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2.2.1向量的加法运算及其几何意义


2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标:掌握向量的加法意义与几何运算,会运用三角形法则、平行四边形法则进行向 量的加(减)法运算通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运 算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点:运用三角形法则、平行四边形法则运算 教学难点:向量加法的几何意义 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教

学方法:探究法 启发式 教 具:三角板

教学过程: 一、情景设置: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC A B C (4)船速为 AB ,水速为 BC ,则两速度和: AB ? BC ? AC 二、探索研究: 1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) 如图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫 做 a 与b的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC ,规定:
1

A

B

C

C A

B

C

A

B

a + 0-= 0 + a

a

a C a A + a b b a+b b B

a b a+b



3.平行四边形法则:由同一点 A 为起点的两个已知向量 a, b 为邻边作平行四边形 ABCD, 则以 A 为起点的向量 AC 就是向量 a, b 的和. 这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法 则,如右图: 探究: (三角形法则、平行四边形法则是否对所有向量 a, b 求和都适用? (注意:平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. ) 1)两相向量的和仍是一个向量; 对于零向量与任一向量 a ,有

? ?

? ?

? ?

a?0 ? 0?a ? a

2.向量加法的交换律: a + b = b + a 3.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 证:如图:使 AB ? a , BC ? b , CD ? c 则( a + b ) + c = AC ? CD ? AD

a + ( b + c ) = AB ? BD ? AD
∴( a + b ) + c = a + ( b + c ) 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。 三、讲解范例: 例 1 如图, 一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方 向行驶,同时河水的流速为 2 km / h ,求船的实际航行的速度的大小 与 方向(用与流速间的夹角表示).

2

例 2 如图,△ABC 中 O 为重心,D、E、F 分别是 BC、AC、AB 的中点,化简下列三 式:

??? ? ??? ? ??? ? ( 1B ) C? C E ? EA ; ??? ? ??? ? ??? ? ( 2O ) E? A B ? EA ; ??? ? ??? ? ???? (3A ) B? F E ? DC .

例 3 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于于点 O,且 AO ? OC, DO ? OB. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形.

??? ?

??? ? ????

??? ?

四、小结:1、向量加法的几何意义; 2、交换律和结合律; 3、注意:| a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时取等号. 五、作业:84 页练习 1-4 习题 2.2 2,3,4(1) , (2) , (3). 六、板书设计:2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 向量的加法运算 例1 例2 课后反思:

3

2.2.2 向量减法运算及其几何意义 教学目标 1.了解相反向量的概念; 2.掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义; 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相互转 化的辩证思想. 教学重点 向量减法的概念和向量减法的作图法 教学难点 减法运算时方向的确定 教学方法 减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法 运算掌握向量的减法运算;并利用三角形做出减向量 教学过程 一、复习:向量的加法运算及其几何意义. ? 基础知识(1)三角形法则和平行四边形法则 (2)向量模的性质 (3)向量运算的交换律和结合律 二、讲解新课:向量的减法 1.用“相反向量”定义向量的减法: (1)“相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量。记作 ?a (2)规定:零向量的相反向量仍是零向量。?(?a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a + b = 0 (3)向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差。 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 3.求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法:在平面内取一点 O, 作 OA = a,

OB = b, 则 BA = a ? b

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量。 探索:若 a∥b 如何作 a ? b a a?b a?b O B -b A O A B b a?b a a?b O O b B A ?b B
4

A

三、讲解范例: 例 1 已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d。

例 2 平行四边形 ABCD 中, AB ? a , AD ? b ,用 a , b 表示向量 AC 、 DB 。 变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直? 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|? 变式三:a+b 与 a?b 可能是相当向量吗? 例 3 化简下列各式:

??? ? ???? ??? ? (1) AB ? AC ? DB ??? ? ??? ? ???? ??? ? (2) AB ? BC ? AD ? DB

四、课堂练习: 课本 87 页练习 1,2,3 五、课堂小结 1. 相反向量 2. 向量减法的定义 3. 减法的三角形法则 六、作业:习题 5.2 6~8.

5

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 教学目标 1.掌握向量的数乘的定义,理解向量的数乘的几何意义; 2.掌握向量的数乘的运算律; 3.理解两个向量共线的充要条件,能够运用共线条件判定两向量是否平行 4. 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比, 使学生掌握向量数乘运算的分配律和结合 律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点 掌握向量数乘的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 教学难点 对向量共线的充要条件的理解 教学方法 探究引导式 教学过程 一、复习引入: 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向. 2.向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母 a、b等表示; 3.零向量、单位向量概念:①长度为 0 的向量叫零向量, ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 4.平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平行.向量 a、b、c平行,记作 a∥b∥c. 5.相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量. 7.向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法。 向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 8.向量加法的交换律: a + b = b + a 9.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 10.向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差。即:a ? b = a + (?b) 11.差向量的意义: OA = a,

OB = b, 则 BA = a ? b

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量。 二、讲解新课: 1.示例:已知非零向量 a ,作出 a + a + a 和(? a )+(? a )+(? a )

?

? ? ?

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?

?

? ? ? ? OC = OA ? AB ? BC = a + a + a =3 a ? ? ? ? PN = PQ ? QM ? MN =(? a )+(? a )+(? a )=?3 a ? ? ? ? ? ? ? ? (1)3 a 与 a 方向相同且|3 a |=3| a |; (2)?3 a 与 a 方向相反且|?3 a |=3| a | ? ? 2.向量的数乘的定义:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a . 规定:
6

(1)|λ a |=|λ || a | (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 3.运算定律 结合律:λ (μ a )=(λ μ) a

?

?

?

?

?

?

?

?

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① ② ③

? ? ? 第一分配律:(λ +μ) a =λ a +μ a ? ? ? ? 第二分配律:λ ( a + b )=λ a +λ b
4.向量共线的充要条件

若有向量 a ( a ? 0 )、 b ,实数λ ,使 b =λ a ,则 a 与 b 为共线向量。 若 a 与 b 共 线 ( a ? 0 ) 且 | b | : | a |=μ , 则 当 a 与 b 同 向 时 b =μ a ; 当 a 与 b 反向时 b =?μ a 。从而得 向量共线定理 向量 b 与非零向量 ....a 共线的充要条件是:有且只有一个实数λ ,使 b =λ

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? a。
三、讲解范例: 例 1 计算: (1) (-3)×4a ; (2) 3(a+b)-2(a-b)-a; (3) (2a+3b-c)-(3a-2b+c) 例 2 若 3m+2n=a,m-3n=b,其中 a,b是已知向量,求m, n. 例 3 如图,已知 AD ? 3AB, DE ? 3BC. 试判断 AC与AE 是否共线.
A

E

????

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

C B

D

例 4 判断向量 a=-2e 与b=2e 是否共线? 例 5 如图

? ? ABCD 的两条对角线交于点 M, 且 AB = a ,AD = b ,

? ? 用 a , b 表示 MA , MB , MC 和 MD
四、课堂练习: 课本 90 页练习 1-6 五、作业:习题 5.3 1. 2.(2) (4) (5) 4. 5.
7

? ? ? ? ? ? ? ? 1. a ? b 与 a ? b 、 a ? b 与 a ? b 有何关系?什么时候等号成立?
2.如图: O 是正方形 ABCD 的中心,求下列各式的值 ??? ? ① AB + BC ② AB - AC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3. a 为非零向量,试求 ? a ? a ? a ? a 和 a ? a ? a ? a ? a 的值. 二、讲授新课: 1. 教学向量的数乘运算: ? ? ① 向量的数乘:求实数 ? 与向量 a 的乘积的运算叫向量的数乘,记作: ? a ? ? ? 规定:(Ⅰ) ? a 仍然是个向量 (Ⅱ)、 ? a ? ? a ? ? ? ? (Ⅲ) 当 ? ? 0 时向量 ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? ? 0 时,向量 ? a 与 a 的方向 相反, ? ? 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 ? ? ? ? ? ? ② 练习: a 为单位向量,试求 3(a ) 、 2a 、 6a 、 2(3(a)) 的值:变式: a 为非零向量. ? ? ③ 讨论验证下列等式: ? 、 ? 为实数, a 、 b 为向量. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ ? ( ? a ) ? (?? )a ⑵ (? ? ? )a ? ? a ? ? a ⑶ ? (a ? b) ? ? a ? ?b (数乘运算满足交换律、结合律、分配律) 2、教学例题: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 例 5: 计算: ⑴ (?3) ? 4a ⑵ 3( a ? b )? 2 a (? b ) ? a ⑶ (2a ? 3b ? c) ? 2(3a ? 2b ? c) (去括号,实数与实数运算后再与向量运算) ? ? ? ? ? ? ② 定理:向量 a 与 b 共线( b ? 0 ) ,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 ? a ? b . ③ 出示例题 6: (分析:三点可分共线与不共线两种情形,可以通过判断以这三点为端点 的向 量是否共线来判断点是否共线) D ④ 定义线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. ? ? ⑤ 出示例题 7. (先找出与 a 、 b 向量共线的向量,再利用定理) O ⑥ 练习:如图,试用向量方法证明:对角线互相平分的四 边形是平行四边形 ? ? ? ? ? ? 3.小结:向量的数乘运算;两向量 a(a ? 0) 与 b 共线满足 ? a ? b A B 三、巩固练习 1. 计算: (1) 2(2a ? b ? c) ? 6(3a ? b ? c) (2) (a ? b) ? 2(a ? b) ? a 4? 3 2 3 ? ? ? ? 2. 已知向量,求作向量 c ,使 a ? b ? c ? 0 ,表示的有向线段能构成三角形吗?

C

?

3? ?

?

2? ?

1 ? ?

? ?

2?

? ??? ? 1 ??? 2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 4.在三角形 ABC 中, AE ? AB , EF ∥ BC 交 AC 于 F 点,试用 AB 、 AC 表示 BF . 5
3.求证:M 是线段 AB 的中点,对于任意一点 O,都有 om ? (OA ? OB) 5.作业:课本第 100 页第 4、5 题.

??? ?

8


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