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2012-2013年下学期盐城市高二数学调研试卷(理)及答案


2012/2013 学年度高二年级第二学期期终考试 数学(理)试题
注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 4.第 19、20 题,请四星高中学生选做(A),三星高中与普

通高中学生选做(B) ,否则不给分. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? , xn 的方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] ( x 为样本平均数) n

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. ?x ? R , sin x ? 1 的否定是 ▲ .

2.已知复数 z 满足 z ? i(2 ? i) (其中 i 为虚数单位) ,则 z = ▲ . 3.某校对全校 1000 名男女学生进行课外阅读情况调查,采用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样 本,已知女生抽了 80 人,则该校的男生数为 ▲ . 4.已知向量 a ? (?,0, ?1) , b ? (2,5, ? 2 ) ,若 a ? b ,则 ? ?

?

?

?

?



. ▲ .

5.有 6 件产品,其中有 2 件次品,从中任选 2 件,恰有 1 件次品的概率为 6.甲、乙两种水稻试验品种连续 4 年的单位面积平均产量如下: 品种 甲 乙 第1年 9.8 9.7 ▲ 第2年 9.9 10 . 第3年 10.2 10

第4年 10.1 10.3

其中产量比较稳定的水稻品种是
2 2

7.若双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等 2 a b
▲ .

于 a ,则该双曲线的离心率为 ▲ . 8.执行右边的程序框图,若 p ? 15 ,则输出的 n ? 9.观察下列不等式:

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? ? 2 , 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 1 1 1 5 1 ? ? ? ? ? ? ,? , 由此猜想第 n 个不等式为 ▲ . 2 3 31 2 8 10.若 ( x ?1 ? a 0? a1 ?a 2 2? ? a x 8 ,则 a0 ?a2 ?a4 ?a6 ?a8 的值 ) x x ? 8
为 ▲ . 11.某停车场内有序号为 1,2,3,4,5 的五个车位顺次排成一排,现在 A, B, C , D 四辆车需要停放,若

A, B 两车停放的位置必须相邻,则停放方式种数为



. (用数字作答) ▲ .

x 12.若函数 f ? x ? ? ln ae ? x ? 3 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是

?

?

13.已知 Rt ?ABC 的三个顶点都在抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上,且斜边 AB ∥ y 轴,则斜边上的高等 于 ▲ . 14.已知曲线 C : f ( x) ? x + (a ? 0) ,直线 l : y ? x ,在曲线 C 上有一个动点 P ,过点 P 分别作 直线 l 和 y 轴的垂线,垂足分别为 A, B .再过点 P 作曲线 C 的切线,分别与直线 l 和 y 轴相交于点

a x

M , N , O 是坐标原点.则 △OMN 与 △ ABP 的面积之比为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
在棱长为 2 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E, F 分别为 A1 B1 , CD 的中点. (1)求直线 EC 与 AF 所成角的余弦值; (2)求二面角 E ? AF ? B 的余弦值.
A1 D1 E C1

B1

D F A B

C

16. (本小题满分 14 分) 由于生产条件的影响,生产某种产品正品的概率为

第 15 题图

7 1 ,次品的概率分别为 .已知生产 1 件正品 8 8

获得的利润为 6 万元,而生产 1 件次品则亏损 2 万元. (1)求生产3件产品恰有 2 件正品的概率; (2)设 2 件产品的利润和(单位:万元)为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分 14 分) 已知 f n ( x) ? (1 ?

x )n , n ? N ? .
2

(1) 若 g ( x) ? f 4 ( x) ? 2 f5 ( x) ? 3 f6 ( x) ,求 g (x) 中含 x 项的系数; (2) 若 pn 是 f n (x) 展开式中所有无理项的系数和,数列 {an } 是各项都大于 1 的数组成的数列,试 用数学归纳法证明: (a1a2 ?an ? 1) ? pn ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ???1 ? an ? . 18. (本小题满分 16 分) 为 改善行 人过马路 难的问 题,市 政府决定 在如图 所示的 矩形区域 ABCD ( AB ? 60 米,

AD ? 104 米 ) 内 修 建 一 座 过 街 天 桥 , 天 桥 的 高 GM 与 HN 均 为 4 3 米 ,

?G E M ? ? H F N ,AE, EG, HF , FC 的造价均为每米 1 万元,GH 的造价为每米 2 万元, ? 6
设 MN 与 AB 所成的角为 ? ? ? ? ?0,

?

? ?

? ? ?? ? ,天桥的总造价(由 AE, EG, GH , HF , FC 五段构成, ? 4 ?? ?

GM 与 HN 忽略不计)为 W 万元. (1)试用 ? 表示 GH 的长; (2)求 W 关于 ? 的函数关系式; (3)求 W 的最小值及相应的角 ? .
H B G A E M P N F C

?
D

19. (本小题满分 16 分) (A) (四星高中学生做) 已知椭圆 E:

第 18 题图

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点距离之和为 2 3 ,离心率为 ,左、 2 a b 3

右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 是右准线上任意一点,过 F2 作直线 PF2 的垂线 F2Q 交椭圆于 Q 点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)点 P 的纵坐标为 3 ,过 P 作动直线 l 与椭圆交于两个 不同点 M、N,在线段 MN 上取点 H ,满足 试证明点 H 恒在一定直线上. 第 19 题图 (B) (三星高中及普通高中学生做) 已知椭圆 E: y

MP MH ? , PN HN

· F1

O

· F2

x

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点距离之和为 2 3 ,离心率为 ,左、 2 a b 3

右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 是右准线上任意一点,过 F2 作直线 PF2 的垂线 F2Q 交椭圆于 Q 点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)证明:直线 PQ 与椭圆 E 只有一个公共点. 20. (本小题满分 16 分) (A) (四星高中学生做)

设函数 f ?x ? ? a ln x , g ? x ? ?

1 2 x . 2

(1)记 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,若 a ? 4 ,求 h?x ? 的单调递增区间; (2)记 g? ? x ? 为 g ?x ? 的导函数,若不等式 f ? x ? ? 2g? ? x ? ? ? a ? 3? x ? g ? x ? 在 x ? ?1, e? 上有解,求 实数 a 的取值范围; (3)若在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? f ? ? x0 ? ? g ? ? x0 ? ?

1 成立,求 a 的取值范围. g ? ? x0 ?

(B) (三星高中及普通高中学生做) 设函数 f ?x ? ? a ln x , g ? x ? ?

1 2 x . 2

(1)记 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,若 a ? 4 ,求 h?x ? 的单调递增区间; (2)记 g? ? x ? 为 g ?x ? 的导函数,若不等式 f ? x ? ? 2g? ? x ? ? ? a ? 3? x ? g ? x ? 在 x ? ?1, e? 上有解,求 实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 1 ,对任意的 x1 ? x2 ? 0 ,不等式 m ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ? 恒成立.求 ? ?

m?m ? Z , m ? 1?的值.

2012/2013 学年度高二年级第二学期期终考试数学(理)答案
一、填空题:每小题 5 分,共计 70 分. 1. ?x ? R,sin x ? 1 7. 2 13. 2 p 8. 5 2. 5 3.600 4.0 或 2 5.
7

8 15

6.甲
2 12. e , ??

1 9. ?
14.8

1 1 1 n ? ??? n ? 2 3 2 ?1 2

2 10. (或 128) 11. 48

?

?

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.解: (1)建立坐标系. A(2, 0, 0) , F (0,1, 0) , C (0, 2,0) , E (2,1, 2)

??? ? ??? ? AF ? (?2,1,0) , CE ? (2, ?1, 2) ???? ??? ? ? ?4 ? 1 5 ?? 所以 cos ? AF ,CE ?? , 2 2 2 2 2 3 (?2) ? 1 ? 2 ? (?1) ? 2
故直线 EC 与 AF 所成角的余弦值为

5 .…………………………………………………… 7 分 3

(2) 平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设平面 AEF 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,因为

?? 2 x ? y ? 0 , 令 x ? 1 , 则 y ? 2, z ? ?1 ? n2 ? (1,2,?1) AF ? (?2,1,0) , AE ? (0,1,2) 所 以 ? ? y ? 2z ? 0
cos? ? n1 ? n2 n1 n2 ? ?1 1? 4 ?1 ? 6 6

6 . ………………………………… 14 分 6 7 16.解: (1)设 X 为生产 3 件产品中正品的个数,则X服从二项分布(3, ) , 8 147 2 7 2 1 1 所以P(X=2)= C3 ( ) ( ) = ;………………………………………………………… 6 分 8 8 512
由图知二面角 E ? AF ? B 为锐二面角, 其余弦值为 (2) ? 的取值有12、4、-4. 则P(X=12)= P(X=4)=

49 , 64

14 , 64

1 , 64 49 14 1 E( ? )=12 ? +4 ? -4 ? =10(万元). ……………………………… 14 分 64 64 64
P(X=-4)= 17(1) 解:g(x) 中 含 x 2 项 的 系 数 为 C 4 + 2C 4 + 3C 4 = 1+ 10+ 45= 56 …………… 7 分 4 5 6 (2) 证 明 : 由 题 意 , p n = 2 n - 1 . ① 当 n= 1 时 , p 1 (a 1 + 1)= a 1 + 1, 成 立 ; …………………………………………… 9 分

② 假 设 当 n= k 时 , pk ? a1a2 ?ak ?1? ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ???1 ? ak ? 成 立 ,
当 n= k+ 1 时 ,

?1 ? a1 ??1 ? a2 ?? ?1 ? ak ?1 ? ? ? 2k ?1 ? a1a2 ? ak ? 1? ? ?1 ? ak ?1 ? ? ?
又 因 为 ? a1 a2? a ?1?? 1? a 1 ? 2 a a ? 1? k k? ? 2
k ?

a? 1 1 ?

? ? a1a2 ?ak ?1 ? a1a2 ?ak ? ak ?1 ?1? ? 2 ? a1a2 ?ak ?1 ?1? ? a1a2 ?ak ? ak ?1 ? a1a2 ?ak ?1 ?1 ? a1a2 ?ak ?1 ? ak ?1 ? ? ? ak ?1 ?1? ? ? a1a2 ?ak ?1??1? ak ?1 ? ? 0
所 以 ? a1 a2? a ?1?? 1? a k k?
1

? ? 2?

a a ka ? 1 1 ? ? 1 ? 2

所 以 n ? k ? 1 时 , 2k ? a1a 2?ak ? 1? 1 ? ? 1 a ? ?

?? 1

1 a ?2?? ? ak ? ? 1

?1

综 合 ① ② 可 知 , pn ? a1a2 ?an ?1? ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ???1 ? an ? …………………………… 14 分

n 18 . 解 : 1 ) 由 题 意 可 知 ?MNP ? ? , 故 有 MP ? 6 0 t a? , 所 以 在 Rt ?NMT 中 (

60 ……………………………………………………………………………………6 分 cos ? 60 sin ? 1 ? 2 ? 80 ? 16 3 ? 60 ? 120 (2) W ? (80 ? 16 3 ? 60 tan ? ) ? 1 ? cos ? cos ? cos ? sin ? ? 2 ? 80 ? 16 3 ? 60 .………………………………………………………………… 11 分 cos ? sin ? ? 2 π (3)设 f (? ) ? (其中 0 ≤? ≤ ) , cos ? 4 cos ? cos ? ? (? sin ? )(sin ? ? 2) 1 ? 2sin ? ? 则 f ?(? ) ? . cos 2 ? cos 2 ? 1 ? 令 f ?(? ) ? 0 得 1 ? 2sin ? ? 0 ,即 sin ? ? ,得 ? ? . 2 6 GH ? MN ?
列表

?
f ?(? ) f (? )

(0, ) 6
+ 单调递增

?

? 6
0 极大值

( , ) 6 4
单调递减

? ?

所以当 ? ?

?
6

时有 f (? )max ? ? 3 ,此时有 Wmin ? 80 ? 16 3 ? 60 3 ? 80 ? 76 3 .

答:排管的最小费用为 80 ? 76 3 万元,相应的角 ? ? 19.解: (1)由题, a ? 3 ,又因为

?
6

.…………………………… 16 分

c 3 ? , 从而得 c ? 1 , b ? 2 a 3

x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………………………………………… 4 分 所以椭圆 E: 3 2
(2)设 P ? 3, y0 ? , Q ? x1 , y1 ? , 因为 PF2 ? F2Q ,所以 kQF2 k PF2 ? 所以 ? y1 y0 ? 2( x1 ? 1)

y0 y1 y0 y1 ? ? ? ?1 , 2 x1 ? 1 2( x1 ? 1)

x2 y1 y1 ? y0 y12 ? y1 y0 2 2 ? ? 2 且 y1 ? 2(1 ? 1 ) 代入化简得 kPQ ? kOQ ? ? ……10 分 x1 x1 ? 3 x1 ? 3x1 3 3 (A) (四星高中学生做)
又因为 k PQ ? kOQ ? (3)设过 P 的直线 l 与椭圆交于两个不同点 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,点 H ( x, y) ,
2 2 2 2 则 2x1 ? 3 y1 ? 6 , 2x2 ? 3 y2 ? 6 .

???? ??? ???? ? ? ???? ? MP MH MP MH ? ? ? ? ,则 MP ? ?? PN , MH ? ? NH , ,∴设 PN HN PN HN ∴ (3 ? x1 ,3 ? y1 ) ? ?? ( x2 ? 3, y2 ? 3) , ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y) x ? ? x2 x ? ? x2 y ? ? y2 y ? ? y2 ,x ? 1 ,y? 1 整理得 3 ? 1 ,3 ? 1 , 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 2 x12 ? ? 2 x2 y12 ? ? 2 y2 ,3 y ? ∴从而 3x ? , 1? ?2 1? ?2 2 2 2 2 2 x 2 ? 2? 2 x2 ? 3 y12 ? 3? 2 y2 2 x12 ? 3 y12 ? ? 2 (2 x2 ? 3 y2 ) ? ? 6, ∴ 6x ? 9 y ? 1 1? ?2 1? ?2 所以点 H 恒在直线 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 上.………………………………………………… 16 分
∵ (B) (三星高中及普通高中学生做) 解: (1) (2)同(A) (3)由(2)知,直线 PQ 的方程为 y ? y1 ? ?

2 x1 2x 2 ? x ? x1 ? ,即 y ? ? 1 x ? , 3 y1 3 y1 y1

? x2 y 2 ? ?1 ? ? 3 2 由? 得 (3 y12 ? 2 x12 ) x2 ? 12 x1 x ? 18 ? 9 y12 ? 0 ,化简得: x2 ? 2 x1 x ? x12 ? 0 , 2 x1 2 ?y ? ? x? ? 3 y1 y1 ? 解得 x ? x0 ,所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.……………………………………… 16 分
20. (1) a ? 4 时,f ? x ? ? 4ln x , 解: 当 此时 h ? x ? ? 4 ln x ?

又 x ? 0 ,则 0 ? x ? 2 .所以 h?x ? 的单调递增区间为 ? 0, 2 ? .…………………… 4 分

1 2 x , h' ? 由 x 2

??

4 ? ? x x

0 得 ?2 ? x ? 2 ,

(2)不等式 f ?x? ? 2g ' ?x? ? ?a ? 3?x ? g ?x? 即为 a ln x ? 2 x ? ?a ? 3?x ?

1 2 x , 2

1 2 1 2 x ?x x ?x 1 2 则 a ? x ? ln x ? ? x ? x ,由 x ? ?1, e? 知 x ? ln x ? 0 ,因而 a ? 2 ,设 y ? 2 ,由 2 x ? ln x x ? ln x ?x ? 1??x ? ln x ? ? ?1 ? 1 ?? 1 x 2 ? x ? ?x ? 1?? 1 x ? 1 ? ln x ? ? ?? ? ? ? ? x ?? 2 ? ? ?2 ? , 且 当 x ? ?1, e? 时 x ? 1 ? 0 , ' y ? 2 2 ?x ? ln x ? ?x ? ln x ? 1 1 x ? 1 ? ln x ? 0 ,从而, y ' ? 0 .由不等式有解,知 a ? y min ? ? ……………………… 10 分 2 2
(A) (四星高中学生做) ( 3 ) 不 等 式 f ( x0 ) ? f
'

? x0 ? ? g ' ? x0 ? ?

1 a 1 等 价 于 a ln x0 ? , 整 理 为 ? x0 ? x0 x0 g ? x0 ?
'

x0 ? a ln x0 ?

1? a 1? a ,则由题意可知只需在 [1, e] 上存在一点 x0 ,使得 ? 0 ,设 m( x) ? x ? a ln x ? x x0
'

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1 ? a)( x ? 1) ? , m( x0 ) ? 0 . m ( x) ? 1 ? ? 2 ? x x x2 x2
因为 x ? 0, 所以 x ? 1 ? 0, 令 x ? 1 ? a ? 0, 得 x ? 1 ? a .………………………………………… 12 分 ①若 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时,令 m(1) ? 2 ? a ? 0 ,解得 a ? ?2 . ②若 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, m( x) 在 1 ? a 处取得最小值,

1 令 m(1 ? a) ? 1 ? a ? a ln(1 ? a) ? 1 ? 0 ,即 1 ? a ? 1 ? a ln( ? a) ,所以
考察式子

a ?1?1 ? ln( a ? 1) a

t ?1 ? ln t ,因为 1 ? t ? e ,所以左端大于 1,而右端小于 1,所以不成立 t ?1

③当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, m( x) 在 [1, e] 上单调递减,只需 m(e) ? 0 ,得 a ?

e2 ? 1 ,又因为 e ?1

e ?1?

e 2 ? 1 ? 2e e2 ? 1 ? ? 0 ,所以, a ? . e ?1 e ?1 e ?1

e2 ? 1 综上所述, a ? ?2 或 a ? .………………………………………………………………… 16 分 e ?1
(B) (三星高中及普通高中学生做) 解: (1) (2)同(A) (3)当 a ? 1 , f ?x ? ? ln x .由 m ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ? ? ?

m 2 x ? x ln x?x ? 0? .由题 2 意知 x1 ? x2 ? 0 ,故当 x ? 0 时函数 t ?x? 单调递增,则 t ' ?x ? ? mx ? ln x ? 1 ? 0 恒成立,因此, ln x ? 1 ln x ? 1 ? ln x ' m? 恒成立,记 y ? ,由 y ? x ? ? ,知函数在 ?0,1? 上单调递增,在 ?1,??? 上单 x x x2 调递减,则 h?x ?max ? h?1? ? 1 ,所以 m ? 1 ,又 m ? Z , m ? 1,所以 m ? 1 .…………… 16 分

恒成立知, mg?x1 ? ? x1 f ?x1 ? ? mg?x2 ? ? x2 f ?x2 ? 恒成立,设 t ? x ? ?


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