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椭圆基本知识


第八章 圆锥曲线
要点梳理

§8.1 椭圆 基础知识 自主学习

1.椭圆的定义

(1)第一定义:在平面内到两定点F1、F2的距离的
和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫 椭圆 .这 两定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫 做 焦距 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F

1F2|=2c,其中

a>0,c>0,且a,c为常数: (1)若 a>c ,则集合P为椭圆;

(2)若 a=c ,则集合P为线段;
(3)若 a<c ,则集合P为空集.

(2)第二定义:动点 M 到定点 F 的距离和它到定直 线 l 的距离之比等于常数 e(0<e<1),则动点 M 的轨 迹是椭圆,定点 F 是椭圆的焦点,定直线 l 叫做椭 圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率. 这里要注意: 一是动点 M 到定点的距离除以它到定 直线的距离,其商是常数 e;二是这个常数 e 的取 值范围是(0,1);三是定点 F 不在定直线 l 上. 2.椭圆的两种标准方程 x2 y2 y2 x2 + =1, 2+ 2=1. a2 b2 a b (1)a>b>0;(2)a2-b2=c2.

3.椭圆的几何性质 标准 方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

图形

范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距

-a≤x≤a -b≤y≤b
对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b -a≤y≤a
对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b |F1F2|=2c

离心率
a,b,c的关系 准线
a2 x?? c

c e ? ? (0,1) a
c2=a2-b2
a2 y?? c

4.参数方程 x2 y2 椭圆a2+b2=1 (a>b>0)的参数方程是 ?x=acos θ ? ? (θ 为参数). ?y=bsin θ ?

基础自测 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离

心率等于
A.
1 3

( D )
B. 3
3

C.

解析 设长轴长、短轴长分别为2a、2b,则2a=4b,
c a2 ? b2 4b 2 ? b 2 3 e? ? ? ? . a a 2b 2

1 2

D.

3 2

x2 y2 2.设P是椭圆 ? ? 1 上的点.若F1,F2是椭圆 25 16

的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于 A.4 解析 B.5 C.8



D) D.10

由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.

x2 y2 3.(2009· 湖北文,5)已知双曲线 2 - 2 =1 的准线过椭 x2 y2 圆 4 +b2=1(b>0)的焦点,则 b 等于 ( C ) A.3 B. 5 C. 3 D. 2

x2 y2 解析 双曲线 2 - 2 =1 的准线方程为 x=± 1. 又椭圆的焦点为(± 4-b2,0),故 4-b2=1. ∴b2=3,∴b= 3.

4.已知椭圆C的短轴长为6,离心率为

C的焦点F到长轴的一个端点的距离为

4 ,则椭圆 5

(C )

A.9
C.1或9 解析

B.1
D.以上都不对
?b ? 3 由题意得 ? c 4 ∴a=5,c=4. ? ?a ? 5 , ?

∴a+c=9,a-c=1.

5.椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点为A, 且 F1AF2是顶角为120°的等腰三角形,则此
3 2

椭圆的离心率为

.

c 解析 由已知得∠AF1F2=30°,故cos 30°= , a
从而e= 3 .
2

题型分类
题型一 椭圆的定义

深度剖析

【例1】一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与 圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨 迹方程. 思维启迪 两圆相切时,圆心之间的距离与两圆 的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.

解 两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1; O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R. ∴|MO1|+|MO2|=10.

由椭圆的定义知:M在以O1、O2为焦点的椭圆上,
且a=5,c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16,
x2 y2 故动圆圆心的轨迹方程为 ? ? 1. 25 16

探究提高

平面内一动点与两个定点F1、F2的距

离之和等于常数2a,当2a>|F1F2|时,动点的轨迹

是椭圆;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;
当2a<|F1F2|时,轨迹不存在. 知能迁移1 已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M, 设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直 平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是 ( )

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

解析

点P在线段AN的垂直平分线上,

故|PA|=|PN|,又AM是圆的半径, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|, 由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆. 答案 B

题型二

椭圆的标准方程

【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且 P到两焦点的距离分别为5、3,过P且与长轴垂直 的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 思维启迪 设椭圆方程为
x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b b a

根据题意求a,b

得方程

.

解 方法一 设所求的椭圆方程为
x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 2 a b a b

由已知条件得 ?2a ? 5 ? 3 ?

( 2c ) 2 ? 5 2 ? 3 ?

2 , 解得a=4,c=2,b =12. 2

x2 y 2 y2 x2 故所求方程为 ? ? 1或 ? ? 1. 16 12 16 12

方法二

x2 y 2 设所求椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

y2 x2 或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b 两个焦点分别为F1,F2.

由题意知2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4.
x2 y2 在方程 中,令x=±c得|y|= b , ? 2 ?1 2 a a b 2 y2 x2 在方程 中,令y=±c得|x|= b , ? 2 ?1 2 a b a 2 依题意有 b =3,∴b2=12. a x2 y 2 y2 x2 ∴椭圆的方程为 ? ? 1或 ? ? 1. 16 12 16 12
2

探究提高

运用待定系数法求椭圆标准方程,即设

法建立关于a、b的方程组,先定型、再定量,若位 置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要, 椭圆方程可设为mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n), 由题目所给条件求出m、n即可.

知能迁移2
的方程;

(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且

长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆 (2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称 轴,且经过两点P1( 6 ,1)、P2(- 3 ,- 2 ), 求椭圆的方程. x2 y2 解 (1)若焦点在x轴上,设方程为 2 ? 2 ? 1 a b (a>b>0).

32 0 2 ∵椭圆过P(3,0),∴ 2 ? 2 ? 1, 即a ? 3 a b x2 又2a=3?2b,∴b=1,方程为 ? y 2 ? 1.
9

y2 x2 若焦点在y轴上,设方程为 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b 0 2 32 =1, b=3. ∵椭圆过点P(3,0),∴ ? 2 2 a b 又2a=3?2b,∴a=9,

y2 x2 ∴方程为 ? ? 1. 81 9 x2 y2 x2 ∴所求椭圆的方程为 ? y 2 ? 1或 ? ? 1. 9 81 9

(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).

∵椭圆经过P1、P2点, ∴P1、P2点坐标适合椭圆方程, 则 ?6m ? n ? 1, ? ?3m ? 2n ? 1, ① ② 1 ? m? , ? 9 ①、②两式联立,解得 ? ?n ? 1 . ? 3
2 2 ∴所求椭圆方程为 x ? y ? 1. 9 3

题型三

椭圆的几何性质

【例3】已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上 一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 思维启迪 (1)在△PF1F2中,使用余弦定理和 |PF1|+|PF2|=2a,可求|PF1|?|PF2|与a,c的关 系,然后利用基本不等式找出不等关系,从而求 出e的范围;
(2)利用 SΔ F PF
1 2

1 ? |PF1|?|PF2|sin 60°可证. 2

x2 y2 (1)解 设椭圆方程为 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 2 a b |PF1|=m,|PF2|=n.

在△PF1F2中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos 60°. ∵m+n=2a,

∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,
∴4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2. 2 m? n? ? 2 ? a(当且仅当m=n时取等号), 又mn≤ ? ? 2 ? ? c2 1 1 2-4c2≤3a2,∴ ∴4a ,即e≥ . 2 ≥ 4 2 a 又0<e<1, ?1 ? ∴e的取值范围是 ? ,1?. ?2 ?

由(1)知mn= 4 b 2 , 3 ∴ SΔ F PF ? 1mnsin 60°= 3 b 2 , 1 2 2 3 即△PF1F2的面积只与短轴长有关. (2)证明

探究提高

(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角

形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的 计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、

|PF1|+|PF2|=2a,得到a、c的关系. 定义式的平方 余弦定理 (2)对△F1PF2的处理方法 面积公式
? ?( PF ? PF ) 2 ? (2a ) 2 1 2 ? ? 2 2 ? ?4c 2 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos? . ? 1 ?S Δ ? PF1 PF2 sin ? ? 2

x2 y2 知能迁移3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长、 a b 短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M(在x轴

上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,
AB ∥ OM . (1)求椭圆的离心率e;

(2)设Q是椭圆上任意一点,F1、F2分别是左、右
焦点,求∠F1QF2的取值范围.
b2 解 (1)∵F1(-c,0),则xM=-c,yM= a b 2 .∵k =- b , ∴kOM=AB OM ∥ AB , a ac 2 b c 2 ∴=- b ,∴b=c,故e= ? . ac a 2 a



(2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2= ? , ∴r1+r2=2a,|F1F2|=2c,

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 cos ? = ? 2r1r2 2r1r2

a2 a2 ? ?1 ? ? 1 ? 0, r1 ? r2 2 r1r2 ( ) 2
? ?? 当且仅当r1=r2时,cos ? =0,∴ ? ? ?0, ?. ? 2?

题型四

直线与椭圆的位置关系

x2 y2 【例4】(12分)椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两 a b 个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,
4 |PF1|= ,|PF2|= 14. 3 3 (1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆 C于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线l的

方程.

思维启迪

(1)可根据椭圆定义来求椭圆方程;

(2)方法一:设斜率为k,表示出直线方程,然后
与椭圆方程联立,利用根与系数的关系及中点坐 标公式求解; 方法二:设出A、B两点坐标,代入椭圆方程,作 差变形,利用中点坐标公式及斜率求解(即点差

法).

解题示范

解 (1)因为点P在椭圆C上,
所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在Rt△PF1F2中, F1 F2 ? 故椭圆的半焦距c= 5 , 从而b2=a2-c2=4,
x2 y2 所以椭圆C的方程为 ? ? 1. 9 4

[2分]
2 2

PF2 ? PF1 ? 2 5,
[4分]

[6分]

(2)方法一 设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的 坐标为(-2,1),从而可设直线l的方程为:

y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得: (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为A,B关于点M对称,

[8分]

x1 ? x2 18k 2 ? 9k 8 [10分] 所以 ?? ? ?2, 解 k ? , 得 2 2 4 ? 9k 9 所以直线l的方程为y= 8 (x+2)+1, 9
即8x-9y+25=0.

(经检验,所求直线方程符合题意)

[12分]

方法二

已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5, [8分]

所以圆心M的坐标为(-2,1), 设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

由题意x1≠x2,
x12 y12 ? ?1 9 4 2 2 x2 y 2 ? ?1 9 4





由①-②得:
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0. 9 4 因为A,B关于点M对称,



所以x1+x2=-4,y1+y2=2,

代入③得 y1 ? y2 ? 8 ,
x1 ? x2 9

即直线l的斜率为 8 ,
9

[10分]

所以直线l的方程为y-1= 8 (x+2),
9

即8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意). [12分]

探究提高(1)直线方程与椭圆方程联立,消元后 得到一元二次方程,然后通过判别式Δ来判断直 线和椭圆相交、相切或相离.

(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭
圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和 与两根之积的形式,这是进一步解题的基础.

(3)若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦
的端点坐标,代入方程,用点差法求弦的斜率.注 意求出方程后,通常要检验.

x2 y2 知能迁移4 若F1、F2分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 a b (a>b>0)的左、右焦点,P是该椭圆上的一个
动点,且|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2 3 . (1)求出这个椭圆的方程; (2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆 交于不同的两点A、B,使 OA ⊥ OB (其中O为 坐标原点)?若存在,求出直线l的斜率k;若不存 在,说明理由.

解 (1)依题意,得2a=4,2c=2 3 , 所以a=2,c= 3 ,∴b= a 2 ? c 2 ? 1.

x2 ∴椭圆的方程为 ? y 2 ? 1. 4 (2)显然当直线的斜率不存在,即x=0时,不满
足条件.

设l的方程为y=kx+2,
由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点, 设A(x1,y1),B(x2,y2),

? x2 2 由 ? ? y ?1 , ?4 ? y ? k x? 2 ?

消去y并整理,得

(1+4k2)x2+16kx+12=0. ∴Δ =(16k)2-4(1+4k2)?12=16(4k2-3)>0, 解得k2> 3 .
4 16 k x1+x2=,x1x2= 12 2 . 1 ? 4k 2 1 ? 4k



∵ OA ⊥ OB ,∴ OA? OB =0, ∴ OA? OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2) =x1x2+k2x1x2+2k(x1+x2)+4 =(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4

12 4(4 ? k 2 ) ? 16 k ? ? (1 ? k 2 ) ? ? 2k ? ? ?4? ? 0, 2 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k ? 1 ? 4k ?
∴k2=4.
由①②可知k=±2, 所以,存在斜率k=±2的直线l符合题意.



思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴 端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离, 且最大距离为a+c,最小距离为a-c.

2.过焦点弦的所有弦长中,垂直于长轴的弦是最
2b 2 .把这个弦叫椭圆 短的弦,而且它的长为 a

的通径.

3.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次 方程,再结合b2=a2-c2就可求得e (0<e<1).

4.从一焦点发出的光线,经过椭圆(面)的反射,

反射光线必经过椭圆的另一焦点.
5.过椭圆外一点求椭圆的切线,一般用判别式Δ =0

求斜率,也可设切点后求导数(斜率).
6.求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断 是否为标准方程,判断的依据是:(1)中心是否 在原点,(2)对称轴是否为坐标轴.

失误与防范
1.求椭圆方程时,在建立坐标系时,应该尽可能 以椭圆的对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简 方程——椭圆的标准方程. 2.求两曲线的交点坐标,只要把两曲线的方程联 立求方程组的解,根据解可以判断位置关系,若 方程组有解可求出交点坐标. 3.注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某

一点坐标视为某一函数问题求解时,求函数的单
调区间、最值时有重要意义. 4.判断椭圆标准方程的原则为:长轴、短轴所在 直线为坐标轴,中心为坐标原点.

5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与

y2的分母大小,若x2的分母比y2的分母大,则焦点
在x轴上,若x2的分母比y2的分母小,则焦点在y 轴上.

x2 y 2 6.注意椭圆的范围,在设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 上点的坐标为P(x,y)时,则|x|≤a,这往往
在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容 易被忽略而导致求最值错误的原因.

定时检测
一、选择题
x2 y2 ? 1.(2008?上海春招,14)已知椭圆 10 ? m m ? 2

=1,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于( D )

A.4
解析

B.5

C.7

D.8

椭圆焦点在y轴上,∴a2=m-2,b2=10-m.

又c=2,∴m-2-(10-m)=22=4.∴m=8.

2.已知点M(

y=k(x+ 3 )交于点A、B,则△ABM的周长为 (B ) A.4 B.8 C.12 D.16 解析 直线y=k(x+ 3 )过定点N(- 3 ,0),而M、N x2 恰为椭圆 ? y 2 ? 1 的两个焦点,由椭圆定义知 4 △ABM的周长为4a=4?2=8.

x2 ,0),椭圆 ? y 2 =1与直线 3 4

3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积 的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为

A.1

B. 2

C.2

(D ) D.2 2

x2 y 2 解析 设椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则使三角 a2 b 形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短
轴端点,
1 b2 ? c2 a 2 ∴S= ?2c?b=bc=1≤ ? . 2 2 2 ∴a2≥2.∴a≥ 2 .∴长轴长2a≥2 2 ,故选D.

x2 y2 4.(2009?浙江文,6)已知椭圆 ? 2 ?1 2 a b (a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在
椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若
AP =2 PB

,则椭圆的离心率是 ( B.



A.

3 2

2 2

C.

1 3

D.

1 2

解析

如图,由于BF⊥x轴,

b2 故xB=-c,yB= ,设P(0,t), a ∵ AP =2 PB , ? b2 ? ∴(-a,t)=2 ? ? c, ? t ?, ? ? a ? ? ∴a=2c,∴e= c ? 1 . a 2 答案 D

5.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长 轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是

等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( C )
A. 3 B. 2 C. 2 ? 1 D. 2 2 2 解析 ∵△ABF2是等腰直角三角形,∴|AF1|=|F1F2|, 将x=-c代入椭圆方程

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1得A(?c,? ), 2 a b a b2 从而 ? 2c, 即a2-c2=2ac,整理得e2+2e-1=0, a 解得e=-1± 2 ,由e∈(0,1),得e= 2 -1.

x2 y 2 6.(2009?江西理,6)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦
点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( B)
1 A. 2 B. 3 C. 1 D. 3 2 2 3 ? b2 ? ? b2 ? 解析 由题意知点P的坐标为 ? ? c, ?或? ? c,? ?, ? a? ? a? ? ? ? ? ∵∠F1PF2=60°,

∴ 2c ? 3 , 即2ac= 3 b2= 3 (a2-c2). b2 a ∴ 3 e2+2e- 3 =0,∴e= 3 或e=- 3 (舍去). 3

二、填空题 7.(2009?广东理,11)已知椭圆G的中心在坐标

原点,长轴在x轴上,离心率为 3 ,且G上一点
到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程 为 解析 又e=
x2 y2 ? ? 1. . 36 9
2

设椭圆的长半轴为a,由2a=12知a=6,

c = 3 ,故c=3 3 ,∴b2=a2-c2=36-27=9. a 2 x2 y2 ∴椭圆标准方程为 ? ? 1. 36 9

x2 y2 8.设椭圆 2 ? 2 ? 1(m>0,n>0)的右焦点与抛 m n

物线y2=8x的焦点相同,离心率为 1 ,则此椭圆的 2 x2 y2 ? ?1 标准方程为 16 12 .

解析

抛物线y2=8x的焦点是(2,0),∴椭圆
m2 ? n2 2 1 ? ? , m m 2

的半焦距c=2,即m2-n2=4,又e=

∴m=4,n2=12.
x2 y2 从而椭圆的方程为 ? ? 1. 16 12

9.B1、B2是椭圆短轴的两端点,O为椭圆中心,过 左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P,若|F1B2|是
PF1 OB2

|OF1|和|B1B2|的等比中项,则
解析

的值是

2 2 .

由已知2bc=a2=b2+c2,∴b=c= 2 a.
2

设P(x0,y0),则x0=-c,|y0|=|PF1|.
2 ( ?c ) 2 y0 ? 2 ? 2 ? 1, a b 2 PF1 y0 c2 b2 1 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? .? ? . b a a 2 OB2 2

三、解答题
10.根据下列条件求椭圆的标准方程: (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 4 2 P到两焦点的距离分别为 5和 5,过P作长 3 3 轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;
1 (2)经过两点A(0,2)和B ? , 3 ?. ? ? 2 ? ? x2 y2 解(1)设椭圆的标准方程是 ? 2 ?1 或 a2 b y2 x2 ? 2 ? 1, 2 a b

则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2

,∴a= 5
2

. 5

x2 y2 在方程 中令x=±c得|y|= b ? 2 ?1 2 a a b b2 y2 x2 在方程 ? 2 ? 1 中令y=±c得|x|= a a2 b 2 依题意并结合图形知 b = 2 5 .∴b2= 10 . a 3 3 即椭圆的标准方程为

x2 3 y2 y 2 3x 2 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 5 10

?1 (2)设经过两点A(0,2),B ? , 3 ? 的椭圆标 ? ?2 ? 2+ny2=1,代入A、B得 准方程为mx
?4 n ? 1 ?m ? 1 ? ? ?? ?1 1, ? 4 m ? 3n ? 1 ?n ? 4 ? ?

y 2 =1. ∴所求椭圆方程为x2+ 4

11.(2008?辽宁文,21)在平面直角坐标系xOy 中,点P到两点(0,-3 )、(0,3 )的距 离之和等于4,设点P的轨迹为C.

(1)写出C的方程;
(2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时
OA ⊥ OB ?此时| AB |的值是多少? 解 (1)设P(x,y),由椭圆的定义可知,点P

的轨迹C是以(0,- 3 )、(0, 3 )为焦点,长半 轴长为2的椭圆,它的短半轴长b= 2 2 ? ( 3 ) 2 ? 1,
y2 故曲线C的方程为x2+ =1. 4

? 2 y2 (2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),其坐标满足 ? x ? 4 ? 1, ? ? y ? k x ? 1, ? 消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0,
2k 3 故x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k ?4 k ?4 若 OA ⊥ OB ,则x1x2+y1y2=0.
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,

3 3k 2 2k 2 于是x1x2+y1y2= ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 0, k ?4 k ?4 k ?4 化简得-4k2+1=0,所以k=± 1 . 2

4 12 1 当k=± 时,x1+x2=± ,x1?x2=, 17 17 2 | AB |= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2
=
1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2

而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1?x2
12 4 2 ? 52 ? 4? ? ?? ? ? 4? ? . 2 17 17 ? 17 ? 8 13 1 8 13 5 4 65 ? AB ? ? 1? ? ? ? . 17 4 17 2 17
2

x2 y2 12.已知椭圆C: 2 ? 2 =1 (a>b>0)的离心率 a b 1 3 为 ,且经过点P ?1, ?. ? ? 2 ? 2? (1)求椭圆C的标准方程;

(2)设F是椭圆C的左焦点,判断以PF为直径的

圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说
明理由.

x 2 y 2 =1 (a>b>0)的离心 解 (1)∵椭圆 ? 2 2 a b 率为 1 ,且经过点P ?1, 3 ?, ? ?
2

? 2?

? a 2 ? b2 1 ?3a 2 ? 4b 2 ? 0, ? , ? ?a 2 ? 4, ? ? a 2 即? ?? 解 ? 2 得 ?1 9 ?b ? 3. ? 1 ? 9 ? 1, ? 2 ? 2 ? 1. ? 4b ?a ? a 2 4b 2 ?
x2 y2 ∴椭圆C的标准方程为 ? ? 1. 4 3

(2)∵a2=4,b2=3,∴c=

a 2 ? b 2 ? 1.

∴椭圆C的左焦点坐标为(-1,0).

以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4,圆心
坐标是(0,0),半径为2.
2+ ? y ? 3 ? ? 25 , 圆心 以PF为直径的圆的方程为x ? ? 4 ? 16 ? ? 3 ? 半径为 5 . 坐标是 ? 0, ?, 4 ? 4? 由于两圆心之间的距离为
2

3 5 ?3 ? ( 0 ? 0) ? ? ? 0 ? ? ? 2 ? , 4 4 ?4 ? 故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
2

2

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