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三角函数的图像和性质(含答案)


三角函数的图像和性质
1.函数 y ?

1 ? sin( 2 x ? ) 的单增区间是___________. 2 6

【答案】 ?k? ?

? ?

?
3 ? ?

, k? ?

??
6? ?

k ?Z

2.函数 y=cos ? 2 x ?

??

? 的单调递增区间是________. 4?

【答案】 ?-

? ? 3? ? +k?, +k? ? (k∈Z) 8 ? 8 ?
?
3 ) 图象的对称中心是 _______ .

3.函数 y ? 3sin(2 x ? 【答案】 ( ?

?
3

?

k? , 0) 2

4.若函数 f(x)=sin(ω x+ 【答案】10 5.函数 f ( x) ? tan( x ? A. (k? ?

? ? )(ω >0)的最小正周期是 ,则ω =_________。 6 5
) 单调增区间为( )
B. (k? , k? ? ? ), k ? Z D. (k? ?

?
4

), k ? Z 2 2 3? ? , k? ? ), k ? Z C. (k? ? 4 4
【答案】C 6.下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是 A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin( x ? 【答案】A 7.设函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

, k? ?

?

?
4

, k? ?

3? ), k ? Z 4
( )

?

?

2 )

)

B. y ? cos( 2 x ? D. y ? cos( x ?

?
?
2 2

) )

2

?
3

) ,则下列结论正确的是

A. f ( x ) 的图像关于直线 x ? C. f ( x ) 的最小正周期为 【答案】D 8.如果函数 y ? cos(

?
3

对称

B. f ( x ) 的图像关于点 ( D. f ( x ) 在 [0,

?
4

, 0) 对称

? 2

?
12

] 上为增函数

?
4

? ax ) 的图象关于直线 x ? ? 对称,则正实数 a 的最小值是(

)

A. a ?

1 4

B. a ?

1 2

C. a ?

3 4

D. a ? 1

第 1 页 共 8 页

【答案】C 9.已知 ω >0, 0<φ <π ,直线 x= φ =( (A) )

? 5? 和 x= 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图像的两条相邻的对称轴,则 4 4
(C)

? 4

(B)

? 3

? 2

(D)

3? 4

【答案】A 【解析】 试题分析:函数 f(x)=sin(ω x+φ )图像的两条相邻的对称轴间的距离等于半个周期,所以 T ? 2? , ? ? 1 . 由 sin(

?
4

? ? ) ? 1得? ?

?
4

满足 0 ? ? ? ? ,故选 A.

考点:三角函数的图象及其性质. 10.若当 x ?

?
4

时,函数 f ( x) ? A sin( x ? ? ) ( A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f (

?
4

? x) 是(



A.奇函数且图像关于点 (

?
2

, 0) 对称

B.偶函数且图像关于直线 x ? D.偶函数且图像关于点 (

?
2

对称

C.奇函数且图像关于直线 x ? 【答案】D 【解析】由题意知 sin( 函数 y ? f (

?
2

对称

?
2

, 0) 对称

?
4

? ? ) ? ?1 ,即 ? ? 2k? ?

?

? ? 3? ? x) ? A sin( ? x ? 2k? ? ) ? ? A cos x ,所以是偶函数且图像关于点 ( , 0) 对称. 2 4 4 4
? ?

3? ; 4

11.函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

??

? ? 在区间 [0, 2 ] 上的最小值是 4?
2 2
D.0

A.-l 【答案】C

B.

2 2

C. ?

?? ? 3? ?? 2 ? ? ? f ( x) ? sin ? 2x ? ? ? [? ,1], x ? [0, ] ? 2 x ? ? ? [? , ], 4 4 4 4 2 ? ? ? ? 2 【解析】因为 ,所以 因此 即函数最小
?
值是

2 2 .
2? ? ?? ?x? ? 的值域是________. 3 ? ?6

12.函数 y=2sinx ? 【答案】[1,2]

【解析】根据正弦函数图象,可知 x= 13.当 x ? ?

? ? 时,函数取到最小值 1;x= 时,函数取到最大值 2. 6 2

? ? 7? ? , ? 时,函数 y ? 3 ? sin x ? 2cos2 x 的最小值是_______,最大值是________。 6 6 ? ?

试卷第 2 页,总 8 页

【答案】

7 ,2 8

【解析】 x ? ?

? ? 7? ? 1 , ? , ? ? sin x ? 1, y ? 2sin 2 x ? sin x ? 1, 6 6 ? 2 ?
1 7 1 时, ymin ? ;当 sin x ? 1, 或 ? 时, ymax ? 2 4 8 2

当 sin x ?

14.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示,则函数 f ( x ) 的 解析式为( )

1 ? ) 2 4 1 3? ) B. f ( x) ? 2 sin( x ? 2 4 1 ? C. f ( x ) ? 2 sin( x ? ) 2 4 1 3? ) D. f ( x) ? 2 sin( x ? 2 4
A. f ( x ) ? 2 sin( x ? 【答案】B 【解析】由图象可知函数的最大值为 2 ,最小值为 -2 ,所以 A ? 2 ; 由图象可知函数的周期 T ? 2 ? ?

2? 2? 1 ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? , 所以 ? = T 4? 2 ? 2 ? 2 ??

所以,

1 3? 1 ? ?? ? 3? ) 故答案选 B. 所以函数的解析式为: f ( x) ? 2 sin( x ? ? ? - ? +? = , ?? = 2 4 2 ? 2? 2 4
2

考点:三角函数的图象与性质. 15.函数 f ( x)=A sin(? x+? ) ( A ? 0,? ? 0, 0 ? ? ? ? )的图象如图所示, 则 f (0) 的值为 ( )

y

O

? 6

11? 12

x

?2

第 15 题图

A. 1 【答案】A

B. 0

C. 2

D. 3

【解析】由已知, A ? 2, T ? 将(

?

, 2) 代人得, 2sin(2 ? +? ) ? 2,sin( +? ) ? 1 ,所以, +? ? , ? ? , 6 6 3 3 2 6

?

4 11? ? ?( ? ) ? ? , ? ? 2, ,所以 f ( x)=2sin(2 x+? ) , 3 12 6

?

?

?

?

f ( x)=2sin(2 x+ ), f (0)=2sin(2 ? 0+ ) ? 2sin ? 1 ,故选 A . 6 6 6
考点:正弦型函数,三角函数求值. 16.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,则 f (2) ? .

?

?

?

第 3 页 共 8 页

【答案】 ?

2 2
3 π

?? π 3 8 3? 3? ? ? ??4 4 , ? ? ) ? 1, ?? ? , 【解析】 根据 T ? 3 ? 1 ? 2, T ? , 解出 过点 (1, 1) , 所以 sin( , 4 3 4 4 2
因此 f (2) ? sin(

3? ? 5? 2 ? 2 ? ) ? sin ?? . 4 4 4 2

考点:三角函数的图象 17.将函数 y ? sin( x ? (A)关于直线 x ?

?
6

) 的图像向左平移 ? 个单位,则平移后的函数图像(
(B)关于直线 x ?



π 对称 3

π 对称 6

(C)关于点 ? , 0 ? 对称 【答案】A 18.将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? A. y ? sin 2 x C. y ? sin(2 x ? 【答案】C

?π ?3

? ?

(D)关于点 ? , 0 ? 对称

?π ?6

? ?

? ?

??

? 的图像向右平移 个单位后,所得的图像对应的解析式为( 6 6?
B. y ? cos 2 x

?



? ) 6

D. y ? sin(2 x ?

2? ) 3

?
【解析】根据三角函数图像变换规律:左正右负,因此图像向右平移 6 个单位,所以

y ? sin[ 2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? sin( 2 x ?

?

) 6 ,选 C.

考点:三角函数图像变换 19.要得到 y ? 3 sin( 2 x ? A.向左平移 C.向左平移 【答案】C 【 解 析 】 因 为 y ? 3sin(2 x ?

?
4

) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象(
B.向右平移 D.向右平移



? ?
4

个单位 个单位

? ?
4

个单位 个单位

8

8

?

y ? 3sin 2 x 的图象向左平移

?
8

) ? 3sin 2( x ? ) , 所 以 要 得 到 y ? 3 s i n2 (x ? ) 的 图 象 只 需 将 4 8 4

?

?

个单位。故 C 正确。

考点:三角函数图像的伸缩平移。

试卷第 4 页,总 8 页

20. 将函数 f(x)=sin(3x+ 在[

? 2? , ]上的最小值为 3 3
2 2

? ? )的图象向右平移 个单位长度, 得到函数 y=g(x)的图象, 则函数 y=g(x) 4 3


【答案】 ?

【解析】由函数平移的规律可得函数 g ( x) ? sin[3( x ?

?

? 3? ? 2? ) ? ] ? sin(3x ? ) ,因为 ? x ? ,可得 3 4 4 3 3

?
4

? 3x ?

3? 5? 5? 2 x? ,结合图象可得最小值为 sin . ?? 4 4 4 2

考点:三角函数的图象和性质 21. 已知函数 y ? f ( x) ,将 f ( x ) 的图象上的每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 2 倍,然后 把所得的图象沿着 x 轴向左平移 式是( A. f ( x) ? )

1 ? 个单位,这样得到的是 y ? sin x 的图象,那么函数 y ? f ( x) 的解析 2 2

1 ?x ?? sin ? ? ? 2 ?2 2? 1 ?x ?? sin ? ? ? 2 ?2 2?

B. f ( x) ?

1 ? ?? sin ? 2 x ? ? 2 ? 2? 1 ? ?? sin ? 2 x ? ? 2 ? 2?

C. f ( x) ?

D. f ( x) ?

【答案】D 【解析】由题意曲线与 y=1 /2 sinx 的图象沿 x 轴向右平移π /2 个单位,再纵坐标不变,横坐标缩小为 原来的一半即可得到 y=f(x)的图形,故 y=1/ 2 sinx 的图形沿 x 轴向右平移π 2 个单位所得图形对应 的函数解析式为 y=1 /2 sin(x-π /2 ),然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原 来的一半,所得的图形对应的解析式为 y=1/ 2 sin(2x-π / 2 ) 故选 D 22.将函数 g ( x) ? 3sin(2 x ? 到函数 f(x),则( )

?
6

) 图像上所有点向左平移

?
6

个单位,再将各点横坐标缩短为原来的

1 倍,得 2

A.f(x)在 (0, ) 单调递减 4 C.f(x)在 (0, ) 单调递增 4 【答案】A 【 解 析 】 将 函 数 g ( x) ? 3sin(2 x ?

? ?

? 3? B.f(x)在 ( , ) 单调递减 4 4 ? 3? D.f(x)在 ( , ) 单调递增 4 4

?
6

) 图 像 上 所 有 点 向 左 平 移
1

?
6

个 单 位 , 得

y ? 3sin[2(x ? ) ? ] ? 3cos 2 x , 再 将 各 点 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 倍 , 得 f ( x) ? 3cos 4 x , 当 2 6 6 x ? (0, ) 时, 4 x ? (0, ? ) ,因为 y ? cos t 递减,而 t ? 4 x ,故函数 f ( x ) 递减,故选 A. 4
考点:三角函数的图象和性质.

?

?

?

第 5 页 共 8 页

23.已知函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

).

(1)写出它的振幅、周期、频率和初相; (2)求这个函数的单调递减区间; (3)求出使这个函数取得最大值时,自变量 x 的取值集合,并写出最大值。 【答案】(1)振幅 2,周期 ? ,频率

1

?

,初相 ?

?
6

(2)

5 ?? ? ? k? , ? ? k? ? ? k ? z ? ? 6 ?3 ?

x?
(3)当

?
3

? k? , k ? z

,函数有最大值 y ? 2

【解析】 (1) 振幅 2, 周期 T ? 整理得

?

5 ? ? ? ? k? ? x ? ? ? k? (3)函数最大值为 2,此时需满足 2 x ? ? ? 2k? ? x ? ? k? , k ? Z 3 6 6 2 3

2? 1 1 ? ? ? 3 ? ? ,, ?k ? 频率 f ? ? , 初相 ? (2) 令 ? 2k? ?2 x ? ? ? 2 2 T ? 6 2 6 2

考点:三角函数性质 24.已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)若 x ? [?

?
12

时取得最大值 4.

?
4

, 0] ,求 f ( x) 的值域.

【答案】(1)

2? ? ;(2) f ( x) ? 4sin(3 x ? ) ;(3) [?4, 2 2] . 4 3
2?

【解析】 (1) T ?

(2) ? f ( x)在x ?

?

?

?

2? 3

即? ?

?
4

12

时取得最大值4 ,? A ? 4且3 ?

?
12

?? ?

?
2

? 2 k? , ( k ? Z )

? 2k? , (k ? Z ), 又 ? 0 ? ? ? ? ?? ?

?

? f ( x) ? 4sin(3 x ? ) 4 4

?

(3) x ? [?

?
4

, 0] 时, 3 x ?

?
4

? [?

? ?

? 2 , ] ?1 ? sin(3x ? ) ? 2 4 4 2

?4 ? 4sin(3x ? ) ? 2 2 f ( x) 的值域为 [?4, 2 2] 4
考点:1.由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;2.三角函数的周期性及其求法. 25.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 的图象的一个最高点为 (? 的一个交点为 ( ,0). 6 (1)求函数 y ? f ( x ) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x ) 的单调减区间和函数图象的对称轴方程; (3)用“五点法”作出函数 y ? f ( x ) 在长度为一个周期区间上的图象.

?

?
12

,2), 与之相邻的与 x 轴

?

试卷第 6 页,总 8 页

【答案】 (1) f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

2? ? ? 3 ?

(2) ? ?

? k? 5? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? , x ? ? ? ?k ? Z ? . 12 2 12 ? 12 ?

(3)见解析 【解析】⑴由题意, A ? 2 ,

T ? ? ?? ? 2? ? ? ? ? ? ? ,所以 T ? ? ,所以 ? ? ,? ? 2 . 4 6 ? 12 ? 4 ?

?? ? ? ? ? ? ? 所以 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? ,将 ? ? , 2 ? 代入,得 sin ? ? ? ? ? ? 1 ,因为 ? ? ? ,所以 ? ? , 12 6 3 ? ? ? ?
?? ? ? 所求函数解析式为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ?. 3 ? ?
⑵由

? ?? 3? ? 5? ? 2k ? ≤ 2 x ? ≤ ? 2k ? ? k ? Z? ,得 ? ? k ? ≤ x ≤ ? k ? , 2 3 2 12 12

5? ? ? ? ? k ?? ? k ? Z ? . 所以函数的单调减区间是 ? ? ? k ?, 12 ? 12 ?

?? ? ? k? ,得 x ? ? ? , ? ? k ? ? k ? Z ? ( k ? Z) 3 2 12 2 ? k? 所以函数图象的对称轴方程为 x ? ? ? ? k ? Z? . 12 2 ⑶ 1)列表 x ? ? ? ?? ? ? 3 12 6 12 ? 0 2? ? ?? 2x ? 3 2 2 y 0 2 0 ?2
由 2x ? 13 分 2)描点画图

?? 3
??

2

16 分

第 7 页 共 8 页

考点:1.求三角函数解析式;2.三角函数的性质;3.五点作图法.

试卷第 8 页,总 8 页


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