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1989年第三十届IMO试题(不含答案)


第三十届(1989 年) 联邦德国 布伦瑞克(Braunschweig,FR Germany)
1. 证明集合{1,2,…,1989}可以表示成一些不相交的子集 Ai(i=1,2,…,117) 的并集,且满足: i) 每个 Ai 包括 17 个元素; ii) 每个 Ai 的所有元素的和都是相同的。 (菲律宾) 2. 在锐角三角形 ABC 中,角 A 的内角平分线还交三角形的外接圆于 A1。点 B1 和 C1 也类似这样定义。设 A0 是 AA1 与角 B 和角 C 的外角平分线的交点。点 B0 和 C0 也类似这样定义。求证: i) 三角形 A0B0C0 的面积是六边形 AC1BA1CB1 面积的两倍。 ii) 三角形 A0B0C0 的面积至少是三角形 ABC 面积的四倍。 (澳大利亚) 3. 设 n 和 k 为正整数,S 为满足下列要求的 n 个点: i) S 内的任意三点都不共线; ii) 对于 S 内的任一点 P 在 S 中都至少有 k 个点与 P 点距离相等。

1 (荷兰) ? 2n 。 2 4. 设 ABCD 是凸四边形,边 AB、AD、BC 满足 AB = AD + BC。在四边形内存在
求证: k ? 一点 P,距离直线 CD 的距离为 h,且 AP = h + AD,BP = h + BC。说明:
1 ? h 1 1 ? 。 (冰岛) AD BC

5. 求证:对于每个正整数 n,存在 n 个连续的正整数,其中没有质数的整数幂。 (瑞典) 6. 一个集合{1,2,…,2n}的一个排列(x1,x2,…,xm),其中 n 是正整数,如果 对于集合{1,2,…,2n-1}中的至少一个 i 有 xi ? xi ?1 ? n ,就说它具有属性 P。说 明对于每个 n,具有属性 P 的排列比不具有的多。 (波兰)


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