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圆锥曲线复习2


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姓名 学科 阶段 课题名称 左老师 数学 观察期□:第( 圆锥曲线复习 学生姓名 年级 )周 魏虹鸿 高二 维护期□ 填写时间 教材版本 课时统计 共( 上课时间 )课时 2012 年 12 月 15 日 人教版 第( )课时

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F

2 的距离的和等于常数 2a , 且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨 迹;双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |, 定义中的“绝对值”与 2a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射 线,若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程) : (1) 椭圆: 焦点在 x 轴上时
2 2

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0 ) 焦点在 y 轴上时 2 ? 2 =1 a ? b ? 0 ) ( , ( 。 a2 b a b

方程 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) 。
2 2 若 x, y ? R ,且 3x 2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x ? y 的最小值是___(答: 5, 2 )

教学过程

(2)双曲线:焦点在 x 轴上:

x2 y2 y2 x2 ? 2 =1,焦点在 y 轴上: 2 ? 2 =1( a ? 0, b ? 0 ) 。方程 a2 b a b
2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10 ) ,
2

Ax 2 ? By 2 ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 。
如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 则 C 的方程为_______(答: x 2 ? y 2 ? 6 ) ( 3 ) 抛 物 线 : 开 口 向 右 时 y ? 2 px( p ? 0) , 开 口 向 左 时 y ? ?2 px( p ? 0) , 开 口 向 上 时
2

x 2 ? 2 py ( p ? 0) ,开口向下时 x 2 ? ?2 py ( p ? 0) 。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x , y
2

2

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

x y2 ? ? 1 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 , 则 m 的 取 值 范 围 是 __ ( 答 : 如已知方程 m ?1 2 ? m

3 (??,?1) ? (1, ) ) 2
(2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大, c ? a ? b 。
2 2 2 2 2 2

2

2

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4.圆锥曲线的几何性质:

x2 y2 (1)椭圆(以 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ;②焦点:两 a b 个焦点 ( ? c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶点 (?a, 0), (0, ?b) ,
其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; ④准线: 两条准线 x ? ?

a2 c ; ⑤离心率:e ? , 椭圆 ? 0 ? e ? 1 , c a

e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。
如(1)若椭圆

25 x2 y2 10 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为 __(答: 2 2 )

x2 y 2 :①范围: x ? ?a 或 x ? a, y ? R ;②焦点: ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为例) a 2 b2 两个焦点 ( ? c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两个顶点 ( ? a, 0) ,其 中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 a2 c x 2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 c a b ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。 a p 2 (3)抛物线(以 y ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点 ( , 0) ,其中 p 2 的几何意义是: 焦点到准线的距离; ③对称性: 一条对称轴 y ? 0 , 没有对称中心, 只有一个顶点 (0,0) ; c p ④准线:一条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,抛物线 ? e ? 1 。 a 2
(2)双曲线(以 如设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________(答: (0,
2

1 ; )) 16 a

x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的关系: (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 0 ? 0 ? 1 ; a 2 b2 a2 b x2 y2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 0 ? 0 =1; (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 0 ? 0 ? 1 a 2 b2 a2 b2
5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆 6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一 定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 是直线与 双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定 有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线 与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物线相离。 提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果 直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点; 如果直线与抛物线的轴平行时,直线 与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线

x2 y2 ? =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个 a2 b2

公共点的情况如下:①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和 分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两

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条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只 有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物 线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 9、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的横坐标,则 AB = 1? k
2

x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB = 1 ?
2

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线 k2

方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k

y1 ? y2 。特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计

算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆

b2 x x2 y2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 0 ; a y0 a2 b
垂直平分线的方程:
2 2

弦所在直线的方程: 在双曲线

b2 x x y ? 2 ? 1 中 , 以 P( x0 , y0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= 2 0 ; 在 抛 物 线 a y0 a2 b p y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0 提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别 忘了检验 ? ? 0 !

随堂练习: 圆锥曲线小测:圆锥曲线单元测试卷

时间:60 分钟,满分 100 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题给出的选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 1.若椭圆
A .2

x2 y2 ? ? 1 上一点 p 到椭圆一个焦点的距离 3,则点 p 到另一个焦点的距离为( D ) 16 25
B.3 C.5 D.7

x2 y2 ? 1 共焦点且过点(5,-2)的双曲线标准方程是( 2. ★★与椭圆 ? 10 4

)

A.

x2 ? y2 ? 1 5

B.x 2 ?

y2 ?1 5

C.

x2 y 2 ? ?1 10 8

D.

y 2 x2 ? ?1 8 10

3.★★★ 若椭圆 mx 2 ? ny 2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A, B 两点,过原点与线段 AB 的中点 的直线的斜率为
2 n ,则 的值为( 2 m



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A.
2 2

B. 2

C.

3 2

D.

2 9

4. ★★★已知 F1 , F2 是双曲线的两个焦点,PQ 是过点 F1 且垂直于实轴所在直线的双曲线的 弦, ?PF2Q ? 900 ,则双曲线的离心率为( A. 2 B. 2 ? 1 C. 2 ? 1 D.
2 ?1 2



5. ★★设 k ? 1 ,则关于 x, y 的方程 ?1 ? k 2 ? x 2 ? y 2 ? k 2 ? 1 所表示的是( A.长轴在 y 轴上的椭圆 C.实轴在 y 轴上的双曲线 B.长轴在 x 轴上的椭圆 D.实轴在 x 轴上的双曲线



6. ★★如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是( A. ? 0, ?? ? 7. ★★双曲线 A. 3 8. ★★★椭圆 B. ? 0, 2 ? C. ?1, ?? ? D. ? 0,1? )



x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( 9 16

B. 3

C. 4

D. 2 )

x2 y 2 ? ? 1 的弦被点 ? 4, 2 ? 平分,则此弦所在的直线方程是( 36 9

A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 4 C. 2 x ? 3 y ? 14 D. x ? 2 y ? 8 9. ★★★若方程
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( m ?2 5?m



A. ?2 ? m ? 2 B. m ? 5 C. ?2 ? m ? 2或m ? 5 D.全体实数 10. ★★★过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 1350 的直线,交抛物线于 A, B 两 点,则 ?OAB 的面积为( A.
2 2 p 2

) C. p 2 D. 2 p 2

B. 2 p 2

二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分 13. ★★★已知斜率为 1 的直线过椭圆
x2 ? y 2 ? 1 的焦点,且与椭圆交于 A, B 两点,则线段 4

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AB 的长是
14.★★★椭圆 。
x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点为 F1 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴 12 3

上,则 M 点的纵坐标是 15. 若椭圆



x2 y2 + =1 上有一点 P,它到左焦点距离为 12,那么它到右准线距离为_ 100 36

__。 16. ★★★给出如下四个命题:①方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 0 表示的图形是圆;②椭圆椭圆
5 x2 y 2 1 ; ③ 抛 物 线 x ? 2 y2 的 准 线 的 方 程 是 x ? ? ; ④ 双 曲 线 ? ?1 的离心率 e ? 3 3 2 8 2 2 y x 5 ? ? ?1 的渐近线方程是 y ? ? x 。其中所有不正确命题的序号是 。 49 25 7

三、解答题:本大题 4 小题,共 40 分 17. ★★★(本题满分 10 分)已知抛物线 y 2 ? 2 px ,过焦点 F 的弦的倾斜角为 ? ?? ? 0 ? 且 与抛物线交于 A, B ,求弦长 AB 。

18. ★★★(本题满分 10 分)已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两个焦点的 距离分别为
4 5 2 5 和 , P 作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点, 过 求椭圆的方程。 3 3

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19. ★★★★(本题满分 10 分)椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当 16 4

?F1PF2 为钝角时,求 P 点的横坐标的取值范围。

20. ★★★★(本题满分 10 分)已知椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ,一个过点 P(2, ?3) 的 4 3

双曲线的长轴的端点为椭圆的焦点,求双曲线的标准方程。

21.★★★★★ (本题选作) (本小题满分 12 分)直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1 相交于点
A, B ,问是否存在这样的实数 a ,使得 A, B 关于直线 y ? 2 x 对称?如果存在,求出实数 a ,

如果不存在,请说明理由。

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答案部分: 1.解析:D 2.解析:A 3. 解析: A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? , 设
m y0 2 ? ? 。故选 A 。 n x0 2 y 2 y1 ? y2 m x 而 , ? ? ? 0 ? ?1 , 0 ? x0 2 x1 ? x2 n y0



4. 解析: 不妨设双曲线的方程为

b2 x2 y 2 b2 ? 2 ? 1 , x ? ?c 得 y ? ? , PF1 ? , F1F2 ? 2c , 令 ∴ 又 a a2 b a

b2 c2 ? a2 ? 2c ,∴ c2 ? a 2 ? 2ac ,两边同时除 而 ?PF2Q ? 90 ,∴ PF1 ? F1F2 ,∴ ? 2c ,∴ a a
0

以 a 2 得 e2 ? 2e ? 1 ? 0 ,∴ (e ? 1) 2 ? 2 ,又∵ e ? 1 ,∴ e ? 1 ? 2 ,∴ e ? 2 ? 1 ,故选 B 。 5.解析:化曲线的方程为标准形式,因为 k ? 1 ,故选 C 。 2 6.解析:方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以 ? 2 ,解得 0 ? k ? 1。故选 D 。 k 7.解析:焦点为 F ? 5,0 ? ,渐近线为 y ?
4 x ,距离 d ? 3

20 3 ?4? 1? ? ? ?3?
2

? 4 。故选 C 。

1 8. 解析: 利用点差法可求出直线的斜率为 k ? ? , 再用直线的点斜式求出方程即可。 D 。 选 2 x2 y2 ? ? 1 表 示 双 曲 线 , 所 以 ? m ? 2? ?5 ? m? ? 0 , 解 得 10 . 解 析 : 方 程 m ?2 5?m

?2 ? m ? 2或m ? 5 。故选 C 。
11. 解析: AB 的方程 y ? ? x ? 弦
p , 把它与 y 2 ? 2 px( p ? 0) 联立得关于 y 的一元二次方程, 2

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注意到 S?ABO ?
p y1 ? y2 ,用韦达定理可以求得结果。选 A 。 4

13. 解析:a 2 ? 4 ,a ? 2 ,b2 ? 1 ,b ? 1,c 2 ? 3 ,c ? 3 , 不妨设 l 过右焦点, l : y ? x ? 3 , 则
?y ? x ? 3 ? 由? 2 消 y 得: 5 x 2 ? 8 3x ? 8 ? 0 , 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ?

∴ x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

?8 3 ? 8 2 3 , ? 4x1x2 = ? ? ? 4? ? ? 5 ? 5 5 ? ?

2

2 3 2 6 ∴ AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 = 2 ? 。 ? 5 5

14.解析:∵ a 2 ? 12 , b2 ? 3 , c ? 3 ,∴点 F1 的坐标为 ? ?3,0 ? ,设点 P 的坐标为 ( x1, y1 ) ,
M 点的坐标为 ? 0, y ? ,则由中点坐标公式得 x1 ? m3 , y ?
y1 ? ? 3 3 ,所以点 M 的纵坐标为 y ? ? 。 4 2
3 7 ;④渐近线的方程为 y ? ? x 。 3 5

y1 ,把 x1 ? m 3 代入椭圆方程,得 2

15.解析:10。 16.解析:①②④。①表示的图形是一个点 ?1, 0 ? ;② e ? 17.解析:设 AB 的方程为 x ? cot ? ?y ?

p 代入 y 2 ? 2 px ,得 y 2 ? 2 p cot ? ?y ? p 2 ? 0 。设 2 2p A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? 1 ? cot 2 ? ? 4 p 2 cot 2 ? ? 4 p 2 ? 2 p ?1 ? cot 2 ? ? ? 。 sin 2 ?
4 5 2 5 , PF2 ? ,由椭圆的定义知: 3 3

18 . 解 析 : 设 两 焦 点 为 F1 , F2 , 且 PF1

2a ? PF1 ? PF2 ?

4 5 2 5 ? ? 2 5 ,∴ a ? 5 。∵ PF1 ? PF2 ,∴由题意知 ?PF1 F2 为直 3 3
PF2 PF1 ? 1 ? 2 15 ? , ?PF1F2 ? , 2c ? PF1 ? cos ? ∴ ∴ , 2 6 3 6

sin 角三角形, ?PF1 F2 中, ?PF1 F2 ? 在

∴c ?

15 10 ,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 。因为焦点可以在 y 轴上,也可能在 y 轴上,∵椭圆的方 3 3

程为

x2 3 y 2 3x 2 y 2 ? ?1或 ? ?1。 5 10 10 5

19.解析:设 P ? x0 , y0 ? ,椭圆的焦点的坐标为 F1 ?2 3,0 , F2 2 3, 0 ,由余弦定理得

?

?

?

?

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PF1 ? PF2 ? F1F2 cos ?F1PF2 ? ? 0, 2 PF1 PF2
2 2 2

? x ? 2 3? ? y ? ? x ? 2 3? ? y ? ?4 3? ∴ 2 ? x ? 2 3? ? y ? ?x ? 2 3? ? y
2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0

2

? 0,

∴ x0 ? 2 3 ? y02 ? x0 ? 2 3 ? y02 ? 4 3 解得 ?
4 4 6 ? x0 ? 6。 3 3

?

?

2

?

?

2

?

?

2

? 0 ,又由

x0 2 y0 2 16 ? x0 2 ,代入 ? ? 1 得 y0 2 ? 16 4 4

x2 y 2 ? 1 知:椭圆的长轴端点为 (?2,0) 和 (2,0) , 20.解析:方法一:由椭圆的标准方程为 ? 4 3

所以,双曲线的焦点为 F1 (?2,0), F2 (2,0) ,焦点在 x 轴上且 c ? 2 。设所求双曲线的标准方程 为 : ∴ 2a ?
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , 由 双 曲 线 的 定 义 知 , 2a ? PF1 ? PF2 a 2 b2



∴ 又 ∴ (?2 ? 2)2 ? (0 ? (?3))2 ? (2 ? 2)2 ? (0,(?3))2 = 5 ? 3 ? 2 。 a ? 1 , c ? 2 , a 2 ? 1 ,
2

y2 ? 1 。方法二:由椭圆的标准方程是 b ? c ? a ? 4 ? 1 ? 3 。∴双曲线的标准方程 x ? 3
2

x2 y 2 ? ? 1 ,知椭圆长轴的端点为 (?2,0) 和 (2,0) ,所以,双曲线的焦点为 F1 (?2,0), F2 (2,0) , 4 3

焦点在 x 轴上且 c ? 2 。设双曲线的标准方程为: ∴

x2 y2 ? ? 1 ,又双曲线过点 P(2, ?3) , a2 4 ? a2

4 9 ? ? 1 ,∴ 4(4 ? a 2 ) ? 9a 2 ? a 2 ? 4 ? a 2 ? ,∴ a 4 ? 17a 2 ? 16 ? 0 ,∴ a 2 ? 1或a 2 ? 4 。 2 2 a 4?a
2 2

y2 ? 1。 又 a ? c ,∴ a ? 4 舍去,∴ a ? 1 ,∴双曲线的标准方程 x ? 3
2

1 21.解析:假设存在实数 a 满足题意,则直线 AB 与直线 y ? 2 x 垂直,故 a ? ? ,又设 2

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 在 双 曲 线 上 , 故 3x12 ? y12 ? 1, 3x2 2 ? y2 2 ? 1 , 两 式 相 减 得 :
y1 ? y2 3 ? x1 ? x2 ? x ?x y ?y ? ,设 M ? x0 , y0 ? 是 A, B 的中点,则 x0 ? 1 2 y0 ? 1 2 ,则 M 在直线 x1 ? x2 1? y1 ? y2 ? 2 2 ?

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2x x 3 1 3 y ? 2 x 上,则 y0 ? 2 x0 ,故 a ? 3? 0 ? 3? 0 ? ,而 a ? ? 且 a ? 是不可能的,所以假设 2 y0 y0 2 2 2

不成立。即不存在。

课后作业 备注 提交时间 教研组长审批

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