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江西省南昌市10所省重点中学命制2013届高三第二次模拟突破冲刺数学试题(五)含答案


南昌市 10 所省重点中学命制 2013 届高三第二次模拟突破冲刺 (五) 数学试题
一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U={l,2,3,4,5},集合 A={l,2.4},集合 B={l,5},则 A ?? B ( U A.{2,4} B.{1,2,4} C.{2,3,4,5} D.{l,2,3,4,5} )

【解析】 ? B ? {2,3, ,所以 A ?? B ? {2, 4} ,选 A. 4} U U

i 的虚部是( ) 1? i 1 1 1 1 A. i B. ? i C. D. ? 2 2 2 2 i 1 1 【解析】 = ? i ,选 C. 1? i 2 2 3. 设 a ,b,c 分 别 △ ABC 是 的 三 个 内 角 A, B ,C 所 对 的 边 , 若
2. i 是虚数单位,则

a ? 1, b ? 3, 则A ? 30? 是B = 60? 的(

) A.充分不必要条件; B.必要不充分条件; C.充要条件; D.既不充分也不必要条件;

A 【 解 析 】 若 a ? 1, b ? 3, A ? 30? , 由 正 弦 定 理 得 s i nB ? b s i n ? a

3 a ? b B? ?6 0 , , 或 2

B ? 120?
反之, a ? 1, b ? 3, B ? 60? 则 sin A ? a sin B ? 1 ,a ?b, A ? 30 ,故选 B
?

b

2

4.下列有关命题的说法正确的是(
2


2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” B.命题“ ?x ? R, x 2 ? x ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? x ?1 ? 0 ” C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为假命题 D.若“p 或 q”为真命题,则 p,q 至少有一个为真命题
2 2 【解 析】“若 x ?1 , 则 x ? 1 ”的 否命题 为“若 x ?1 , 则 x ? 1 ”,所以 A 错误。

2 2 “ ?x ? R, x ? x ?1 ? 0 ” 的 否 定 是 “ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ” 所 以 B 错 误 。 若 x ? y , 则

sinx ? sin y ,原命题正确,所以若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题,所以 C
错误。D 正确,选 D.

1

5.(文科)若 ?an ? 为等差数列, S n 是其前 n 项的和,且 S11 ? A. 3 【解析】 B. ? 3 C. ? 3

22 ? ,则 tana6 =(C ) 3
D. ?

11(a1 ? a11 ) 22 2 ? 11a6 ? ? , a6 ? ? ,选 C. 2 3 3
1 x

3 3

2 3 5(理科) 如果 ( ? x ) 的展开式中的常数项为 a ,则直线 y ? ax 与曲线 y ? x2 围成图形

的面积为( A.

) B. 9 C.

27 2

9 2

D.

27 4

k 3? k 2 k k 3 k ?3 【解析】展开式的通项为 Tk ?1 ? C3 ( ) ( x ) ? C3 x ,所以当 3k ? 3 ? 0 时, k ? 1 。

1 x

1 即常数项为 a ? C3 ? 3 ,所以直线方程为 y ? 3x ,由 ?

? y ? 3x ?y ? x
2

得 x ? 0 或 x ? 3 ,所以曲线

所围成图形的面积为

?

3

0

3 1 (3x ? x 2 )dx ? ( x 2 ? x 3 ) 2 3

3 0

?

9 ,选 C. 2

6. 如图是某几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角 形,则该几何体的体积是 ( )【解析】由三视图可知该几何体为正方体内部四棱锥

P ? ABCD (红线图形)。则正方体的边长为 2,所以 BC ? 2 2, OP ? 2 ,所以四棱锥
1 8 P ? ABCD 的体积为 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ,选 A. 3 3 2 x ? y 2 ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,在长轴 A1 A2 上任取一点 M ,过 M 作垂直于 7. 已知椭圆 4 ???? ???? ? A1 A2 的直线交椭圆于点 P ,则使得 PF1 ? PF2 ? 0 的点 M 的概率为( )

2 2 6 6 C. D. 3? 3 3 ???? ???? 【解析】 P( x, y) , PF ? PF2 ? 0 ? (? 3 ? x, ? y)? 3 ? x, ? y) ? 0 ? x2 ? 3 ? y 2 ? 0 , 设 则 1 (
A. B.

1 2

4 6 6 x 2 6 ? x2 ? 3 ? 1 ? ? 0 ? x ? ,概率为 3 ? ,选 D 4 3 4 3
2

8.已知函数 f ( x) ? ? A.1

?kx ? 2, x ? 0 ,若 k ? 0 ,则函数 y ?| f ( x) | ?1 的零点个数是 ?1nx, x ? 0
B. 4 C.3 D. 2

【解析】由 y ? f ? x ? ? 1 ? 0 ,得 f ( x) ?1 。若 x ? 0 ,则 f (x) ? ln x ? ,所以 ln x ? 1 1

2

或 ln x ? ?1 ,解得 x ? e 或 x ?

1 。若 x ? 0 ,则 f ( x) ? kx ? 2 ? 1,所以 kx ? 2 ? 1 或 e 1 3 kx ? 2 ? ?1 ,解得 x ? ? ? 0 或 x ? ? ? 0 成立,所以函数 y ?| f ( x) | ?1 的零点个数是 4 k k

个,选 B. 9.设 F 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,在 x 轴上 F 点的右侧有一点 A ,以 FA 为直径的 16 9

圆与双曲线左、右两支在 x 轴上方的交点分别为 M 、 N ,则

FN ? FM FA

的值为( C )

A.

2 5

B.

5 2

C.

4 5

D.

5 4

FN ? FM 1 x2 y 2 【 解 析 】 对 2 ? 2 ?1 有 ? ,特殊情形: A 为右焦点, a b FA e

R? F M A ? R t, ?N A ? F, t ? F M

FN ? FM FN ? AM 2a 1 ? ? 。选 C AN ? FA FA 2c e

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11 . 若 a ? ?1 , ? ?2 b, ? x? , 1c ? ? ?,

?

?

?

?

, 且2 (a ? b ) ? c , 则 1,

?

?

?

x=

.

【解析】因为 (a ? b ) ? c ? (1 ? x, ?1) ? (1,2) ? 0 ? x ?1 , 填1。 12. 若某算法流程图如右图所示,则该程序运行后输出 的 B 等于 。

?

?

?

【解析】第一次循环, B ? 2 ? 1 ? 3, A ? 1 ? 1 ? 2 ; 第 二 次 循 环 , B ? 2 ? 3 ? 1 ? 7, A ? 2 ? 1 ? 3 ; 第 三 次 循 环 ,

B ? 2 ? 7 ? 1 ? 15, A ? 3 ? 1 ? 4

;













3

B ? 2 ?15 ? 1 ? 31, A ? 4 ? 1 ? 5 ;第五次循环, B ? 2 ? 31? 1? 63,A ? 5? 1? 6;第六次循
环,满足条件 输出 B ? 63 。填 63

ì 2x - y 0 ? ? ? 13.已知变量 x、y,满足 í x - 2 y + 3 ? 0 ,则z ? ? x? 0 ? ? ?

1og 2 (2 x + y + 4) 的最大值为

【解析】 t ? 2 x ? y , y ?? 2x? t 。 设 则 做出不等式组对应的可行域如图为三角形 OBC 内。 做直线 y ? ?2 x ,平移直线 y ? ?2 x ,当直线 y ? ?2 x ? t 经过点 C 时,直线 y ? ?2 x ? t 的

截距最大,此时 t 最大,对应的 z 也最大,由 ?

?2 x ? y ? 0 ,得 x ? 1, y ? 2 。即 C (1, 2) 代 ?x ? 2 y ? 3 ? 0

入 t ? 2 x ? y 得 t ? 4 ,所以 z ? 1og2 (2x ? y ? 4) 的最大值为

z ? 1og2 (2x ? y ? 4) ? log2 (4 ? 4) ? log2 8 ? 3,填 3.
14(文科) 给出下列等式:
2 ? 2 c oπs, 4

2?

π, 2? 2 c o s 8

2?

2?

π 2? 2 c o s, …… 16

请从中归纳出第 n n? N* 个等式: 2 ? ??? 2 ? 2 ? ??? ??? ?
n个 2

? ?

? ?



【解析】易得第 n n? N* 个等式: 2 ? ??? 2 ? 2 ? 2cos ? 1 ; ??? ??? ? ?n?
n个 2

14.( 理科)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、 乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数为
4

【解析】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生则,从 4
3 人中先选 2 人一个班, 然后在分班, C4 A3 ? 36 种。 有 2 3 若甲乙两人分在一个班则有 A3 ? 6 种,

所以甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数为 36 ? 6 ? 30 种,填 30 15.(文科)若函数 y ? loga x(a ? 1) 的定义域和值域均为 ?m, n? ,则 a 的范围是
1

____ (1, e e ) ________。 【解析】方程 log a x ? x 有两个不同正根,函数 y ? loga x 和 y ? x 相切时 a ? e ,由对数 函数性质知 1 ? a ? e e 。填 (1, e e ) ( 理科 )三.选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按做的第一题 评阅计分,本题共 5 分。 (1).(坐标系与参数方程选做题)已知在极坐标系下,点 A ?1, 则 ?AOB 的面积等于_______; (2).(不等式选择题)关于 x 的不等式
1

1 e

1

? π ? ? 2π ? ? , B ? 3, ? , O 是极点, ? 3? ? 3 ?
____。

x ?1 x ?1 的解集是____ ? x ?1 x ?1

理科四、文科三:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ?? 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, A、 C 的对边分别为 a、 c, 角 B、 b、 向量 P = (sinA,b+c) ,

? (a-c,sinC-sinB) ,满足 q= ? n =(2k,cos2A) (k>1),

?? ? ? ? ? ? ? ? 1 p ? q = p ? q(Ⅰ 求角 B 的大小; Ⅱ 设 m = (C+ ) ) ) ( ) (sin , , 3 2 ?? ? m ? n 有最大值为 3,求 k 的值.

17. (理科) (本小题满分 12 分)PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等 于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,根据现行国家标准 GB3095 – 2012,PM2.5 日 均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米 ~ 75 毫克/立方米之间空气 质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标。从某自然保护区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测值数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本,监测值频数如下表所示: PM2.5 日均值 [25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] (微克/立方米) 频数 3 1 1 1 1 3

(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽取 3 天,求恰有 1 天空气质量达到一 级的概率; (2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据,记 ξ 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天 数, ξ 的分布列; 求 (3) 以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量状况, 则一年 (按 366 天算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。 (精确到整数)

17. (文科) (本小题满分 12 分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本,得频率分布表如下:

5

组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 合

分组 [230,235) [235,240) [240,245) [245,250) [250,255] 计

频数 8 ① 15 10 5 50

频率 0.16 0.24 ② 0.20 0.10 1.00

(1)写出表中① 位置的数据; ② (2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学 生进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数; (3)在(2)的前提下,高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生,求 2 人中至少有 1 名 是第四组的概率.

18. (文科) (本小题满分 12 分)长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AA ? 2 , AB ? BC ? 2 , 1 1

O 是底面对角线的交点. (Ⅰ 求证: B1D1 / / 平面 BC1D ; )
(Ⅱ 求证: AO ? 平面 BC1D ; ) 1 (Ⅲ 求三棱锥 A1 ? DBC1 的体积。 )

6

19.已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前三项和为 18,

an 是一个与 n 无关的常数,若 a2 n

(1)求 {bn } 的通项公式. (2)记数列 a1 , a3 , a9 恰为等比数列 {bn } 的前三项, 1 bn bn?1 , {cn } 的前三 n 项和为 Sn ,求证: S n ? 2n ? cn ? ? 3 bn ? cos 2012? bn?1 ? cos 2013?

20.(本小题满分 13 分)已知平面内一动点 P 到点 F (0,1) 的距离与点 P 到 x 轴的距离的 差等于 1. (I)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (II)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线

???? ??? ? l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A, B , l2 与轨迹 C 相交于点 D, E ,求 AD ? EB 的最小值.

2 21. 文科(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? a ln x ? bx ( x ? 0) 。 )若函数 f (x) 在 x ? 1 (Ⅰ

1 1 相切, 求实数 a , 的值; 求函数 f ( x)在[ , e] 上的最大值; )当 b ? 0 ① b ② (Ⅱ 2 e 3 2 时,若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? [0, ], x ? ?1, e 都成立,求实数 m 的取值范围。 2
处与直线 y ? ?

?

21.理科(本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? mx ,当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 取得极大 值. (Ⅰ )求实数 m 的值; )已知结论:若函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? mx 在区间 ( a, b) 内导数都 (Ⅱ 存在,且 a ? ?1 ,则存在 x0 ? (a, b) ,使得 f ?( x0 ) ?

?1 ? x1 ? x2 ,函数 g ( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x ? x1 ) ? f ( x1 ) ,则对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 x1 ? x2 f ( x) ? g ( x) ; (Ⅲ)已知正数 ?1 , ?2 , ?3 ,?, ?n , 满足 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ? ? ?n ? 1, 求证:当 n ? 2 , n ? N 时,对任意大于 ?1 ,且互不相等的实数 x1 , x2 , x3 ,?, xn ,都有

f ( b) ? f ( a ) .试用这个结论证明:若 b?a

f ??1 x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?n xn ? ? ?1 f ?x1 ? ? ?2 f ?x2 ? ? ? ? ?n f ?xn ?
7

8

参考答案

?? ? 1 1 1 ? m ? n =2ksin(C+ )+ cos2A=2ksin(C+B)+ cos2A=2ksinA+ cos 2 A 2 2 2 3 1 1 2 =- sin A +2ksinA+ =- (sin A ? k )2 ? k 2 + (k>1). ……8 分 2 2 ?? ? 1 7 2 而 0<A< ? ,sinA∈ (0,1],故当 sinA=1 时, m ? n 取最大值为 2k- =3,得 k= .……12 分 2 4 3
17(理科)解: 解: )记“从 10 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天 (Ⅰ
1 2 C3 ? C7 21 . ? 3 C10 40 (Ⅱ )依据条件, ? 服从超几何分布:其中 N ? 10, M ? 3, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1, 2,3 ,

空气质量达到一级”为事件 A , P( A) ?

其分布列为: P ?? ? k ? ?

3 C3k C7 ?k ? k ? 0,1, 2,3? 3 C10

?
P

0
7 24

1

2

3
1 120
7 ,一年中空气质 10 ? E? ?3 6 6 ? 0 . 7 2 5 6 ?2 ,2 5 6 ? .

21 40

7 40

(Ⅲ )依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ? 量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B(366,0.7) ?一年中平均有 256 天的空气质量达到一级或二级

17(文科)解: (1)① 的位置为 12,② 的位置为 0。30……4 分

6 1 ? ,所以第三、四、五组抽中的人数为 3、2、1……8 分 30 5 6 3 ? ……12 分 (3)设 2 人中至少有 1 名是第四组为事件 A,则 P ( A) ? 1 ? 15 5
(2)抽样比为
9

……4 分 18(文科)解:(Ⅰ 证明:依题意: B1D1 / / BD , ) 且 B1D1 在平面 BC1D 外.…2 分 ∴B1D1 / / 平面 BC1D ……3 分 (Ⅱ 证明:连结 OC1 ∵BD ? AC ) ∴BD ? 平面 ACC1 A1 …………4 分 又∵O 在 AC 上,∴AO 在平面 ACC1 A1 上 1 ∴ AO ? BD ……5 分 1 ∵ AB ? BC ? 2 ∴ AC ? AC1 ? 2 2 1 ∴OA ?

A A1 ? B D

2 ∴Rt?AAO 中, 1

A1O ? AA12 ? OA2 ? 2 …6 分
同理: OC1 ? 2 ∵?AOC1 中, AO2 ? OC12 ? AC12 1 1 1 ∴ AO ? OC1 1 …7 分,∴ AO ? 平面 BC1D ……8 分 1 (Ⅲ )解:∵AO ? 平面 BC1D ∴ 所求体积 1

1 1 1 1 4 2 V ? ? A1O ? ? BD ? OC1 ? ? 2 ? ? 2 2 ? 2 ? …12 分 3 2 3 2 3 18. 解:(1)由题意 AC ? 2 3, A1C1 ? 4 3 ,正三棱台高为 3 ……..2 分

S ?ABC ? 3 3, S ?A1B1C1 ? 12 3,VABC? A1B1C1 ? 21………..4 分
(2)设 O,O1 分别是上下底面的中心, E 是 BC 中点,F 是 B1C1 中点.以 O1 为原点,过 O1 平行 B1C1 的线为 x 轴建立空间直角坐标系 O1 ? xyz . C1 (?2 3,2,0) , C(? 3,1, 3) ,

E(0,1, 3) , A1 (0,?4,0) , B1 (2 3,2,0) , A1 E ? (0,1, 3) , A1 B1 ? (2 3,6,0) ,
设平面 EA B1 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,则 ? 1

?5 y ? 3 z ? 0 ?n ? A1 E ? 0 ? ? 即? ?n ? A1 B1 ? 0 ? 3 x ? 3 y ? 0 ? ?

取 n ? (?3, 3,?5) ,取平面 A1 B1C1 的一个法向 量 m ? (0,0,1) ,设所求角为 ? 则 cos? ?

m?n m?n

?

5 37 ……..8 分 37
' '

(3)将梯形 A1 ACC1 绕 A1C1 旋转到 A1 A C C1 ,使其与 ?A1 B1C1 成平角

cos?C ' C1 A1 ? cos?CC1 A1 ?

C1C ? C1 A1 C1C ? C1 A1

?

21 2 7 , sin ?CC1 A1 ? 7 7

? cos?CC1 B1 ? cos(?CC1 A1 ?
' '

?

3 ?C C1 B1中, C C1 ? 3, C1 B1 ? 4 3 ,由余弦定理得? C ' B1 ? 67 an 是一个与 n 无关的常数? a1 ? d ………2 分 a2 n

)??

21 14

即 CP ? PB1 的最小值为 67 ……..13 分 19/解(1)

10

又 S3 ? 3a1 ?

1 ? 3 ? 2 ? d ? 6a1 ? 18 ? a1 ? 3 ? an ? 3n, ………4 分 2

bn ? 3n ………6 分
3n 3n?1 1 1 2(3n ? 1) …8 分 ? n?1 ? 2? n ? n?1 ? 2? n 3n ? 1 3 ? 1 3 ? 1 3 ?1 (3 ? 1)(3n?1 ? 1) 2 2 ? 3n ? 1? 2 ? 3n ? 1? 2 又因为 n ?1 ? n ?1 ? n3 ? n?1 n n ?3 ? 1??3 ? 1? ?3 ? 3??3 ? 1? 3 ? 1 3
(2) cn ? 即 cn ? 2 ?

2 3
n ?1

……12 分

所以: S n ? 2n ? 2(

1 1 1 1 1 1 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? 2n ? ? n ?1 ? 2n ? ……12 分 2 3 3 3 3 3 3

20.解:解析: (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意得 分

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? y ? 1

…2

2 化简得 x 2 ? 2 y ? 2 y 当 y ? 0 时 x ? 4 y ;当 y ? 0 时 x ? 0

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x 2 ? 4 y 和 x ? 0 ( y ? 0 )

………………………5 分

(2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? kx ? 1 . 由 ?

? y ? kx ? 1 得x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 2 ? x ? 4y

x1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? ?4 , y1 ? y2 ? 4k 2 ? 2, y1 y2 ? 1 …6 分 1 因为 l1 ? l2 ,所以 l2 的斜率为 ? .设 D( x3 , y3 ), E ( x4 , y4 ) ,则同理可得 k 4 4 x 3 ? x 4 ? ? , x 3 x 4 ? ?4 , y3 ? y4 ? 2 ? 2, y3 y4 ? 1 ……7 分 k k AD ? EB ? ( AF ? FD) ? ( EF ? FB)
? AF ? EF ? FD ? EF ? AF ? FB ? FD ? FB ? FD ? EF ? AF ? FB ? FD EF ? AF FB ? ( y3 ? 1)( y 4 ? 1) ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) ? y3 y4 ? ( y3 ? y4 ) ? 1 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ………10 分 4 1 ? 8 ? 4k 2 ? 2 ? 8 ? 4(k 2 ? 2 ) ? 8 ? 4 ? 2 ? 16 …12 分 k k ???? ??? ? 1 2 当且仅当 k ? 2 即 k ? ?1 时, AD ? EB 取最小值 16. …13 分 k a 1 21. 文科解: (1)① f '( x ) ? ? 2bx ? 函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切 x 2 ? f '(1) ? a ? 2b ? 0 ?a ? 1 ? ? ?? , 解得 ? 1 1 ……3 分 f (1) ? ?b ? ? b? ? ? ? 2 ? 2 1 2 1 1 ? x2 ② f ( x) ? ln x ? x , f '( x) ? ? x ? 2 x x
11

1 1 ? x ? e 时,令 f '( x) ? 0 得 ? x ? 1 ;令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? e; e e 1 1 ? ? ? f ( x)在 ? ,1? 上单调递增,在[1,e]上单调递减,? f ( x) max ? f (1) ? ? ……8 分 2 ?e ? ? 3? (2) b=0 时, f ( x) ? a ln x 若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? ?1, e2 ? 都 当 ? ? 2?
当 成立,

? 3? ? ? ? 3 2 即 m ? a ln x ? x, 对所有的 a ? [0, ], x ? ?1, e 都成立, 2 令 h(a) ? a ln x ? x, 则h(a) 为一次函数, m ? h(a)min 3 ? x ? ?1, e 2 ? ,? ln x ? 0, ? h(a)在a ? [0, ] 上单调递增? h(a)min ? h(0) ? ? x , ? 2 2 ? m ? ? x 对所有的 x ? ?1, e ? 都成立 ?
则 a ln x ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e2 ? 都成立, ? 2

?

?1 ? x ? e2 ,??e2 ? ? x ? ?1, ?m ? (? x)min ? ?e2 ………14 分 1 x ? m . 由 f ?(0) ? 0 ,得 m ? ?1 ,此时 f ?( x) ? ? 21.(理科)解: ) f ?( x) ? (Ⅰ . x ?1 x ?1 当 x ? (?1, 0) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (?1, 0) 上单调递增; 当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递减. ? 函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,故 m ? ?1 .…………………………3 分 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (Ⅱ )令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? ( x ? x1 ) ? f ( x1 ) ,………4 分 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 则 h?( x) ? f ?( x) ? . 函 数 f ( x ) 在 x ? ( x1 , x2 ) 上 可 导 , ? 存 在 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . x0 ? ( x1 , x2,使得 f ?( x0 ) ? ) x1 ? x2 1 x0 ? x 1 1 ? 1 ? h?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? 又 f ?( x) ? ? ? x ?1 x ? 1 x0 ? 1 ( x ? 1)( x0 ? 1) 当 x ? ( x1 , x0 ) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增,? h( x) ? h( x1 ) ? 0 ; 当 x ? ( x0 , x2 ) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减,?h( x) ? h( x2 ) ? 0 ; 故对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 f ( x) ? g ( x) .…………………………8 分
(Ⅲ )用数学归纳法证明. ① n ? 2 时, Q ?1 ? ?2 ? 1 ,且 ?1 ? 0 , ?2 ? 0 , 当 )得 f ( x) ? g ( x) ,即 ??1x1 ? ?2 x2 ? ( x1, x2 ) ,? 由(Ⅱ f ( x1 ) ? f ( x2 ) f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? (?1 x1 ? ?2 x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) , x1 ? x2 ? 当 n ? 2 时,结论成立.…………………………9 分 ② 假设当 n ? k (k ? 2) 时结论成立,即当 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ? ? ?k ? 1, 时, f ??1 x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?k xk ? ? ?1 f ?x1 ? ? ?2 f ?x2 ? ? ? ? ?k f ?xk ?. 当 n ? k ? 1 时,设 正数 ?1 , ?2 ,?, ?k ?1 , 满足 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ? ? ?k ?1 ? 1, 令 m ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ? ? ?k ,
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, m m m 则 m ? ?k ?1 ? 1 ,且 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ? 1.

?1 ?

?1

, ?2 ?

?2

, ?, ? k ?

?k

f ??1 x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?k xk ? ?k ?1 xk ?1 ? ? f ?m??1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? k xk ? ? ?k ?1 xk ?1 ?

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