学寒假作业 专题 07 三角函数在解三角形中的应 用(学)
学一学------基础知识结论 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、航海问 题等. 2.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下 方叫俯角.(如图(a) ).

(2)方位角 从某点的指北方向线起顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方位角为== (如图(b) ) (3)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)==度 (4)坡度:坡面与 水平面所成的二面角的度数. 3.正弦定理和余弦定理 在 ?ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,则 正弦定理 内容 余弦定理

a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC sin A sin B sin C
外接圆半径)

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

常见变形

(1) a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B ,

c ? 2 R sin C ;

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc
1

sin A ? (2)

a b c sin B ? sin C ? , , ; 2R 2R 2R (3) a : b : c ? sin A : sin B : sin C

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 , 2ac
a 2 ? b2 ? c 2 2ab

cos C ?
解决的问题 (1 ) (2) 已知两角和任一边,求其它两边和一 角; 已知两边和其中一边的对角,求另一边 和其它两角 4.在 ?ABC 中,已知 a , b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 图 形
b a C

(1 ) (2 )

已知三边,求三个角; 边和其它两角

已知两边和它们的夹角,其第三

A 为钝角或直角
C b a
a a b C

C b a A B B2

C
C

b a
b

a

A

A B

A

B

A

B

A

B1

B2

关系式 解的个数

a ? b sin A
无解

a ? b sin A
一解

b sin A ? a ? b
两解

a?b
一解

a?b
一解

a?b
无解

例 1.(2014 湘潭市一中月考) (9)若△ABC 的对边分别为 a 、 b 、C 且 a ? 1 , ?B ? 45 , S△ABC ( A、5 B、25 C、 ) D、 5

? 2 ,则 b ?

41

2

例 2.(2014 湘潭市一 中月考)在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA = 【答案】 (1 ) 【解析】

?3 7 .

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

1 ; (2)6 8

2

5.三角形中常用的面积公式

1 ah ( h 表示边 a 上的高). 2 1 1 1 (2) S ? bc sin A ? ac sin B ? sin C . 2 2 2 1 (3) S ? r (a ? b ? c ) ( r 为 ?ABC 内切圆半径) 2
(1) S ? 学一学------方法规律技巧 一个步骤 解三角形应用题的一般步骤: (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明 确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理 求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题,近似计算的要求等. 两种情形 解三角形应用题常有以下两种情形: (1 )实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. ( 2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够 条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组) ,解方程(组) 得出所要求的解. 一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在 ?ABC 中,

A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B .

3

两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角; (2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.

4


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