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值域


函数值域的方法 1、直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。 1:求函数 y ? x ? 1的值域。 解:∵ x ? 0 ,∴ x ? 1 ? 1 , 2. 求函数
y? 1 x

∴函数 y ? x ? 1的值域为 [1, ??) 。

的值域。
2

3. 已知函

数 y ? ?x ? 1? ? 1 , x ? ?? 1,0,1,2? ,求函数的值域。 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该例的定义域为 x ? R ,则函 数的值域为 ?y | y ? ?1?。 2、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如

F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的值域问题,均可使用配方法。
1 .
2 求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。

2.求函数 y ? ? 2 x ? x 2 ? 3 的值域。
1 x 2 ? 2x ? 4 3.求函数 y ? 在区间 x ? [ ,4] 的值域。 4 x

? 4 2 ? 1 x 2 ? 2x ? 4 x? ? ? 6 ,当 ? x ? 2 时,函 由y? 配方得: y ? x ? ? 2 ? ? ? ? x 4 x x? ?
4 1 ? 2 是 单 调 减 函 数 , 所 以 6 ? y ? 18 ; 当 2 ? x ? 4 时 , 函 数 x 4 4 1 y ? x ? ? 2 是单调增函数,所以 6 ? y ? 7 。所以函数在区间 x ? [ ,4] 的值域 x 4 1 是 6 ? y ? 18 。 4 3、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反 函数的定义域,得到原函数的值域。

2

数 y ? x?

1:求函数 y ?

1 ? 2x 的值域。 1 ? 2x
1

解:由 y ?

1? y 1 ? 2x 解得 2 x ? , x 1? y 1? 2

∵ 2 x ? 0 ,∴

1? y ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 1? y

∴函数 y ?

1 ? 2x 的值域为 y ? (?1,1) 。 1 ? 2x

4、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法, 此类问题一般也可以利用反函数法。 1? x 1:求函数 y ? 的值域。 2x ? 5 1 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1? x 1 2 ?? ? 2 , 解:∵ y ? ? 2 2x ? 5 2x ? 5 2 2x ? 5 7 1 1? x 1 ∵ 2 ? 0 ,∴ y ? ? ,∴函数 y ? 的值域为 { y | y ? ? } 。 2 2x ? 5 2 2x ? 5 5、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数, 从而求得原函数的值域,形如 y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数, 且 a ? 0 )的函数常用此法求解。 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑通 过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时, 用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。 1:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 解:令 t ? 1 ? 2 x ( t ? 0 ) ,则 x ? 当t ?
1 5 1? t2 ,∴ y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? ∵ 2 4 2

1 3 5 ,即 x ? 时, ymax ? ,无最小值。∴函数 y ? 2 x ? 1 ? 2x 的值域为 2 8 4 5 (??, ] 。 4
2 2. 求函数 y ? x ? 2 ? 1 ? (x ? 1) 的值域。
2 2 解:因 1 ? (x ? 1) ? 0 即 (x ? 1) ? 1 故可令 x ? 1 ? cos ?, ? ?[0, ?]

2

? ? 2 sin( ? ? ) ?1 4 ∴ y ? cos ? ? 1 ? 1 ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 1
2



0 ? ? ? ?,0 ? ? ?

? 5 ? ? 4 4

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4 ? ? 0 ? 2 sin(? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 4 故所求函数的值域为 [0,1 ? 2 ] ??

3. 求函数

y?

x3 ? x x 4 ? 2 x 2 ? 1 的值域。 y? 1 2x 1 ? x2 ? ? 2 1? x2 1 ? x2

解:原函数可变形为:
2x 1? x2 ? s i n 2 ? , ?c o2 s? 1? x2 1? x2

可 令 x ? tg? , 则 有

1 1 ? y ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin 4? 2 4 ?? k? ? 1 ? y min ? ? 2 8 时, 4

当 义。

??

k? ? 1 ? y max ? 4 2 8 时,



而此时 tan ? 有意

? 1 1? ?? , ? 故所求函数的值域为 ? 4 4 ?

4.求函数 y ? ( x 2 ? 5x ? 12)(x 2 ? 5x ? 4) ? 21的值域。
9 5? 9 ? 解:令 t ? x ? 5x ? 4 ? ? x ? ? ? ,则 t ? ? 。 4 2? 4 ?
2 2

y ? t ?t ? 8? ? 21 ? t 2 ? 8t ? 21 ? ?t ? 4? ? 5
2
2





t??

9 4





y min

1? 1 ? ? 9 ? ? ? ? ? 4 ? ? 5 ? 8 ,值域为 ? y | y ? 8 ? 16? 16 ? ? 4 ?
3

6.求函数 y ? x ? 2 1 ? x 的值域。 7.求函数 y ? x ? 10x ? x 2 ? 23 的值域。 6、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有

a1 x 2 ? b1 x ? c1 实数根,判别式 ? ? 0 ,从而求得原函数的值域,形如 y ? ( a1 、 a2 x 2 ? b2 x ? c2
的函数的值域, 常用此方法求解。 (解析式中含有分式和根式。 ) a2 不同时为零)
y? 1 ? x ? x2 1 ? x 2 的值域。

1. 求函数

2 解:原函数化为关于 x 的一元二次方程 (y ? 1)x ? (y ? 1)x ? 0

(1)当 y ? 1 时, x ? R

? ? (?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0

1 3 ?y? 2 解得: 2

?1 3? 1? ? , ? (2)当 y=1 时, x ? 0 ,而 ? 2 2 ?

?1 3? ? , ? 故函数的值域为 ? 2 2 ?

2. 求函数 y ? x ? x(2 ? x) 的值域。
2 2 解:两边平方整理得: 2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 (1) 2 ∴ ? ? 4(y ? 1) ? 8y ? 0

∵ x ?R

解得: 1 ? 2 ? y ? 1 ? 2 但此时的函数的定义域由

x (2 ? x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 2
2 2 由 ? ? 0 ,仅保证关于 x 的方程: 2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 在实数集 R 有实根,而

不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 ? ? 0 求
?1 3? ? , ? 出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为 ? 2 2 ? 。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
4

∵0 ? x ? 2

? y ? x ? x(2 ? x) ? 0
x1 ?

? y min ? 0, y ? 1 ? 2 代入方程(1)
?[0,2]
x1 ? 2 ? 2 ? 24 2 2 时,

2 ? 2 ? 24 2 2

解得:

即当

原函数的值域为: [0,1 ? 2 ] 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时, 应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 7、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性, 求出函数的值域。 1:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 2.求函数 y ? x ?
1 在区间 x ? ?0,???上的值域。 x 构造相关函数,利用函数的单调性求值域。

3:求函数 f ?x? ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。

(平方)

?1 ? x ? 0 解:因为 ? ? ?1 ? x ? 1 ,而 1 ? x 与 1 ? x 在定义域内的单调性不一 ?1 ? x ? 0
致。现构造相关函数 g ?x? ? 1 ? x ? 1 ? x ,易知 g ( x) 在定义域内单调增。

g max ? g ?1? ? 2 , g min ? g ?? 1? ? ? 2 , ? g ?x ? ? 2 , 0 ? g 2 ?x? ? 2 ,
又 f 2 ?x? ? g 2 ?x? ? 4 ,所以: 2 ? f 2 ?x ? ? 4 , 2 ? f ?x? ? 2 。 8、利用有界性:利用某些函数有界性求得原函数的值域。 1:求函数 y ?
x2 ?1 的值域。 x2 ? 1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得

( y ?1) x2 ? ?( y ? 1) , ∵ y ? 1 ,∴ x 2 ? ?
y ?1 ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 , y ?1

y ?1 ( x ? R , y ? 1) , y ?1
x2 ?1 的值域为 { y | ?1 ? y ? 1} x2 ? 1

∴?

∴函数 y ?
5

2 求函数

y?

cos x sin x ? 3 的值域。

解:由原函数式可得: y sin x ? cos x ? 3y ,可化为:
sin x (x ? ?) ? 3y y2 ? 1 3y y2 ? 1 ?1

y 2 ? 1 sin x ( x ? ?) ? 3y


?1?

∵ x ?R
?

∴ sin x(x ? ?) ?[?1,1]
2 2 ?y? 4 4



解得:

? 2 2? , ?? ? 4 4 ? ? ? ? 故函数的值域为

3. 求函数

y?

ex ?1 e x ? 1 的值域。

9、图像法(数型结合法) :函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形 结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。 当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、 截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其 值域。 1:求函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域。
??2 x ? 2 ( x ? ?3) ? 解:∵ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 |? ?8 (?3 ? x ? 5) , ?2 x ? 2 ( x ? 5) ?
y

8 o

-3

5

x

∴ y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的图像如图所示, 由图像知:函数 y ?| x ? 3 | ? | x ? 5 | 的值域为 [8, ??)
2 2 2. 求函数 y ? (x ? 2) ? (x ? 8) 的值域。

解:原函数可化简得: y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |
6

上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2) , B(?8) 间的距离之和。 由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 故所求函数的值域为: [10,?? ]

10. 不等式法

? 3 利用基本不等式 a ? b ? 2 ab , a ? b ? c ? 3 abc (a, b, c ? R ) , 求函

数的最值,此法的题形特征是:当解析式是和式时,要求积是定值;当解析 式是积式时,要求和是定值;为此解答时,常需要对解析式进行恒等变形, 具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项;平方等恒等变形。 1.求函数 y ?
? x 2 ? 30x 的值域。 x?2

解: y ?

? x 2 ? 30x 64 64 ? ? x ? 32 ? ? 34 ? [?x ? 2? ? ] x?2 x?2 x?2

因为分母不为 0,即 x ? ?2 ,所以: 当 x ? ?2 时,?x ? 2? ?

64 ?2 x?2

?x ? 2?

64 64 ,x ? 6 ? 16,当且仅当 x ? 2 ? x?2 x?2

时,取等号, ymax ? 18 ; 当 x ? ?2 时, ? ?x ? 2? ? (? 当且仅当 ? ( x ? 2) ? ?

64 64 ) ? 2 ? ?x ? 2?(? ) ? 16 , x?2 x?2

64 , x ? ?6 时,取等号, ymin ? 50 ; x?2

值域 y ? (??,18] ? [50,??) 注意:利用重要不等式时,要求 f ?x? ? 0, 且等号要成立。 11. 多种方法综合运用

7

例 1. 求函数

y?

x?2 x ? 3 的值域。

2 解:令 t ? x ? 2 (t ? 0) ,则 x ? 3 ? t ? 1

y?

(1)当 t ? 0 时,
0? y? 1 2

t 1 1 ? ? t ?1 t ? 1 2 t ,当且仅当 t=1,即 x ? ?1时取等号,
2

所以

(2)当 t=0 时,y=0。
? 1? ?0, ? 综上所述,函数的值域为: ? 2 ?

注:先换元,后用不等式法

8


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