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黑龙江省牡丹江一中2015-2016学年高二上学期9月月考试题 数学文


2015 年高二学年月考试题
1、对称轴为坐标轴,离心率 e ?

数学文科试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的)

2 ,长轴长为 6 的椭圆的方程为( ) 3 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 A、 B、 9 5 9 4 x2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 ? ? 1或 ? ?1 C、 D、 9 4 4 9 9 5 9 5 2 2 2、双曲线 x ? y ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.

1 2

B.

2 2

C.1

D. 2

3、已知 0 ? ? ?

x2 y2 y2 x2 π C ,则双曲线 C1 : 2 ? 与 : ? 1 ? ? 1 的( ) 2 4 sin ? cos2 ? cos2 ? sin 2 ? A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 共焦点,而与曲线 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为( ) 4、与曲线 24 49 36 64 y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. C. D. 16 9 16 9 9 16 9 16 x2 ? y 2 ? 1的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线上,且满足 | PF 5、已知双曲线 1 | ? | PF 2 |? 2 5 , 3 则△ PF ) 1F 2 的面积为( 1 A. 5 B. 3 C. 1 D. 2 2 2 x y ? ? 1 的两个焦点, P 为椭圆上一点,则 PF1 ? PF2 的最大值是( ) 6、已知 F1 , F2 是椭圆 100 64
A、64
2

B、100
2

C、36

D、136 )

7、 已知双曲线 C∶ A、a 8、双曲线 ( )

x y ? 2 ? 1(a >0,b>0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的圆的半径是 ( 2 a b
B 、b C、 ab
2 2 D、 a ? b

y2 x2 x2 y2 ? ? 1 ( a , b ? 0 ) ? ? 1(a ? b ? 0) 交于点 M 、 N ,则 MN = 的一条渐近线与椭圆 b2 a2 a2 b2
B.

A. a + b

2a

C.

2( a 2 ? b 2 )

D.

2( a 2 ? b 2 )

9、已知双曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, m ? b ? 0) 的离心率互为倒数,那么以 a, b, m 为边 ? ? 1 和椭圆 m2 b2 a2 b2
C、钝角三角形
2 2

长的三角形一定是( ) A、锐角三角形 B、直角三角形
2 2 10 、给定四条曲线① x ? y ?

D、等腰三角形
2

5 x y x2 y 2 ? y 2 ? 1 ,其中与直线 ? ? 1 ,③ x ? ? 1 ,④ ,② 2 4 9 4 4
-1-

x ? y ? 5 ? 0 仅有一个交点的的曲线是(



A、①②③ B、②③④ C、①②④ D、①③④ 11、如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点, M , N 是双曲线的两顶点。若 M , O, N 将椭圆长 轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) A.3 B.2 C.

3

D.

2

12、 过椭圆 C :

x2 y2 且点 B 在 x ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B , a2 b2 1 1 轴上的射影恰好为右焦点 F ,若 ? k ? , 则椭圆离心率的取值范围是( ) 3 2 2 1 2 1 9 1 A. ( , ) B. ( ,1) C. ( , ) D. (0, ) 3 2 3 4 4 2

二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 是 。

13 、 平 面 内 有 两 个 定 点 F1 ?? 5, 0?,F2 ?5, 0? , 动 点 P 满 足 PF1 ? PF2 ? 6 , 则 动 点 P 的 轨 迹 方 程 14、若椭圆 mx ? ny2 ? 1 ?m ? 0, n ? 0? 与直线 y ? 1 ? x 交于 A, B 两点,过原点与线段 AB 中点的连线
2

n 2 ,则 = 。 m 2 x2 y2 ? ? 1 左 焦 点 F1 的 直 线 交 曲 线 的 左 支 于 M ,N 两 点 , F2 为 其 右 焦 点 , 则 15 、 过 双 曲 线 9 16 。 MF2 ? NF2 ? MN 的值为______
的斜率为 16、方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C ,有下列命题: 4?t t ?2 ①若曲线 C 为椭圆,则 2 ? t ? 4 ; ②若曲线 C 为双曲线,则 t ? 4 或 t ? 2 ; ③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t ? 4 。
。 (填上所有正确命题的序号)

以上命题正确的是

三、解答题: 17、(1)已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. (2)双曲线的焦距是实轴长的 5 倍,且一个顶点的坐标为 ?0,2? ,求双曲线的方程。

4 5 2 5 和 ,过 P 作长轴 3 3

-2-

y2 x2 14 18、已知椭圆与双曲线 ? ? 1 的焦点相同,且它们的离心率之和等于 . 5 4 12
(1)求椭圆方程; (2)过椭圆内一点 M (1,1) 作一条弦 AB ,使该弦被点 M 平分,求弦 AB 所在直线方程.

M 为 PD 上一点, 19、 设 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 25 上的动点, 点 D 是 P 在 x 轴上的投影, 且 MD ?
当 P 在圆上运动时, 求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)求过点 ?3,0? 且斜率为

4 PD .(1) 5

4 的直线被 C 所截线段的长度. 5

20、已知椭圆

x2 y2 2 5 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 的离心率 e ? , 直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 与椭圆交于 P, Q 两点, 且 2 5 a b

以 PQ 为直径的圆过 M ?2, 0? ,求这个椭圆方程.

21、 已知椭圆

x2 y 2 2 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴是短轴的 2 倍,离心率为 2 a b 2

1 ( 1 )求椭圆的 方程; ( 2 )过 右焦点 F2 的直线 l 交 椭圆于 A、B 两 点 . 若 y 轴 上一点 M (0, ) 满足 3
-3-

| MA |?| MB | ,求直线 l 斜率 k 的值;

x2 y2 6 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 上一点,过点 M 作直线 MA, MB 交椭圆 3 a b C 与 A, B 两点,且斜率分别为 k1 , k 2 , (1)若点 A, B 关于原点对称,求 k1 ? k 2 的值; (2)若点 M 的坐标 为 ?0,1? ,且 k1 ? k 2 ? 3 ,求证:直线 AB 过定点,并求该定点的坐标。
22、已知点 M 是离心率为

2015 年高二学年月考试题
一、选择题: 1D 2B 二、填空题: 13、 3D 4A 5C 6B 14、 2 7B 8C 15、

数学文科试题答案
9B 12 10D 11B 16、 ②④ 12A

x2 y2 ? ? 1?x ? 3? 9 16

三、解答题: 17、 (1)

x2 3y 2 3x 2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 5 10 10 5 y2 x2 ?1 4 16

(2)

18、 (Ⅰ)由题意知,双曲线的焦点坐标为 (0,4), (0,?4) ,离心率为

, 2分

设椭圆方程:

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 c ? 4 a2 b2
4分 5分

?e ?

c 4 14 4 ? ? ? 2 ? ,? a ? 5 , a a 5 5

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 25 ? 16 ? 9 ,
2 2 ? 椭圆方程为: y ? x ? 1 . 25 9

6分

(Ⅱ)解法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

? M 为弦 AB 的中点,? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 ,

7分

? y12 ? ? ? 25 由题意: ? 2 ? y2 ? ? 25 ?

x12 ? 1(1) 9 , (1) ? (2) 得 2 x2 ? 1(2) 9
-4-

( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ( x ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ?? 1 , 25 9

? k AB ?

y1 ? y 2 25( x1 ? x2 ) 25 ?? ?? , x1 ? x 2 9( y1 ? y 2 ) 9
25 ( x ? 1) ,即 25x ? 9 y ? 34 ? 0 , 9

10 分

此时直线方程为: y ? 1 ? ?

故所求弦 AB 所在的直线方程为 25x ? 9 y ? 34 ? 0 . 12 分 解法二:由题意可知,直线斜率必存在.设所求直线方程为: y ? 1 ? k ( x ? 1) ,

? y ? 1 ? k ( x ? 1) ? 由 ? y2 ,得 (9k 2 ? 25) x 2 ? 18(k ? k 2 ) x ? 9(1 ? k ) 2 ? 225 ? 0 , (*) 8 分 x2 ?1 ? ? ? 25 9
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ? M 为弦 AB 的中点,? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 ,

? x1 ? x 2 ?

18(k 2 ? k ) 25 ? 2 ,? k ? ? , 10 分 2 9 9k ? 25
25 ( x ? 1) ,即 25x ? 9 y ? 34 ? 0 . 12 分 9

故所求弦 AB 所在的直线方程为: y ? 1 ? ?

19、 (1)设 M 的坐标为 ( x, y ), P , P 的坐标为 ( x p , y p ),

? x p ? x, x2 y 2 5 2 ? 2 ?1 由已知得 ? 5 ? P 在圆上,? x ? ( y ) ? 25, 即 C 的方程为 ? 4 25 16 y p ? y, ? ? 4
(2)过点(3,0)且斜率为

4 4 的直线方程为 y ? ( x ? 3) ,设直线与 C 的交点为 5 5

x 2 ( x ? 3)2 4 ?1, A( x, y), B( x2 , y2 ) ,将直线方程 y ? ( x ? 3) 代入 C 的方程,得 ? 5 25 25
2 即 x ? 3x ? 8 ? 0 。? x1 ?

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? 2 2

? 线段 AB 的长度为 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ?

16 41 41 )( x1 ? x2 )2 ? ? 41 ? 25 25 5

20、解:因为 e ?

2 5 2 2 2 2 2 ,Q?x2 , y2 ? ,所以 a ? 5b ,所以椭圆方程 x ? 5 y ? 5b ,设 P?x1 , y1 ? 5

? x 2 ? 5 y 2 ? 5b 2 2 2 , 9 x ? 20x ? 20 ? 20b ? 0 , ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
-5-

20 20 ? 20b 2 ? ? 0 , x1 ? x 2 ? ? , x1 x2 ? , 9 9
? MP ? MQ ,? MP ? MQ ? ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? y1 y 2 ?
所以 b 2 ? 4, a 2 ? 20 ,椭圆方程:

5 3 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 5 ? 0 4 2

x2 y2 ? ?1 20 4

21、 (Ⅰ) , 2a ?

2 ? 2b ,





, ∴

2分

椭圆的标准方程为 (2)已知 ,设直线的方程为 ,

联立直线与椭圆方程

,化简得:







的中点坐标为

①当

时,



整理得 ②当 时,

解得

或 ,满足题意.

的中垂线方程为

∴斜率 的取值为

.
-6-

22、解: (1)e ?
2

6 , a 2 ? 3b 2 所以椭圆方程 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 ,设 M ?x0 , y0 ?, A?x1 , y1 ?,则 B?? x1 ,? y1 ? 3
2 2
2 2

则有 x0 ? 3 y0 ? 3b , x1 ? 3 y1 ? 3b 2

y ? y1 y 0 ? y1 y ? y1 y ?y 1 k1k 2 ? 0 ? ? ? 02 ?? 0 2 12 ?? 2 x0 ? x1 x0 ? x1 3 x0 ? x1 3( y0 ? y1 )
(2) M ?0, 1? ,则 b 2 ? 1 ,所以椭圆方程 x 2 ? 3 y 2 ? 3 , 设 AB 方程: y ? kx ? m , 设 A?x1 , y1 ? ,B?x2 , y2 ?

2

2

2

2

?x 2 ? 3 y 2 ? 3 , (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx? 3m 2 ? 3 ? 0 , ? ? 0 ? y ? kx ? m ?

x1 ? x 2 ?

? 6km 3m 2 ? 3 , x x ? , 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

k 1?k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 2kx1 x2 ? (m ? 1)(x1 ? x2 ) ? ? ?3 x1 x2 x1 x2
2 2 k ? 1 ,所以过 ( ? ,?1) 3 3

3m 2 ? 3 ? 2km ? 2k , 3m ? 3 ? 2k , y ? kx ?

-7-


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