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湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学理试题 Word版含答案


湖北省部分重点中学 2014 届高三第一次联考
数学(理)试题

命题学校:武汉市第六中学

命题老师:欧阳彪

审题老师:张荣花
试卷满分:150

考试时间:2013 年 11 月 7 日上午 9:00-11:30

第一部分

选择题<

br />
一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑。

? 2x ? 1 ? 1.已知两个集合 A ? ?x | y ? ln(? x 2 ? x ? 2)?,B ? ? x | 则 A? B ? ( ) . ? 0? , ? e?x ? ? 1 ? A. ?- , 2? ? 2 ? 1? ? B. ? - 1, - ? 2? ?

C.

?- 1,e?

D.

?2, e ?


2.若 z ? sin ? ? A. ?
1 7

3 ? 4? ?? ? ? ? cos? ? ?i 是纯虚数,则 tan?? ? ? =( 5 ? 5? 4? ?

B.

?7

C.

?

7 3

D. ? 1 ( )

3.已知命题 p :所有素数都是偶数,则 ?p 是 A.所有的素数都不是偶数 C.存在一个素数不是偶数

B.有些素数是偶数 D. 存在一个素数是偶数

4. 设 a ? R , 函数 f ( x) ? e x ? ae? x 的导函数为 f ?( x) , 且 f ?( x) 是奇函数, 则a ? ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. ? 1

5.三个实数成等差数列,首项是 9.若将第二项加 2、第三项加 20 可使得这三个 数依次构成等比数列 ?a n ?,则 a 3 的所有取值中的最小值是 A. 1 B. 4 C. 36 D. 49 ( )

6. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 ?x | ?3 ? x ? 8, 且x ? 5? , 值 域 为

?y | ?1 ? y ? 2, 且y ? 0?.下列关于函数 y ?

f ( x) 的说法:①当 x ? ?3 时, y ? ?1 ;

②将 y ? f ( x) 的图像补上点 ?5,0 ? ,得到的图像必定是一条连续的曲线;③

y ? f ( x) 是 ?- 3,5? 上的单调函数;④ y ? f ( x) 的图象与坐标轴只有一个交点.其中

正确命题的个数为( A. 1 B. 2

) C. 3 D. 4

7. 等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 S n ?1 ,S n ,S n ? 2 成等差数列,则其公比 q 为 ( ) A.
q ? ?2

B.

q ?1

C.

q ? ?2或q ? 1

D.

q ? ?2或q ? ?1

8. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ?? ?,0? ? ?0,??? 上 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,
? 2| x ?1| ? 1, 0 ? x ? 2 ? ,则函数 g ( x) ? 4 f ( x) ? 1 的零点个数为( f ( x) ? ? 1 f ?x ? 2?, x?2 ? ?2



A.

4

B.

6

C.

8

D.

10

9. 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若三边的长为连续的三个正 整数,且 A ? B ? C , A ? 2C ,则 sinA : sin B : sin C 为 A.4:3:2 B.5:4:3 C.6:5:4 D.7:6:5
1 AB , PB ? ? AB ,且对于 4





10. 在 △ABC 所在的平面内,点 P0 、 P 满足 P0 B ? 任意实数 ? ,恒有 PB ? PC ? P0 B ? P0C , 则 A. ?ABC ? 90? B. ?BAC ? 90? (

) D. AB ? AC

C. AC ? BC

第二部分

非选择题
1 增长,则球的表 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分。 11. 设球的半径为时间 t 的函数 r (t ) ,若球的体积以均匀速度 面积的增长速度与球半径的乘积为 .
2? , 过 A 作 AP ? BC于P , 且 3

12. 在 △ ABC 中 , 边 AC ? 1 ,AB ? 2, 角 A ?

AP ? ? AB ? ? AC ,则 ?? ?

.
3

13. 已知两个实数 a, b 满足 a 3 ? 3 ? a ? 0 且 ?b ? 3? ? b ? 0 , 则 a, b,1 三个数从小到 大的关系是 (用“ ? ”表示).

14. 已知 f ( x) ?

1 ,各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? 2 ? f (an ) ,若 1? x

a12 ? a14 ,则 a13 ? a2014 ?

.

15. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? ax(a ? R, 且a ? 0) .如果存在实数 a ? ?- ?, - 1? ,使 函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) , x ? ?? 1, b? ?b ? ?1? 在 x ? ?1 处取得最小值,则实数 b 的 最大值为 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 75 分。

16(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (2)若不等式 | f ( x) ? m |? 3 对任意 x ? ?

1 ? ? f ?( ) cos 2 x ? f ?( ) . 2 12 4

?? ?? , ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? 12 3 ?

17.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,
?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点.

(1)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ;
1 ( 2 ) 点 M 在 线 段 PC 上 , PM ? PC , 若 平 面 PAD ? 平 面 ABCD , 且 3

P A? P D ? AD ? 2 ,求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 等 差 数 列 ?a ? 的 前 n 项 和 为 S n . 且
n

S 4 ? 4 S 2 , a 2 n ? 2a n ? 1 .

(1)求数列 ?a ? 的通项公式;
n

?1? (2) 若 a ? 2n ? 1 , 数列 ?b ? 满足:b1 ? 3, bn ? bn ?1 ? an ?1 (n ? 2) , 求数列 ? ? 的 ? bn ?
n
n

前 n 项和 Tn .

19. (本小题满分 12 分)已知某音响设备由五个部件组成,A 电视机,B 影碟 机,C 线路,D 左声道和 E 右声道,其中每个部件工作的概率如图所示,能听到 声音,当且仅当 A 与 B 中有一个工作,C 工作,D 与 E 中有一个工作;且若 D 和 E 同时工作则有立体声效果. (1)求能听到立体声效果的概率; (2)求听不到声音的概率.(结果精确到 0.01)

20(本小题满分 13 分)已知椭圆 C : 顶点 A ,右准线 x ? 4 且 | AF |? 1 . (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 ? ?1( a a 2 b2

? b ? 0 )的右焦点 F ,右

(2)动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且只有一个交 点 P ,且与右准线相交于点 Q,试探究在平面直角坐 标系内是否存在点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过定 点 M ?若存在,求出点 M 坐标;若不存在,说明理 由.

21. (本小题满分 14 分)设 f ( x) ? ln x . (1) 若 ? ? (0,1) ,求 g ( x) ? ? ln x ? (1 ? ? ) ln(1 ? x) 最大值; (2)已知正数 ? , ? 满足 ? ? ? ? 1 .求证: ?f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) ? f (?x1 ? ?x2 ) ; (3) 已 知
n

xi ? 0
n

, 正 数 ?

i

满 足

??
i ?1

n

i

?1 . 证 明 :

?? ln x ? ln ?? x
i i i i ?1 i ?1

i

(其中i ? 1,2,?n) .

湖北省部分重点中学 2014 届高三第一次联考
数学(理)试题答案与评分细则
1-5:BBCBA 11.1 12. 6-10:AADCC

10 49

13. 1 ? a ? b

14.

13 5 -1 ? (可不化简) 21 2

15.

17 - 1 2

16 .解: (1) ? f ( x) ? 3 sin 2 x ?

? f ?( x) ? 2 3 cos 2 x ? f ?( ) sin 2 x.( 2分) 12 ? ? 3 ? 1 ? 令x ? 得f ?( ) ? 2 3 ? ? f ?( ) ? ,即f ?( ) ? 2, 12 12 2 12 2 12 ? f ?( ) ? 2 3 cos ? f ?( ) sin ? ? f ?( ) ? ?2 ( , 4分) 4 2 12 2 12 ? f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ? 最小正周期T ? ?,最小值为 - 4.(6分)

?

1 ? ? f ?( ) cos 2 x ? f ?( ), 2 12 4

?

?

?

?

?

?

6

) ? 2.

? ?? ?? (2)由( 1)知:f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2, 当x ? ? , ?时, 6 ? 12 6 ? ? ?1 ? ? ? 5? ? ? ? , ?, ? sin(2 x ? ) ? ? , 1, ? -1 ? f ( x) ? 0.(8分) 6 ?3 6 ? 6 ?2 ? ? ?m ? f ( x ) ? 3 ?? ?? 又对任意x ? ? , ? f ( x) ? m ? 3 ? ? 恒成立,( 10分) ? 12 6 ? ?m ? f ( x ) ? 3 ? m ? f min ( x) ? 3 ?? , 即 - 3 ? m ? 2.(12分) ?m ? f max ( x) ? 3 PQ ? AD ? BQ ? AD ? 17 ( . 1)证明:由题 ? ? AD ? 平面PQB, PQ ? BQ ? Q? ?
2x ?
又 ? AD ? 平面PAD, ? 平面PQB ? 平面PAD.(6分)

?

(2) ? PA ? BD, Q为AD的中点, ? ? 平面PAD ? 平面ABCD ? ? PQ ? 平面ABCD. (8分) ? 平面PAD ? 平面ABCD ? AD? ?以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP为x, y, z轴建立如图所示空间直角坐标系o ? xyz. 2 1 2 3 2 3 QP ? QC ? (? , , ). 3 3 3 3 3 ? 2 3 2 3 ? ?QM ? n1 ? 0 ?- x ? y? z?0 设n1 ? ( x, y, z )是平面MBQ的一个法向量,则? ,即? 3 , 3 3 ? ? ? QB ? n1 ? 0 ,3 y ? 0 ? 则Q(0,0,0),A( 1,0,0),P(0,0,,3),B(0,,3, 0) .QM ? ? x ? 3z 即? .令z ? 1得n1 ? ( 3 ,0,1( ). 10分) ? y?0 1 又n2 ? (0,0,1)是平面BQC 的一个法向量, ? cos ? n1 , n2 ?? .故二面角M - BQ - C的大 2 小为 ( . 12分) 3
4?3 ? ?a ? 1 ? 4a1 ? d ? 4(2a1 ? d ) 18.解:( 1 )由题, 设等差数列?a n1 ? 的首项为a1,公差为d , 则? , 解得? 1 2 ?d ? 2 ? ?a1 ? (2n ? 1)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1

? PQ ? AD

?

? an ? 2n ? 1 .(5 分)

(2)由题b1 ? 3, 当n ? 2时,bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? ? (b3 ? b2 ) ? (b2 ? b1 ) ? b1 ? a n ?1 ? a n ? ? ? a 4 ? a3 ? b1 ? n 2 ? 2n(n ? 1也成立( ). 8分) ? 1 1 1 1 ? ( ? ), bn 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ??? ? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? b1 b2 bn ?1 bn 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? n ? 1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ?? 1? 1 1 1 ? 3 2n ? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? 2 .(12分) ? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4 2n ? 6n ? 4 19 解: (1)因为 A 与 B 中都不工作的概率为(1-0.90) (1-0.8) ; 所 以 能 听 到 立 体 声 效 果 的 概 率 为 [1- ( 1-0.90 ) (1-0.8)]*0.95*0.8*0.7=0.52136 ? 0.52 .(5 分) (2)当 A、B 都不工作,或 C 不工作,或 D、E 都不工作时,就听不到音响设备 的声音.其否定是:A、B 至少有 1 个工作,且 C 工作,且 D、E 中至少有一个工 作. 所以,听不到声音的概率为 1-[1- (1-0.90 ) ( 1-0.8 )]*0.95*[1-(1-0.8) (1-0.7)]=1-0.875 ? 0.13(10 分) 答:(1) 能听到立体声效果的概率约为 0.52; (2)听不到声音的概率为 0.13. (12 分) ? Tn ?

20解:( 1 )由题

a2 ? 4, a ? c ? 1,? a ? 2, c ? 1,? b ? 3 ,椭圆 C 的标准方程为 c

x2 y2 (5 分) ? ? 1. 4 3 ? y ? kx? m (2)由? 2 得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 , (7 分) 2 ?3 x ? 4 y ? 12
? ? ? 64 k 2 m 2 ? 4(3 ? 4k 2 )( 4m 2 ? 12) ? 0,即m 2 ? 3 ? 4k 2 .

4k 2 3 4km 4k 4k 3 , y ? kx ? m ? ? ? m ? ,即 P (? , ) .(9 分) ? ? p p 2 m m m m m 3 ? 4k 假设存在点 M 满足题意,则由椭圆的对称性知,点 M 应在 x 轴上,不妨设点 M (t ,0) . 4k 3 又 Q ?4,4k ? m ? , MP ? (? ? t , ) , MQ ? (4 ? t ,4k ? m) ,若以 PQ 为直径的圆恒过 m m 4k 3 4k 定点 M,则 MP ? MQ ? (? ? t ) ? ?4 - t ? + ? (4k ? m) = t 2 ? 4t ? 3 ? (t ? 1) ? 0 恒成 m m m t ?1 ? 立,故 ? 2 ,即 t ? 1 . (13 分) ?t ? 4t ? 3 ? 0 ?存在点 M 适合题意,点 M 与右焦点重合,其坐标为(1,0). ? ?1 ??x ( 0 ? x ? 1) 21解:( 1 )g ?( x) ? ? (1 ? ? ) ? x 1 ? x x(1 ? x) 当 x ? (? ,1) 时,g ?( x) ? 0 .即 g ( x) 在 (0, ? ) 上递增, 在 (? ,1) ?当x ? (0, ? ) 时,g ?( x) ? 0 , 递减.故 当x ? ? 时,有 g max ( x) ? g (? ) ? ? ln ? ? (1 ? ? ) ln(1 ? ? ) .(3 分)

xp ? ?

则 (2)构造函数F(x) ? ?f ( x1 ) ? ?f ( x) ? f (?x1 ? ?x) ? ? ln x1 ? ? ln x ? ln(?x1 ? ?x) , ?? ( x1 ? x) ? ? F?(x) ? ? ? . 易证 F ( x) 在在 (0, x1 ) 上递增,在 ( x1 ,??) 上递减. x ?x1 ? ?x x(?x1 ? ?x) ? 当x ? x1 时,有 Fmax ( x) ? F ( x1 ) ? ?f ( x1 ) ? ?f ( x1 ) ? f (?x1 ? ?x1 ) ? 0 .

? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ,即 ?f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) ? f (?x1 ? ?x2 ) ? 0 , 即证 ?f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) ? f (?x1 ? ?x2 ) (8 分) (3)用数学归纳法证明如下: ① 当 n ? 1,2 时,命题显然成立;
② 假设当 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时,命题成立,即当 ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? k ?1 ? ? k ? 1 时,

?1 ln x1 ? ? 2 ln x2 ? ? ? ? k ?1 ln xk ?1 ? ? k ln xk ? ln(?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ) . 则当 n ? k ? 1,即当 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ?1 ? ? k ? ? k ?1 ? 1 时, ? k ?1 ?k ?1 ?2 ? ??? ? ? 1 ,又假设知 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 ? k ?1 ?k ?1 ?2 ln x1 ? ln x 2 ? ? ? ln x k ?1 ? ln x k ? 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 ? k ?1 ?k ?1 ?2 ln( x1 ? x2 ? ? ? x k ?1 ? x k ) ,即 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1 1 ? ? k ?1

? 1 ln x1 ? ? 2 ln x 2 ? ? ? ? k ?1 ln x k ?1 ? ? k ln x k ? (1 ? ? k ?1 ) ln(
? 1 ln x1 ? ? 2 ln x 2 ? ? ? ? k ?1 ln x k ?1 ? ? k ln x k ? ? k ?1 ln x k ?1

? 1 x1 ? ? 2 x 2 ? ? ? ? k ?1 x k ?1 ? ? k x k ) 1 ? ? k ?1

? 1 x1 ? ? 2 x 2 ? ? ? ? k ?1 x k ?1 ? ? k x k ) ? ? k ?1 ln x k ?1 1 ? ? k ?1 ? x ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 x k ?1 ? ? k x k ? ln[(1 ? ? k ?1 ) 1 1 ? ? k ?1 x k ?1 ] 1 ? ? k ?1 = ? ln(?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ? ? k ?1 xk ?1 ) . 这说明当 n ? k ? 1时,命题也成立.
? (1 ? ? k ?1 ) ln(
综上①②知,当 xi ? 0 ,正数 ? i 满足 ? ? i ? 1 时
n i ?1

?? ln x ? ln ?? x
n n i i i i ?1 i ?1

i

(其中i ? 1,2,?n)

(14 分)

(以上答案仅供参考,其他解法请作情给分.)


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