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14数学全国教师17(理)


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十七)
第十七单元 平面解析几何综合测试
150 分) (120 分钟

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1.抛物线 y2=-16x 的焦点坐标为 A.(0,-4) B.(4,0) C.(0,4) D.(-4,0)
16 4

解析:抛物线 y2=-16x 的焦点在 x 轴的负半轴上,其坐标为(- ,0),即(-4,0). 答案:D

2.已知圆 C:(x-2)2+(y-1)2=4 的周长被双曲线 E: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线平分,则双 曲线 E 的离心率为 A. 2 B. 3 C.
5 2

2 2

D.2 5

解析:圆 C:(x-2)2+(y-1)2=4 的圆心为(2,1),根据题意可知,双曲线的一条渐近线通过圆心,即(2,1)在直 线 y= x 上,即 a=2b,此时 c= 2 + 答案:C
2 5 5 = a,则 e= . 4 2 2

3.已知曲线

2 2 + =1(4<λ<8),则此曲线的焦点坐标为 8- 4-

A.(± 2,0)

B.(± 2 3,0)

C.(0,± 2) D.(± 12-2,0)

解析:因为 4<λ<8,则 答案:A

2 2 2 2 + =1 可整理为 - =1,则 c2=8-λ+λ-4=4,故焦点坐标为(± 2,0). 8- 4- 8- -4

4.若圆 O:x2+y2=4 与圆 C:x2+y2+4x-4y+4=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程是 A.x+y=0
2 2

B.x-y=0 C.x-y+2=0
2 2

D.x+y+2=0

解析:圆 x +y +4x-4y+4=0 即(x+2) +(y-2) =4,则圆心 C 坐标为(-2,2),∵ 直线 l 过 OC 的中点(-1,1)且垂 直于 OC,kOC=-1,故直线 l 的斜率为 1,直线 l 的方程为 y-1=x+1,即 x-y+2=0.故选 C. 答案:C

5.若两个椭圆的离心率相同,则称此两个椭圆相似.已知椭圆的焦点在 x 轴上,与 4 + 3 =1 相似且过点(2,3),则此椭圆的长轴长为 A.4 B.6
2 2 4 3

2 2

C.8
1 2

D.16
2 2 1 2

解析:椭圆 + =1 的离心率为 ,设所求椭圆方程为 2 + 2 =1(a>b>0),则 = , 且 2 + 2 =1,又 c2=a2-b2,解得 a2=16,b2=12,故 2a=8. 答案:C
4 9

6.已知圆 C:(x-1)2+(y- 3)2=2 与直线 l:x+ 3y-6=0 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则直线 OA 与直线 OB 的倾斜角之和为 A.60° B.90° C.120° D.150°
3 ,∴ kOC·kAB=-1,∴ OC⊥AB,直线 OA 与直线 OB 关于直线 OC 对称,则直线 OA 3

解析:∵ kOC= 3,kAB=-

与直线 OB 的倾斜角之和为直线 OC 倾斜角的两倍,即 60° × 2=120° . 答案:C

7.若椭圆的中心为坐标原点,过其焦点且垂直于长轴的直线与椭圆的交点围成一个正方 形,则此类椭圆称为“漂亮椭圆”.类比“漂亮椭圆”,可推出“漂亮双曲线”的离心率为 A. 2
2 5+1 2 5+3 2 1+ 5 . 2

B.

C. 5

D.

解析: =c,则 b2=ac,c2-a2=ac,e2-e-1=0,故 e= 答案:B

8.已知 O 是坐标原点,A,B 是直线 l:x-y+t=0 与圆 C:x2+y2=4 的两个不同交点,若 ≤ + ,则实数 t 的取值范围是 A.(-2 2,-2] B.[2,2 2) C.(-2 2,-2]∪[2,2 2) D.[-2 2,-2]∪[2,2 2]

解析:=-,则 - ≤|+|,两边同时平方整理得·≥0,

则∠AOB≤90° ,又直线 l:x-y+t=0 的斜率为 1,经过(-2,0),(0,2)或(0,-2),(2,0)时恰好满足∠AOB=90° ,此时 t=2 或-2;当 l:x-y+t=0 与圆相切时是一种临界状态,此时 t=2 2或 t=-2 2,数形结合可知,t∈(-2 2,2]∪[2,2 2). 答案:C

9.已知定点 M(-1,0),N(1,0),P 是椭圆 + =1 上动点,则 A.2 B.
9 4

2 2 4 3

1 4 + 的最小值为

C.3

D.3+2 2

解析:因为 M(-1,0),N(1,0)是椭圆的焦点,则有 + =2a=4, 则
1 4 1 1 4 + = ( + )( 4

+ )= (5+

1 4

4 1 9 + )≥ (5+4)= . 4 4

答案:B

10.已知线段 AB=4,其中点 A,B 分别在 x 轴与 y 轴正半轴上移动,若点 A 从(2 3,0)移动到 (2,0),则 AB 中点 D 经过的路程为 A.4 B.8-4 3 C.
π 3

D.

π 2 ππ π 3 6 6

解析:点 D 在圆 x2+y2=4 上,其中点 D 沿圆周从( 3,1)移动到(1, 3),此时转过的圆心角为 - = ,故 D 经过的路程为弧长 × 2= . 答案:C
π 6 π 3

11.函数 f(x)=(x+2013)(x-2014)的图象与 x 轴、y 轴有 3 个不同的交点,有一个圆恰经过这 三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是 A.(0,2)
1 2013 ) 2014 2014 ) 2013

B.(0,1) C.(0,

D.(0,

解析:函数 f(x)的图象与坐标轴的交点分别是 A(-2013,0)、B(2014,0)、C(0,-2013× 2014),经过这三点 的圆与 y 轴的另一个交点必在 y 轴的正半轴上,设其坐标 D(0,m),则根据相交弦定理可得 |OA|×|OB|=|OC|×|OD|,即 2013× 2014=(2013× 2014)× m,解得 m=1,故另一个交点的坐标为(0,1). 答案:B

12.已知椭圆 C:16+ 4 =1 的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点(如图),则这 个平行四边形面积的最大值为 A.8 C.16
2 2 16 4

2 2

B.8 3 D.16 3

解析:先求弦 AB 长,再求高,即点 F2 到直线 AB 的距离. 因为 + =1,所以 a2=16,b2=4,c2=12,F1(-2 3,0). 若直线 AB 的斜率不存在时,即 x=-2 3, 此时 A(-2 3,1),B(-2 3,-1),故 S?ABCD=2× 4 3=8 3; 若直线 AB 的斜率存在且设为 k,即 y=k(x+2 3),与 + =1 联立方程组整理得: (1+4k2)x2+16 3k2x+48k2-16=0,有 x1+x2=16 32 1+4
2 ,x1x2=

2 2 16 4

482 -16 1+42

,
1+2 (1+42 )2

则 = 1 + 2 1 -2 = 1 + 2 (1 + 2 )2 -41 2 =8 1 + 2 AB 边上高,即点 F2(2 3,0)到直线 y=k(x+2 3)的距离为
4 3k 1+2

.

,

则 S?ABCD= 8 3k

16+162 (1+4 )

2 2=8

3

162 +164 (1+4 )
2 2

=8 3 1 +

82 -1 1+82 +164

.

令 8k2-1=t,t≥-1,则 8k2=1+t,则 t≠0,

4 4 = ,当 t=0 时, 2 =0,S?ABCD=8 +6t+9 1+82 +164 2 +6t+9

82 -1

3.若

4 4 4 1 = ,则当 t=3 时, 2 取得最大值 ,此时 S?ABCD=8 3 2 +6t+9 +9+6 +6t+9




4 =16.综上,S?ABCDmax=16. 3

答案:C

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.若 y=x 是双曲线 x2+ =1 的一条渐近线,则实数 m=
解析:标准方程为 x2答案:-1
2 =1,则-m=1,即 m=-1. - 2

.

14.已知过点(1,1)且与 2x+y+1=0 平行的直线经过抛物线 y2=mx 的焦点,则 m=
解析:2x+y+c=0 过点(1,1),则 c=-3,即 2x+y-3=0,令 y=0 得 x= ,
3 2

.

即焦点为( ,0),故 m=4× =6. 答案:6

3 2

3 2

15.过已知圆 x2+y2-x+2y+1=0 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直的直线的一般方程 为 .
解析:已知圆的圆心坐标为( ,-1),所以经过已知圆的圆心,斜率为 1 的直线方程为 y+1=x- ,即 x-y3 =0. 2 1 2 1 2

答案:x-y- =0

3 2

16.已知 F1,F2 是椭圆 4 +y2=1 的两个焦点,P 是椭圆上在第一象限内的点,当△F1PF2 的面积 为 ,则1 ·2 =
3 2

2

.
1 3 1 1

解析:由题知 1 + 2 =4, 1 2 =2 3,则 × 2 3 = ,则 yP= ,则 P( 3, ),F1(2 2 2 2

3,0),F2( 3,0),1 ·2 =(-2 3,- )·(0,- )= .
答案:
1 4

1 2

1 1 2 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知圆 C 的方程为 x2+y2-2x+4y=0,直线 l:2x-y+t=0. (1)若直线 l 与圆 C 相切,求实数 t 的取值; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 M,N 两点,且 = 15,求实数 t 的取值.
解析:圆 C 的方程配方,得(x-1)2+(y+2)2=5,故圆心为 C(1,-2),其半径 r= 5. (1)因为直线 l 与圆 C 相切,所以圆心 C 到直线 l 的距离等于圆的半径, 即
|2×1-(-2)+| 22 +(-1)2

= 5,

整理得|4+t|=5,解得 t=1 或 t=-9.5 分 (2)由(1)知,圆心到直线 l 的距离 d= 又 = 15,所以 d= 2 -( 故
|4+| , 5

|| 2 ) = 2

( 5)2 -(

15 2 5 ) = , 2 2

|4+| 5 5 3 13 = ,整理得|4+t|= ,解得 t=- 或 t=- .10 分 2 2 2 5 2

18.(本小题满分 12 分) 已知焦距为 4 的椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0),F2 为椭圆 C 的右焦点,A,B 是椭圆 C 上关于原点 对称的两点,M,N 分别是 AF2,BF2 的中点,以线段 MN 为直径的圆经过原点 O(0,0). (1)证明:点 A 在定圆上; (2)若直线 AB 的倾斜角为 30° ,求椭圆 C 的离心率.
解析:(1)因为椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的焦距为 4,所以右焦点 F2(2,0).设 A(x0,y0),则 B(-x0,y0),M(
0 +2 0 2-0 0 4-2 2 , ),N( ,- ).因为线段 MN 为直径的圆经过原点 O(0,0),所以·=0,所以 0- 0 =0,即 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2

2 2 0 +0 =4,故点 A 在以原点 O(0,0)为圆心,半径为 2 的圆上.6 分

(2)因为直线 AB 的倾斜角为 300,所以直线 AB 的斜率为 因为 A(x0,y0),所以有 y0=

3 3 ,即直线 AB 的方程为 y= x. 3 3

3 2 2 2 2 x ,又由(1)知0 +0 =4,解得0 =3,0 =1.又点 A(x0,y0)在椭圆 C 上,则 3 0

2 2 3 1 0 0 + 2 =1,即 2 + 2 =1,又 a2-b2=4,解得 a2=6,a= 2

6,故椭圆离心率 e== 6= 3 .12 分

2

6

19.(本小题满分 12 分) 已知圆 M 的方程为 x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点为圆心的圆 N 内切于圆 M. (1)求圆 N 的方程; (2)圆 N 与 x 轴交于 E、F 两点,圆内的动点 D 使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,求 ·的取值范围.
解析:圆 M 的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8,故 M(1,1),R=2 2. (1)圆 N 的圆心为(0,0), 设其半径为 r,故|MN|= 12 + 12 = 2, 因为圆 N 内切于圆 M,所以有|MN|=R-r,即 2=2 2-r,解得 r= 2. 所以圆 N 的方程为 x2+y2=2.6 分 (2)不妨设 E(m,0),F(n,0),且 m<n. 由

2 + 2 = 2, = 2, = - 2,故 E(- 2,0),F( 2,0). 解得 = 0, = 0, = 0,

设 D(x,y),由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,得|DO|2=|DE|×|DF|, 即 ( +

2)2 + 2 × (- 2)2 + 2 =x2+y2,

整理得 x2-y2=1. 由于点 D 在圆 N 内,故有

2 + 2 < 2, 1 由此得 y2< . 2 2 2 - = 1,

而 =(- 2-x,-y), =( 2-x,-y),

·=(- 2-x)( 2-x)+(-y)(-y)=x2+y2-2=2y2-1,
所以 · ∈[-1,0).12 分

20.(本小题满分 12 分) 已知点 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,圆 C 以点 F 为圆心,且经过原点 O(0,0). (1)求圆 C 的方程; (2)过点 P(-1,0)作圆 C 的两条切线,与抛物线 y2=4x 分别交于点 A,B 和 C,D,求经过 A,B,C,D 四点的圆 C'的面积.
解析:(1)由题知抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),则设圆 C 的方程为(x-1)2+y2=r2,又圆 C 经过原点 O(0,0),则 1=r2,故圆 C 的方程为(x-1)2+y2=1.5 分 (2)根据题意可知,圆 C 与抛物线 y2=4x 都关于 x 轴对称,且 P(-1,0)在 x 轴上,则 A,B 与 C,D 分别关于 x 轴对称,且圆 C'的圆心在 x 轴上.设过点 P(-1,0)与圆 C 相切,且斜率为正的一条切线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k>0),即 kx-y+k=0,则有
2 2

2
2

=1,则 k=

+1

3 3 ,即 AB 方程为 y= (x+1), 3 3

代入 y =4x 整理得 x -10x+1=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=10,x1x2=1, = (2 -1 )2 + (2 -1 )2 = ( - )2 + (2 -1 )2 3 2 1 =
4 ( 3 2 1

+ 1 )2 -

16 =8 3 1 2

2.

又 y1+y2=

3 2 3 (x +x )+ =4 3 1 2 3

3,即 AB 的中点为(5,2 3),则线段 AB 的中垂线方程为 y-2 3=- 3(x-

5),令 y=0 得 x=7,即圆 C'的圆心 C'(7,0).
|7× 3 -0+ 3 | ( 3 )2 +1
3 3 3

则圆心 C'(7,0)到直线 AB 的距离 d=

=4,故圆 C'的半径 R2=(4 2)2+42=48,故圆 C'的面积

为 48π.12 分

21.(本小题满分 12 分) 已知 A(-1,0)、B(1,0)为双曲线的左、右顶点,F(2,0)是其右焦点. (1)求双曲线的标准方程;

(2)过点 A 的直线 l 与双曲线右支交于另一个点 P(不同于 B 点),且与在点 B 处 x 轴的垂 线交于点 D,求证:以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.
解析:(1)由题知 a=1,c=2,则 b2=22-12=3,故双曲线的标准方程为 x2- =1.5 分 (2)设 P(m,n),则直线 AP 的方程为 y= 心为 M(1,
),半径为| |. +1 +1 3 2 (x+1),令 x=1 得 D(1, ),则以线段 BD 为直径的圆的圆 +1 +1 2 3

① 当 m=2 时,直线 PF⊥x 轴,此时圆心到直线 PF 的距离为 1,而圆的半径为| |.又点 P(2,n)在椭圆上,则 有 4- =1,则 n2=9,n=± 3,则圆的半径| |=1,则以线段 BD 为直径的圆与直线 PF 相切; ② 当 m≠2 时,则直线 PF 的方程为 y=
|+(2-)+1-2n| |(2-)+1-n| 2 +(2-m)
2

2 3

3

(x-2),即 nx+(2-m)y-2n=0,则圆心 M 到直线 PF 的距离为 -2





d=

=

2 +(2-m)

2

=

|1-2| 2 +(2-m)

2 +1

|

|,

又 P(m,n)在椭圆上,则有 m2- =1,即 n2=3(m2-1), 则 2 + (2-m)2 = 3(2 -1) + 4-4m + 2 = (2-1)2 = 2-1 , 则 d=
1-2 ·| |=| |,故以线段 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 2-1 +1 +1

2 3

综上,线段 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.12 分

22.(本小题满分 12 分) 已知一动圆与直线 x=-2 相切,且经过椭圆 + =1 的右焦点 F. (1)求动圆的圆心轨迹 C 的方程; (2)经过点 F 作两条互相垂直的直线分别交曲线 C 及椭圆 9 + 5 =1 于 M,N,P,Q 四点,其中 M,N 在曲线 C 上,P,Q 在椭圆上,求四边形 PMQN 的最小值.
解析:(1)由椭圆 + =1 可知 c2=9-5=4,则椭圆的右焦点为 F(2,0). 由抛物线的定义可知,动圆的圆心轨迹为以 F(2,0)为焦点,直线 x=-2 为准线的抛物线,故轨迹 C 的方 程为 y2=8x.4 分 (2)当直线 MN 的斜率不存在时, =8.此时 PQ 的长为椭圆的长轴长,PQ=6,则 SPMQN=
1 2 2 2 9 5 2 2 2 2 9 5

· =2×8×6=24.

1

当直线 MN 的斜率存在时,且设为 k(k≠0),则直线 MN 的方程为 y=k(x-2),则直线 PQ 的方程为 y=1 (x-2).设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4).



= (-2), 消去 y 整理得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,由抛物线定义可知 2 = 8x
42 +8
2

= + =x1+2+x2+2=x1+x2+4=

+4=8+ 2,


8

1 = - (x-2), 由 2 消去 y 整理得(5k2+9)x2-36x+36-45k2=0, 2 + =1 9 5

= 1 + (- )2 (3 + 4 )2 -43 4 = 1 +
则 SPMQN=
1 2

1

1
2

(

36 5 +9
2

)2 -4

36-452 30(1+2 ) 52 +9

=

52 +9

,

· = ·

1 8(1+2 ) 30(1+2 ) (1+2 )2 · =120 4 , 2 2 2 5 +9 5 +92

令 1+k2=t,t>1,则 SPMQN=
1 4

1202 120 = , 52 -t-4 5-1- 4
2

而 5- - 2 ∈(0,5),则 SPMQN∈(24,+∞). 综上,四边形 PMQN 的最小值为 24.12 分


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