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【二轮精品】2015高考数学(文)专题专练:专题一 第三讲 函数与方程及函数的实际应用 Word版含解析


数学(文科) 班级:__________________ 姓名:__________________

第一部分
专题一

知识复习专题

集合、常用逻辑用语、函数与导数

第三讲

函数与方程及函数的实际应用

题号 答案

1

2

3

一、选择题 1.已知 0<a<1,则函数 y=a|x|-|logax|的零点的个数为( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

答案:B

2.方程 log4x+x=7 的解所在区间是(

)

A.(1,2) B.(3,4) C.(5,6) D.(6,7)

解析:构造函数 F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-2<0,F(6)= log46-1>0,F(x)在(5,6)内有零点,即 log4x+x-7=0 在(5,6)内有 解.
-1-

答案:C 3.方程 mx2+2(m+1)x+m+3=0 仅有一个负根,则 m 的取值范 围是( )

A.(-3,0) B.[-3,0) C.[-3,0] D.[-1,0] 3 解析:当 m=0 时,由原方程得 x=- <0 成立,排除选项 A,B; 2 4 当 m=-3 时,原方程变为-3x2-4x=0,两根为 x1=0,x2=- ,也 3 符合题意,故选 C. 答案:C

二、填空题 4.下表是函数 f(x)在区间[1,2]上一些点的数值. x f(x ) x f(x ) 1 -2 1.5 0.625 1.25 - 0.984 1.625 1.982 1.375 - 0.260 1.75 2.645 1.406 5 1.438 - 0.052 1.875 4.35 0.165 2 6

由此可判断,方程 f(x)=0 的一个近似解为________. (精确度 0.1,且近似解保留两位有效数字)

解析:∵f(1.438)· f(1.406 5)<0,且|1.438-1.406 5|=0.031 5<0.1, ∴f(x)=0 的一个近似解为 1.4. 答案:1.4

-2-

5.如图, 将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四 边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱 柱容器的底面边长为____________时,其容积最大.

1 解析:设正六棱柱容器的底面边长为 x,高为 d,则 d= 3× (1 2 1 3 3 -x);又底面六边形面积为:S=6··x2·sin 60°= x2, 2 2 ∴V=Sd= 3 3 3 9 9 x2· (1-x)= (x2-x3),对 V 求导,则 V′= (2x 2 2 4 4

2 -3x2),令 V′=0,解得 x=0 或 x= , 3 2 2 当 0<x< 时,V′>0,V 是增函数;当 x> 时,V′<0,V 是 3 3 2 减函数.∴x= 时,V 有最大值. 3 答案: 2 3

6.若关于 x 的方程 3x2-5x+a=0 的一个根在(-2,0)内,另一 个根在(1,3)内,则 a 的取值范围为________.

解析:设 f(x)=3x2-5x+a,

-3-

f(-2)>0, 22+a>0, ? ? ?f(0)<0, ?a<0, 则? ?? f(1)<0, -2+a<0, ? ? ?f(3)>0 ?12+a>0. 解得-12<a<0. 答案:(-12,0)
? ?x2-2,x≤0, 7 . (2014· 福建卷 ) 函数 f(x) = ? 的零点个数是 ?2x-6+ln x,x>0 ?

________.

解析:令 x2-2=0 得,x=± 2,只有 x=- 2符合题意; 令 2x-6+ln x=0 得,6-2x=ln x,在同一坐标系内,画出 y=6 -2x,y=ln x 的图象,观察知交点有 1 个,所以零点个数是 2 个.

答案:2

8.方程 2-x+x2=3 的实数解的个数为________.

?1?x ?1?x 解析:方程变形为 3-x2=2-x=?2? ,令 y1=3-x2,y2=?2? . ? ? ? ?
-4-

如图所示,由图象可知有 2 个交点.

答案:2

三、解答题 9.将一张 2×6 米的硬钢板按图纸的要求进行操作:沿线裁去阴 影部分,把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(⑦为底,① ②③④为侧面,⑤+⑥为水箱盖,其中①与③,②与④分别是全等的 矩形,且⑤+⑥=⑦),设水箱的高为 x 米,容积为 y 立方米.

(1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)如何设计 x 的大小,可使得水箱的容积最大?

6-2x 解析:(1)依题意水箱底的宽为(2-2x)米,长为 =(3-x) 2 米.则水箱的容积 y=(2-2x)(3-x)· x=2x3-8x2+6x(0<x<1),即 y 关于 x 的函数关系式为 y=2x3-8x2+6x(0<x<1). (2)y=2x3-8x2+6x(0<x<1), ∴y′=6x2-16x+6.
-5-

令 y′=6x2-16x+6=0, 得 x= 4- 7 4+ 7 或 x= (舍去), 3 3 4- 7 时,y′>0,函数单调递增; 3

当 0<x< 当

4- 7 <x<1 时,y′<0,函数单调递减. 3 4- 7 时,函数 y=2x3-8x2+6x(0<x<1)取得最大值,即 3 4- 7 米时,容积最大. 3

∴当 x=

设计水箱的高为

10.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支 持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用 的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨, 月处理成本 y(单位:元)与月处理量 x(单位:吨)之间的函数关系可近 1 似的表示为:y= x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利 2 用的化工产品价值为 200 元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最 低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求最大利润;如果不获利, 则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?

y 1 解析: (1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为 = x+ x 2 80 000 -200≥2 x 1 80 000 x· -200=200, x 2
-6-

1 80 000 当且仅当 x= ,即 x=400 时,等号成立. x 2 ∴当月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最 低成本为 200 元. (2)设该单位每月获利为 S,
?1 ? 则 S=200x-y=200x-?2x2-200x+80 000? ? ?

1 =- x2+400x-80 000 2 1 =- (x-400)2,x∈[400,600]. 2 ∵x∈[400,600], ∴x=400 时,S 取值最大值为 0. 因此,该单位不能获利,最多能收支平衡.

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