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1988年第二十九届IMO试题(不含答案)


第二十九届(1988 年) 澳大利亚 堪培拉(Canberra,Australia)
1. 考虑两个在同一平面的同心圆,半径为 R 和 r(R>r) 。设 P 是小圆上一个固 定点,B 是大圆上的一个动点。直线 BP 还与大圆交于 C。BP 的垂线 l 经过点 P, 与小圆交于另一点 A。 (如果 l 是小圆的切线,那么 A、P 点重合。 ) i) 找出 BC2+CA2+AB2 的所有可能的值。 ii) 找出 BC 的中点的轨迹。 (卢森堡) 2. 设 n 为正整数,A1,A2,…,A2n+1 都是集合 B 的子集。假设: (a) 每个 An 都恰好有 2n 个元素; (b) 每个 Ai∩Aj(1≤i<j≤2n+1)包含正好一个元素; (c) B 中的每个元素至少属于两个 Ai。试问对于什么样的 n 值有办法将 B 中的元 素都标上 0 或 1 使得每个 Ai 都恰好包含 n 个标 0 的元素。 (捷克斯洛伐克) 3. 函数 f 定义在正整数集上,且对于所有正整数 n 都有:

f (1) ? 1, f (3) ? 3, f (2n) ? f (n), f (4n ? 1) ? 2 f (2n ? 1) ? f (n), f (4n ? 3) ? 3 f (2n ? 1) ? 2 f (n)
判断满足条件的正整数 n 的个数,它小于或等于 1988,且有 f(n)=n。 (英国) 4. 说明满足不等式 ?
k ?1 70

k 5 ? 的所有实数 x 的集合是不相交的区间的并集,且 x?k 4

区间的长度为 1988。 (爱尔兰) 5. 在三角形 ABC 中,A 是直角,D 是 BC 边上的高的垂足。三角形 ABD,ACD 的内心的连线分别交边 AB、AC 于点 K、L。S 和 T 分别表示三角形 ABC 和 AKL 的面积。说明 S≥2T。 (希腊) 6. 设 a 和 b 为正整数,且 ab+1 整除 a2+b2。说明 邦德国)
a2 ? b2 是一个整数的平方。 (联 ab ? 1


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