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变化率问题


变化率问题

? 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球,回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角 度,如何描述这种现象呢?

思考:这一现象 ? 气球的体积V(单位:L)与半径r 中,哪些量 (单位:dm)之间的函数关系是 在改变?变 4 3 V (r ) ? ? r 量的变化

情 3 ? 如果将半径r表示为体积V的函数, 况?
?

那么 r (V ) ? 3 3V 4?

我们来分析一下:
?

3V r (V ) ? 4?
3

当V从0增加到1时,气球半径增加了r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L)
1? 0

当V从1增加到2时,气球半径增加了r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L)
?

2 ?1

随着气球体积逐渐 变大,它的平均膨胀率逐 渐变小

显然 0.62>0.16

思考?
? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单 位:秒)存在函数关系 h 2 h(t)=-4.9t +6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t

请计算 0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h

o

t

h(0.5) ? h(0) 在0 ? t ? 0.5这段时间里, v? ? 4.05(m / s) 0.5 ? 0 h(2) ? h(1) 在1 ? t ? 2这段时间里, v? ? ?8.2(m / s) 2 ?1

探究:
65 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
65 h( ) ? h(0) ? 10 49

?h v? ?0 ?t

(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.

平均变化率定义:
f(x ) ? f ( x ) 2 1 ?上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 ? x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

? 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)

则平均变化率为

?y ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

理解: 1,式子中△x 、△ y 的值可正、可负,但 △x值不能为0, △ y的值可以为0 2,若函数f (x)为常函数时, △ y =0 3, 变式

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x

抽象概括:
?f ( x ) f(x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 1.函数的平均变化率 x2 ? x1 ?x
?

2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率

?f ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

3.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗略

的刻画 --------导数

思考?
? 观察函数f(x)的图象

?y f(x2 ) ? f ( x1 ) ? 平均变化率 ?x x2 ? x1
y

Y=f(x)

表示什么?

f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1)

B

直线AB 的斜率

x2-x1=△x x x1 x2

O

例题
1 已知函数f(x)=x2的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 平均变化率为 ?y ? f (?1 ? ?x) ? f (?1)

? (?1 ? ?x) ? (?1)
2

2

? (?x) ? 2?x
2

?y (?x) ? 2?x ? ? ?x ? 2 ?x ?x
2

练习
物体按照s(t)=3t2+4的规律作直线运动, 求在4s附近的平均变化率.


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