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数学文卷·2015届吉林省吉林一中高二上学期期末考试(2014.01)


绝密★启用前

吉林一中 2013--2014 学年度上学期高二期末考试

数学文测试试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 四 五 总分

第 I 卷(选择题)

请修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、单项选择

1. 已知函数 ( )

若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是

2. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的

y 2 x2 + = 1 ( a > b > 0 )焦点与顶点,若双 a 2 b2
1 2

曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为 A.

1 3 3 3

B.

C.

D.

2 2
它的一个焦点在抛

3. 已知双曲线
2

(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 ).

物线 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为(

4. 若 抛 物 线 y 2 = 2 px 的 焦 点 与 双 曲 线 ( )

x2 y 2 ? =1 的右焦点重合,则 p 的值为 2 2

第 1 页 共 12 页

A. ?2 5. (

B. 2
2

C. ?4

D. 4

)双曲线

x ? y 2 = 1 的焦点坐标是 3

A. ± 2,0 B. 0, ± 2 6. 二 项 式 ( ax ? ( A. 3 ) B.

(

)

(

)

C. ( ±2,0 )

D. ( 0, ±2 )

3 3 3 ,则 ) 的展开式的第二项的系数为 ? 6 2 7 3
D. 3 或 ?



a

?2

x 2 dx

的值为

7 3

C. 3 或

10 3
(a > b > 0) 上的一点, 且 ). =0,

7. 若 P 是 以 F1 , F2 为 焦点的椭圆 则此椭圆的离心率为(

8. O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y 2 = 4 2 x 的焦点, P 为 C 上一点,若 | PF |= 4 2 ,则

?POF 的面积为 (
A. 2



B. 2 2 C. 2 3 D. 4

9. 函数 y = cos 2 x 在点 ( A. 4 x + 2 y + π = 0 C. 4 x ? 2 y ? π = 0

π , 0) 处的切线方程是( 4

)

B. 4 x + 4 y ? π = 0 D. 4 x + 2 y ? π = 0

x2 y2 10. 点 P 是双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 左支上的一点,其右焦点为 F ( c,0) ,若 M 为 a b
线 段 FP 的 中 点 , 且 M 到坐标原 点的 距离为 ( A. (1,8] ) B. ? 1, ? ? 3?

c , 则双曲线的 离心率 e 的取值范围是 8

? 4?

C. ( , )

4 5 3 3

D. ( 2,3]

11. 过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作倾斜角为 135°的直线交抛物线于 A,B 两点,则弦 AB 的长为( ) A、4 B、8 C、12 D、16 12. 设 点 P 是双曲线

x2 y 2 2 ? = 1 右支 上一 动 点, M , N 分别是圆 ( x + 4 ) + y 2 = 1 和 9 7


( x ? 4)

2

+ y 2 = 1 上的动点,则 PM ? PN 的取值范围是(
第 2 页 共 12 页

A. [ 4,8]

B. [ 2,6]

C. [ 6,8]

D. [8,12]

第 II 卷(非选择题)
请修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13. 若函数

在[1,+∞)上的最大值为

,则 a 的值为________.

x2 14. 双 曲 线 ? y 2 = 1(n > 1) 的 两 个 焦 点 为 F1 , F2 , P 在 双 曲 线 上 , 且 满 足 n PF1 + PF2 = 2 n + 2 ,则 V PF1F2 的面积为
15. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x = ?2 ,则抛物线的方程是 16. 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点作直线交抛物线于 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 两点,若

x1 + x2 = 2,| PQ |= 4 ,则抛物线方程是
评卷人 得分 三、解答题

17. 已知函数 f ( x) = a ( x 2 + 1) + ln x . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若对任意 a ∈ (?4,?2) 及 x ∈ [1,3] 时,恒有 ma ? f ( x ) > a 2 成立,求实数 m 的取值范 围. 18. 已知函数 f ( x) = 4 x3 ? 3 x 2 sin θ +
3 4
1 ,其中 x ∈ R , θ ∈ [0, π ] . 32

(1)若函数 f ′( x) 的最小值为 ? ,试判断函数 f ( x ) 的零点个数,并说明理由; (2)若函数 f ( x ) 极小值大于零,求 θ 的取值范围. 19. 已知 f ( x ) = a ln( x ? 1) , g ( x) = x 2 + bx , F ( x ) = f ( x + 1) ? g ( x ) ,其中 a, b ∈ R . (I)若 y = f ( x ) 与 y = g ( x) 的图像在交点(2, k )处的切线互相垂直,求 a , b 的值; (II)若 x = 2 是函数 F ( x ) 的一个极值点, x0 和 1 是 F ( x ) 的两个零点,且

x0 ∈( n, n + 1) n ∈ N ,求 n ;
第 3 页 共 12 页

(III)当 b = a ? 2 时,若 x1 , x 2 是 F ( x ) 的两个极值点,当| x1 - x 2 |>1 时,求 证:| F ( x1 ) - F ( x ) |>3-4 ln 2 .

20. 已知函数 f1 ( x ) = e| x ? a| , f 2 ( x ) = ebx . (I)若 f ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) ? bf 2 (? x) ,是否存在 a,b ∈ R,y=f(x)为偶函数.如果 存 在.请举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由; 〔II)若 a=2,b=1.求函数 g ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) 在 R 上的单调区间; (III )对于给定的实数 的取值范围. 21. 已知函数 f ( x ) = x 3 ? (2a + 1) x 2 + ( a 2 + a ) x . 3 2 (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x = 1 处取得极大值, 求实数 a 的值; (Ⅱ)若 a > ?1 , 求 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最大值. 22. 设椭圆 C : 成立.求 a

1

1

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A ,过点 a 2 b2

uuuur uuuu r r A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ,且 2 F1 F2 + F2 Q = 0 .
(1) 求椭圆 C 的离心率;(2) 若过 A 、Q 、F2 三点的圆恰好与直线 l :x ? 3 y ? 3 = 0 相切,求椭圆 C 的方程;
参考答案 一、单项选择 1.【答案】A 【解析】 2.【答案】D 【解析】 3.【答案】B

【解析】由题意可知 4.【答案】D

,因此选 B.

第 4 页 共 12 页

【解析】

5.【答案】C. 【解析】 由于 c = a 2 + b 2 = 2, 所以此双曲线的两个焦点坐标分别为(-2,0),(2,0). 6.【答案】C 【解析】 7.【答案】A 【解析】 8.【答案】C 【解析】 9.【答案】D 【解析】 10.【答案】B 【解析】 11.【答案】D 【解析】 12.【答案】A 【解析】 二、填空题 13.【答案】

【解析】 时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当 x= ∴ 14.【答案】1 【解析】 15.【答案】 y 2 = 8 x 【解析】 16.【答案】 y 2 = 4 x 【解析】 三、解答题

当 x> 时,

时, f′(x)<0, f(x)单调递减; 当-

<x <

不合题意,

17.【答案】解: (Ⅰ) f ′( x) = 2ax +

1 2ax2 + 1 = ( x > 0) x x

第 5 页 共 12 页

①当 a ≥ 0 时,恒有 f ′( x ) > 0 ,则 f ( x ) 在 (0,+∞ ) 上是增函数; ②当 a < 0 时,当 0 < x <

?

1 1 ) 上是增函数; 时, f ′( x ) > 0 ,则 f ( x ) 在 (0, ? 2a 2a

当x >

?

1 1 ,+∞) 上是减函数 时, f ′( x ) < 0 ,则 f ( x ) 在 ( ? 2a 2a 1 ) 上是增 2a

综上,当 a ≥ 0 时, f ( x ) 在 (0,+∞ ) 上是增函数;当 a < 0 时, f ( x ) 在 (0, ?

函数, f ( x ) 在 ( ?

1 ,+∞) 上是减函数. 2a

(Ⅱ)由题意知对任意 a ∈ (? 4,?2) 及 x ∈ [1,3]时, 恒有 ma ? f ( x ) > a 2 成立,等价于 ma ? a 2 > f ( x )max 因为 a ∈ (? 4,?2) ,所以

2 1 1 < ? < <1 4 2a 2

由(Ⅰ)知:当 a ∈ (? 4,?2) 时, f ( x ) 在 [1,3]上是减函数 所以 f ( x) max = f (1) = 2a 所以 ma ? a 2 > 2a ,即 m < a + 2 因为 a ∈ (? 4,?2) ,所以 ? 2 < a + 2 < 0 所以实数 m 的取值范围为 m ≤ ?2 【解析】 18.【答案】解: (1) f ′( x) = 12 x 2 ? 6 x sin θ , 当x=
sin θ 3 时, f ′( x) 有最小值为 f ′( x) = ? sin 2 θ , 4 4 3 4 3 4

所以 ? sin 2 θ = ? ,即 sin 2 θ = 1 , 因为 θ ∈ [0, π ] ,所以 sin θ = 1 , 所以 f ′( x) = 12 x 2 ? 6 x , 所以 f ( x ) 在 (0, ) 上是减函数,在 (?∞, 0) , ( , +∞ ) 上是增函数,
1 2 1 2

第 6 页 共 12 页

而 f (0) =

1 1 7 >0, f( )=? <0, 32 2 32

故函数 f ( x ) 的零点个数有 3 个; (2) f ′( x) = 12 x 2 ? 6 x sin θ ,令 f ′( x ) = 0 ,得 x1 = 0, x2 = 函数 f ( x ) 存在极值, sin θ ≠ 0 , 由 θ ∈ [0, π ] 及(I) ,只需考虑 sin θ > 0 的情况. 当 x 变化时, f ′( x) 的符号及 f ( x ) 的变化情况如下表:
sin θ , 2

x
f ′( x) f ( x)

(?∞, 0)

0 0 极大值

(0,

sin θ ) 2

sin θ 2

(

sin θ , +∞) 2

+ ↗

- ↘

0 极小值

+ ↗

因此,函数 f ( x ) 在 x = 要使 f (

sin θ sin θ 1 1 处取得极小值 f ( ) = ? sin 3 θ + , 2 2 4 32

sin θ 1 1 1 ) > 0 ,必有 ? sin 3 θ + > 0 可得 0 < sin θ < , 2 2 4 32
π 6 5π ,π ) . 6

所以 θ 的取值范围是 θ ∈ (0, ) U ( 【解析】 19.【答案】(I) f ′( x ) = 由题知 ?

a , g ′( x ) = 2 x + b x ?1

? f (2) = g (2) ?0 = 4 + 2b ,即 ? ? f ′(2) ? g ′(2) = ?1 ?a(4 + b) = ?1

1 ? ?a = ? 解得 ? 2 ? ?b = ?2
(II) F ( x ) = f ( x + 1) ? g ( x ) = a ln x ? ( x 2 + bx) , F ′( x ) =

a ? 2x ? b x

?a ? F ′(2) = 0 ? ?4?b = 0 由题知 ? ,即 ? 2 解得 a =6, b =-1 F ( 1 ) = 0 ? ? ?1 + b = 0
∴ F ( x ) =6 ln x -( x 2 - x ), F ′( x ) =

6 ? ( 2 x + 3)( x ? 2) ? 2x + 1= x x

∵ x >0,由 F ′( x ) >0,解得 0< x <2;由 F ′( x ) <0,解得 x >2 ∴ F ( x ) 在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减,
第 7 页 共 12 页

故 F ( x ) 至多有两个零点,其中 x1 ∈(0,2), x 2 ∈(2, +∞) 又 F ( 2) > F (1) =0, F (3) =6( ln 3 -1)>0, F ( 4) =6( ln 4 -2)<0 ∴ x0 ∈(3,4),故 n =3 (III)当 b = a ? 2 时, F ( x ) = a ln x ? [ x 2 + (a ? 2) x] ,

F ′( x ) =

a ? ( 2 x + a )( x ? 1) , ? 2 x ? ( a ? 2) = x x

由题知 F ′( x ) =0 在(0,+∞)上有两个不同根 x1 , x 2 ,则 a <0 且 a ≠-2,此时 F ′( x ) =0 的两 根为-

a ,1, 2

由题知|-

a2 a + a +1>1, a 2 +4 a >0 -1|>1,则 2 4
a >1 2

又∵ a <0,∴ a <-4,此时-

则 F ( x ) 与 F ′( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
F ′( x ) F ( x)

(0,1) -

1 0 极小值

(1, +

a ) 2

0

a 2

(-

a ,+∞) 2

极大值

∴| F ( x1 ) - F ( x ) |= F ( x ) 极大值- F ( x ) 极小值=F(= a ln( ―

a )―F(1) 2

a 1 2 )+ a ―1, 2 4 a 1 a 1 设 ? ( a ) = a ln(? ) + a 2 ? 1 ,则 ? ′( a ) = ln(? ) + a + 1 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 , ? ′′( a ) = + ,∵ a <-4,∴ >― ,∴ ? ′′( a ) = + >0, a 2 a 4 a 2
∴ ? ′( a ) 在(―∞,―4)上是增函数, ? ′( a ) < ? ′( ?4) = ln 2 ? 1 < 0 从而 ? ( a ) 在(―∞,―4)上是减函数,∴ ? ( a ) > ? ( ?4) =3-4 ln 2 所以| F ( x1 ) - F ( x ) |>3-4 ln 2 .

【解析】
第 8 页 共 12 页

20.【答案】解: (Ⅰ)存在 a = 0, b = ?1 使 y = f ( x ) 为偶函数,
?x x 证明如下:此时: f ( x) = e + e + e , x ∈ R x

∴ f (? x) = e

?x

+ e x + e ? x = f ( x) ,∴ y = f ( x) 为偶函数。

(注: a = 0, b = 0) 也可以) (Ⅱ)Q g ( x) = e
x ?2
x?2 x ? ?e + e + e x = ? 2? x x ? ?e + e

( x ≥ 2) ( x < 2)



①当 x ≥ 2 时 g ( x) = e x ? 2 + e x ,∴ g ' ( x) = e x ? 2 + e x > 0

∴ y = g ( x ) 在 [2,+∞) 上为增函数。
②当 x < 2 时 g ( x) = e 2 ? x + e x , 则 g ' ( x) = ?e 2 ? x + e x ,令 g ' ( x) = 0 得到 x = 1 , (ⅰ)当 x < 1 时 g ' ( x) < 0 ,∴ y = g ( x ) 在 (? ∞,1) 上为减函数。 (ⅱ) 当 1 ≤ x < 2 时 g ' ( x) > 0 ,∴ y = g ( x ) 在 (1,2 ) 上为增函数。 综上所述: y = g ( x ) 的增区间为 [1,+∞ ) ,减区间为 (? ∞,1) 。 (Ⅲ)Q f1 ( x) ? f 2 ( x0 ) < 1 ,∴ f 2 ( x0 ) ? 1 < f1 ( x) < f 2 ( x0 ) + 1

∴ ?x0 ∈ [0,1]对?x ∈ [0,1] , f 2 ( x0 ) ? 1 < f1 ( x) < f 2 ( x0 ) + 1 成立。
即: ?

? f 2 ( x) min ? 1 < f1 ( x) min ? f 2 ( x) max + 1 > f1 ( x) max

①当 b ≥ 0 时, f 2 ( x) 为增函数或常数函数,∴ 当 x ∈ [0,1] 时

∴ f 2 ( x ) min = f 2 (0) = 1 ,

f 2 ( x ) max = f 2 (1) = e b

Q f1 ( x) = e

x ?a

>0

∴ f 2 ( x) min ? 1 = f 2 (0) ? 1 = 0 < f1 ( x) min 恒成立。
∴ e b + 1 > e1? a

1 当 a ≤ 时 f1 ( x ) max = f1 (1) = e1? a 2

∴ a > 1 ? ln(eb + 1)
1 2

Q ln(e b + 1) ≥ ln 2 > ln e = 1? ? ∴ a ∈ ?1 ? ln(e b + 1), ? 2? ?

1 2

∴1 ? ln(e b + 1) <

第 9 页 共 12 页

1 当 a > 时 f1 ( x) max = f1 (0) = e a 2

∴ eb + 1 > ea

∴ a < ln(e b + 1)

Q ln(e b + 1) ≥ ln 2 > ln e = ?1 ? ∴ a ∈ ? , ln(e b + 1) ? ?2 ?
综上所述:∴ a ∈ 1 ? ln(e b + 1), ln(eb + 1) ② 当

1 2

(

)
[0 , 1] 上 为 减 函 数 ,

b<0





f 2 ( x)



∴ f 2 ( x ) max = f 2 (0) = 1 ,

f 2 ( x ) min = f 2 (1) = e b

Q f1 ( x) = e

x?a

> 0,

eb ? 1 < e0 ? 1 = 0

∴ f 2 ( x) min ? 1 < f1 ( x) min 恒成立。 ∴ a > 1 ? ln 2

1 当 a ≤ 时 f1 ( x ) max = f1 (1) = e1? a 2 1? ? ∴ a ∈ ?1 ? ln 2, ? 2? ? 1 当 a > 时 f1 ( x) max = f1 (0) = e a 2 ?1 ? ∴ a ∈ ? , ln 2 ? ?2 ?
综上所述:∴ a ∈ (1 ? ln 2, ln 2)

∴ f 2 ( x ) max + 1 = 2 > e1? a

∴ 2 > ea

∴ a < ln 2

由①②得当 b ≥ 0 时, a ∈ 1 ? ln(e b + 1), ln(eb + 1) ; 当 b < 0 时, a ∈ (1 ? ln 2, ln 2) . 【解析】 21.【答案】 (Ⅰ)因为 f ′( x ) = x 2 ? (2a + 1) x + (a 2 + a )
= ( x ? a )[ x ? ( a + 1)]

(

)

令 f ′( x ) = 0 ,得 x1 = (a + 1) , x2 = a
′ 所以 f ( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x )

( ?∞, a )

a
0

( a , a + 1)

a +1
0

( a + 1, +∞ )

+

?

+

第 10 页 共 12 页

f ( x)

Z

极大值

]

极小值

Z

所以 a = 1 (II) 因为 a > ?1, 所以 a + 1 > 0, 当 a ≥ 1 时, f ′( x ) ≥ 0 对 x ∈ [0,1] 成立 所以当 x = 1 时, f ( x ) 取得最大值
f (1) = a 2 ? 1 6

′ 当 0 < a < 1 时, 在 x ∈ (0, a ) 时, f ( x ) > 0 , f ( x ) 单调递增

在 x ∈ ( a,1) 时, f ′( x ) < 0 , f ( x ) 单调递减 所以当 x = a 时, f ( x ) 取得最大值
1 1 f (a ) = a 3 + a 2 3 2

当 a = 0 时, 在 x ∈ (0,1) 时, f ′( x ) < 0 , f ( x ) 单调递减 所以当 x = 0 时, f ( x ) 取得最大值 f (0) = 0
′ 当 ?1 < a < 0 时,在 x ∈ (0, a + 1) 时, f ( x ) < 0 , f ( x ) 单调递减

在 x ∈ ( a + 1,1) 时, f ′( x ) > 0 , f ( x ) 单调递增 又
f (0) = 0, f (1) = a 2 ? 1 6,



?1 < a < ?

6 1 f (1) = a 2 ? f ( x ) 6 时, 6 在 x = 1 取得最大值



?

6 <a<0 6 时, f ( x ) 在 x = 0 取得最大值 f (0) = 0 6 6 时, f ( x ) 在 x = 0 , x = 1 处都取得最大值 0 .



a=?

综上所述, 当 a ≥ 1或
?1 < a < ? 6 1 f (1) = a 2 ? f ( x ) 6 时, 6 取得最大值 1 1

f (a ) = a 3 + a 2 f ( x ) 0 < a < 1 3 2 时, 取得最大值 当 a=? 6 6 时, f ( x ) 在 x = 0 , x = 1 处都取得最大值 0



第 11 页 共 12 页



?

6 <a≤0 6 时, f ( x ) 在 x = 0 取得最大值 f (0) = 0 .

【解析】

1 x2 y2 22.【答案】 (1) e = ; (2) + =1 2 4 3 。

(1)设 Q(x0,0) ,由 F2 (c,0) ,A(0,b) 知 F2 A = (?c, b), AQ = ( x0 ,?b)

Q F2 A ⊥ AQ,∴ ?cx0 ? b 2 = 0, x0 = ?

b2 , c

由于 2 F1 F2 + F2 Q = 0 即 F1 为 F2Q 中点.

b2 故? + c = ?2c ∴ b 2 = 3c 2 = a 2 ? c 2 , c
故椭圆的离心率 e =

1 2

(2)由⑴知

c 1 1 1 3 = , 得 c = a 于是 F2 ( a ,0) Q (? a,0) , a 2 2 2 2 1 1 a ,0) ,半径 r= |FQ|= a 2 2

△AQF 的外接圆圆心为 F1(-

1 | ? a ?3| 所以 2 = a ,解得 a =2,∴c =1,b= 3 , 2
所求椭圆方程为 【解析】

x2 y2 + =1 4 3

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