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圆锥曲线知识结构


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圆锥曲线知识结构
简介:
?一、椭圆知识体系 ? ?五、参数取值或取值范围问题 ?二、双曲线知识体系? ? ?相同? 迁移学习 ? 探究性问题 ? 存在性问题+恒成立问题 ? ? ? ? ? 简介 ? ? 热点问题 ? 差异 ? ? ? ? 三、抛物线知识体系 ? ? ?六、最值问题 ? ? 四、直线与圆锥曲线的

综合 ?七、定值、顶点问题 (等等) ?

? ?对比学习 ? ?1、三类圆锥曲线是基础,扎扎实实打好基本功 ? ?辩证思维 ? ?带着四大思想的眼光学 ? ? ? ?定值、定点问题 ? ? ? ? ? ?弦中点问题 ? 2 、重视几个专题 ? ? ? 掌握通性通法 探究性问题 ? 参数取值或取值范围 ? ? ? 学习方法 ? ? ? 最值问题 ? ? ? ? ?三点共线得到什么结论? ? ?向量垂直得到什么结论? ? ? 3、总结小型技巧 ? ? ?三点共圆得到什么结论? ? ? ? ?等等 ?4、将每个知识块用普遍联系的眼光看待 ? 作为整体的一个环节而存在 ?

一、椭圆知识体系
1、定义和方程

(1) 定义 ?| PF 1 ? PF2 |? 2a(2a ?| F 1 F2 |? 0) ? 情形 ?

?| F1 F2 |? 2a ?| F1 F2 |? 2a

? 几何意义

(2)方程
? ? x2 y 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? x轴 ? ? ? 2 a b 2 2 2 2 ? A.标准方程 ? ? ? mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) ? 标准方程的统一形式 ? a ? b ? c 2 2 ? y x ? ? ? 1(a ? b ? 0) ? y轴? ? 2 ? ? b2 ? ?a ? 2 2 ? ?x y c ? ?? ( 的比值相同,焦点不同) ? ? ? ? a 2 b2 a 方程 ? ? B.椭圆系方程 ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 1( c 的比值不同,焦点不同) 2 2 ? ? a ? a +? b +? ? ? ? x ? a cos ? ? ?C.参数方程 ? ?方程 ? y ? b sin ? ? ? ? ??的几何意义,? ? [0, 2? ) ? ? ? ?

(3)考题方向

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? ?直接运用代数式,配合相关简单结论求a, b, c ? 知三求二 ?1、对定义和方程的考察 ? ?几何意义 ? 通过数形结合求几何意义下的a, b, c ? ? ? ?设方程,注意焦点的位置 考题方向 ? ? ?2、椭圆系方程 ? ? ? ? 转化技巧 ? ?3、参数方程 ?
另一种思路:椭圆可以理解为符合到其定义的点的集合,即 ? ? { A | A为符合定义的点}

? {A( x, y) | mx2 ? ny 2 ? 1, m ? 0, n ? 0, m ? n}



题目中已知条件理解为符合其定义的点的集合,即

? ={B | B为符合已知条件的点} ={B( x, y ) | x, y为一个代数式} ; ? ? ? ? {嵌套}
2、性质

?范围 ?| x |? a,| y |? b(其他情形类推) ? ?轴对称、中心对称 ? ?对称性 ? ? 常规性质 ? ?直线与椭圆焦点产生的对称问题 ; ?顶点、长(半)轴、短(半)轴、通径 ? ? ?焦点、焦距、焦点 ? 焦点弦、焦点三角形
A.椭圆上到中心距离最近和最远的点

? A.椭圆上到中心距离最近和最远的点 ? B.焦点三角形 ? 其他性质 ? ?C. c o?s ? ? D.一个结论

设 P( x, y) 为椭圆

x a

2

2

?

y b

2

2

? 1( a ? b ? 0) 上任意一点. ?| PO |?

x ?y ?
2 2

x ?
2

b a

2 2

(a ? x ) ?
2 2

c x ?a b
2 2 2

2

a

?a ? x ? a,? ?

? x ? 0 ?| PO | 有最小值b ? x ? ? a ?| PO | 有最大值a

B.焦点三角形

椭圆的定义 正弦定理 余弦定理
S= 1 2

?

| MF | + | MF |? 2 a
1 2

| F F |? 2 c
1 2

?

| MF || MF | sin ?
1 2

? ? ? ? ? ? ?焦点三角形S ? b tan 2 ??? ? ? ?| MF | ? | MF | 的最值 ? ? ?
2 1 2

C.cos ?
cos ? ? | MF1 | ? | MF2 | ?4c
2 2 2

2 | MF1 | ? | MF2 |

?

(| MF1 | ? | MF2 |) ? 2 | MF1 | ? | MF2 | ?4c
2

2

2 | MF1 | ? | MF2 |

?

b

2

| MF1 | ? | MF2 |

?1 ? (

b 2

2

| MF1 | ? | MF2 |

?1 ? )
2

b a

2 2

?1

即, | MF1 |?| MF2 | 时(顶点) , ? 取得最大值.

D.一个结论:如果椭圆上三点A、B、C到同一焦点的距离成等差数列,则三点A、B、C的横坐标 (或纵坐标)也成等差数列

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3、直线与椭圆的综合(见后面)

二、双曲线知识体系
1、定义和方程

?2a ?| F1 F2 | (1) 定义 ?|| MF | ? | MF ||? 2a(| F F |? 2a ? 0) ? 情形 ? ? 几何意义 ?2a ?| F1 F2 | 1 2 1 2 ?| MF | ? | MF |? 2a和 | MF | ? | MF |? ?2a ? 1 2 1 2
(2)方程

? ? x2 y2 ? ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) ? x轴 ? 2 ? ? ?a b ? 2 2 2 2 2 ?? ? A.标准方程 ? mx ? ny ? 1( m, n同号) ? 标准方程的统一形式 ? a ? b ? c 2 2 ? ? y ? x ? 1( a ? 0, b ? 0) ? y轴? ? ? a2 b2 ? ? ? ? 2 2 y c ?x ? ? 2 ?? ( 相同,渐近线相同,焦点不同) ? 共轭双曲线 2 ? ? ? ?a b a 方程 ? B.双曲线系方程 ? ? 2 2 c ? ? x ? y ?( 1 不同,渐近线不同,焦点相同) 2 2 ? ? ?a ? ? b ? ? a ? x ? b tan ? ? ? ? ?方程 ? ?C .参数方程 ?? ? 一般容易考椭圆的情形,双曲线的较少考察 ? y ? a sec ? ? ??的几何意义,? ? [0, 2? ) ? ? ? ?
(3)考题方向

? ?直接运用代数式,配合相关简单结论求a, b, c ? 知三求二 ?1、对定义和方程的考察 ? ?几何意义 ? 通过数形结合求几何意义下的a, b, c ? ? ? ?设方程,注意焦点的位置 考题方向 ? ? ?2、双曲线系方程 ? ? ? ? 转化技巧 ? ?3、参数方程 ?
2、性质

?范围 ?| x |? a (其他情形类推) ? 轴对称、中心对称 ?对称性 ? ? ? ? ?直线与双曲线焦点产生的对称问题 ? ? ? ; 常规性质 ?顶点、实(半)轴、虚(半)轴、通径 ?焦点、焦距、焦点 ? 焦点弦、焦点三角形 ? ? ? ?渐近线 ? 求法 ? 令使1变为0 ? ? 强行记忆容易记错一种情形 ?

? A.等轴双曲线 ? 其他性质 ? B.共轭双曲线 ?C.焦点三角形 ?

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A. 等轴双曲线: x2 ? y 2 ? m,其渐近线方程为y ? ? x,渐近线互相垂直.

B. 共轭双曲线:
x a
2 2

?

y b

2 2

? ?与

x b

2 2

?

y a

2 2

? ?互为共轭双曲线,也就是实轴与虚轴互换的双曲线

2 2 x y ? 1 、有相同的渐近线 ? ? 0,相同的焦距(焦点不同) 2 2 ? a b ? ? 2 2 2 2 ? 小结论 ?2、四个焦点共同一个圆:x ? y ? ? ( a ? b ) ? c 1 1 ?3、两个离心率( )的倒数的平方和为1,可记为 2 ? 2 ? 1 a e1 e2 ? ?

注: A.B 都是开花不接果实的结论

C.焦点三角形 :
?|| MF1 | ? | MF2 ||? 2 a ?? 双曲线的定义 ? ?? ?| F1 F2 |? 2c ?
正弦定理 余弦定理 S= 1 2 | MF1 || MF2 | sin ?

? ? ? 2 ? ?焦点三角形S ? b cot 2 ??? ? ? | MF | ? | MF | 的最值 2 ? ? 1 ? ?

3、直线与双曲线的综合(见后面)

三、抛物线知识体系
1、定义与方程

?一个动点:设为点M ?一个定点:F ? ? (1)定义: “一动三定”? ?一条定直线:l ? ? 1 ? 双曲线 ?一个定值:点M 到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1 ? ? ? ? ?? 1 ? 椭圆
(2)方程

? A.标准方程 ? y 2 ? 2 px ( p ? 0), y 2 ? ?2 px ( p ? 0), x 2 ? 2 py ( p ? 0), x 2 ? ?2 py ( p ? 0) ? 非标准形式的准线和焦点 ? 方程 ? ? x ? 2 pt 2 ? x ? 2 pt 2 2 (或 ? )(t 为参数) ? B.参数方程 ? y ? 2 px (或x ? 2 py )的参数方程为 ? 2 ? ? y ? 2 pt ? y ? 2 pt
(3)考题方向

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? ?平移变换 ?只有顶点在原点,焦点在坐标轴上才有标准形式 ? 探讨非标准形式 ? ?找关系 ? ? ? 考题方向 ?求抛物线的标准方程,必须先确定开口方向,需要一个条件,确定系数p ? ? ? ?思考方式 ? 如果抛物线上的点与焦点相连,一定由这个点作准线的垂线,反之亦然
2、性质

?范围 ? 轴对称 ?对称性 ? ? ? ? ?直线与抛物线产生的对称问题 ? 常规性质 ? ?顶点、通径 ? ?焦点、焦准距、焦点 ? 焦点弦、焦半径 ? ?准线
独特性质:直线过抛物线焦点产生的小结论 ? 见后面

? 自己推演 ;

3、直线与抛物线的综合(见后面)

四、直线与圆锥曲线的综合
1、 点与圆锥曲线的位置关系
2 2 x y ? P 在椭圆内 ? ? ?1 2 2 ? a b ? 2 2 2 2 x y x y ? 设P ( x0, y0 )与椭圆 2 + 2 ? 1,则 ? P在椭圆上 ? 2 ? 2 ? 1 ? 参数范围 a b a b ? 2 2 ? x y P 在椭圆外 ? ? ?1 ? 2 2 a b ?

A.

2 2 x y ? P 在双曲线的两支之间 ? ? ?1 2 2 ? a b ? 2 2 2 2 x y x y ? ? 区域 ? 直线与双曲线位置关系 B. 设P ( x0, y0 )与双曲线 2 ? 2 ? 1,则 ? P在双曲线上 ? 2 ? 2 ? 1 a b a b ? 2 2 ? x y P 在双曲线的两支之外 ? ? ?1 ? 2 2 a b ?

C.

? P在抛物线内 ? y 2 ? 2 px ? 2 2 设P ( x0 , y0 )和抛物线y ? 2 px, 则 ? P在抛物线上 ? y ? 2 px ? P在抛物线外 ? y 2 ? 2 px ?

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2、直线与圆锥曲线的位置关系

设直线

?ax 2 ? bx ? c ? 0 l : ax2 ? bx ? c ? 0 , 圆 锥 曲 线 : F ( x, y) ? 0 . 由 ? ? F ( x, y ) ? 0

消去

x或y

,若消去

y

后得:

a x2 ? b x? c?0 ( ? )
? ?双曲线 ? k直线 ? k双曲线 ? a ? 0 ? 非椭圆 ? ? ? 平行或重合 ? 一个交点 ? 抛物线 ? k直线 ? k抛物线 ? ? ? ? ? ?一支 ? ? 0 ? 两个交点 ? 相交 ? 双曲线情形 ? ? ? ?? ?两支 ? ? ?a ? 0 ? ? ? ? ? 0 ? 一个交点 ? 相切 ? ? ? ? 距离 ?? ? 0 ? 无交点 ? 相离 ? ? ? ? ? ?平移 ? ?
? ?与椭圆只有一个公共点 ? 相切 ? ? ?相切 直线 ? ?与双曲线只有一个公共点 ? ? ?与渐近线平行 ? ? ?相切 ?与抛物线只有一个公共点 ? ? ? ?与对称轴平行
?1、什么时候消去x, 什么时候消去y ? 注?? (?)中的a、b与直线l中的a、b是不同的 ?2、
注2 ? 注意数形结合——代数与几何双重理解 ? 尤其是双曲线版块(数形结合)
注3 ? 对于直线与三种圆锥曲线的关系,应当将其发展到对立的环节来认识

? ?直线与圆锥曲线交点个数 ?几何法:借助图形直观解决 ?参数范围等 ? ? ? 直线与圆锥曲线的位置有关问题两类方法 ? ?联立方程组,消元,一元二次方程 ? ?有关弦长问题 ?代数法: ? ?? ? ? ?,判别式,韦达定理及根的分布 ? ?面积计算等

? ?弦长公式 ?相交 ? 相交产生的弦 ?焦点弦 ? ? [ 介绍,以下知识排列 ? 直线与圆锥曲线的位置关系 ? ?中点弦 ] ? ? ? ?相切 ? (略)

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3、弦长公式

? ? 2 2 ?|弦长|= ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ? ? ? ? 2 (韦达定理) ? 设而不求 ?| 弦长|= 1 ? k ? | x1 ? x2 | (常用) ? ? ? ?| 弦长|= 1 ? 1 ? | y ? y | ( k ? 0) ? 1 2 2 ? ? k ? ?
| x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 , | y1 ? y2 |?
2

( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2
2

? 大题目基本大多数做到这一步才会出现不同的情形
4、焦点弦(过焦点的弦)

若弦过圆锥曲线的焦点,则弦长可通过焦半径公式求得

?焦点在x轴上 ?| MF1 |? a ? ex0 ,| MF2 |? a ? ex0 A.椭圆 ? ( M 为椭圆上任一点,F1、F2 为左右或下上焦点) ?焦点在y轴上 ?| MF1 |? a ? ey0 ,| MF2 |? a ? ey0

? 2a ? c ( x ? x )(过右焦点) 1 2 ? a ? ? 2a ? c ( x ? x )(过左焦点) 1 2 ? a ? 弦长 ? ? ? 2a ? c ( y ? y )(过上焦点) 1 2 ? a ? c ? 2a ? ( y1 ? y2 )(过下焦点) ? a

? 重要结论 ?

?若:椭圆上三点到同一焦点的距离成等差数列 ?则:三点的横坐标(纵坐标)也成等差数列

? ? M 在右支 ?| MF1 |? ex0 ? a,| MF2 |? ex0 ? a ?焦点在x轴上 ? ? M 在左支 ?| MF |? ?(ex ? a ),| MF |? ?(ex ? a ) ? ? 1 0 2 0 B.双曲线 ? ?焦点在y轴上 ? ? M 在上支 ?| MF1 |? ey0 ? a,| MF2 |? ey0 ? a ? ? ? ? M 在下支 ?| MF1 |? ?(ey0 ? a ),| MF2 |? ?(ey0 ? a )
? 弦长={根据过焦点的两交点分属图形的哪支对应来求}

?1、M ( x , y ),e ? c ? 0 0 注? a ? ?2、F1 , F2分别是左右或下上位置的焦点
C.抛物线的焦半径和弦长(有很多有趣的性质) 直线AB的倾斜角为?

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?1、弦长|AB |? x ? x ? p ? ? ? ? 2、y y ? ? p , x x ? p ? 4 ? p ? ? 性质一 ?3、S ? 2 sin ? ? 1 1 2 ? ? ? ? 4、 | AF | | BF | p ? ?5、?A FB ? 90 ? ?
1 2 2 2 1 2 1 2 2 ?AOB ? 1 1

2p sin ?
2

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

?1、以AB为直径的圆与准线相切 ? ? 性质二 ?2、以AF (或BF )为直径的圆与y轴相切 ?3、以CD为直径的圆切AB于F ?
5、弦的中点问题 ? 点差法

?1、通径最短 ? ? 性质三 ?2、共线问题(略) ?3、比值问题(略) ?

A. 对于椭圆, 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )为椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0), x1 ? x2、x1 ? x2 ? 0,M 为AB中点

? x12 y12 ? ?1 2 ? b ? a 2 b2 ?? 两式相减,化简得k AB ? kOM =- 2 2 2 a ? x2 ? y 2 ? 1 2 2 ? ?a b
B. 对于双曲线,
x a
2 2

[焦点在y轴上依此类推]

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 情形,有 k AB ? kOM =
y1 ? y2 x1 ? x2 2p

b a

2 2

[焦点在y轴上依此类推]

C. 对于抛物线, y ? 2 px( p ? 0) ? k AB ?

2

?

y1 ? y2

[其他情形依此类推]

注: 使用点差法求得的结果必须验证,否则不能保证问题的存在性

如:已知双曲线 x ?
2

y

2

2

? 1 ,定点 A (1,1) ,过 A 点作直线 l 与所给双曲线相交于 PP 的中点,这样的直线存在吗?若存 1 2

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 2 在,求出方程;若不存在,请说明理由.解析:由点差法求出直线的方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 .但是之后,由 ? y 2 x ? ?1 ? ? 2
得到的 ? ? 0 .故求得的直线是不存在.

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D.由弦的中点问题产生的对称问题 :曲线上两点关于某直线对称

?1、两点连线与该直线垂直 ? k1 ? k2 ? ?1 ? 方法 ? ?2、两点连接线段中点在该直线上

? 对称问题,见附稿

?1、弦中点的问题 ? 点差法的应用 ? ?2、许多与弦中点相似的问题 ? 对称、重心等
6、总结

?1、最值求解,定值、定点问题 ? ? ? 解析几何中处理很多热? ?2、探究性问题 ? 参数取值或取值范围问题 ? ? ? ? ? ?? 点问题的方法是相通的 ? ?3、弦中点问题 ? ? ? 4 、等 ? ?
?1、探究性与最值问题、定值问题结合题 ? 如:是否存在,使得某某为定值? ? ? 出题方向 ? ?正向 ? 如:求某某的定值 ?2、直接考察 ?逆向 ? 如:已经知道某某的定值,反求某参数 ? ?
五、专题热点问题
1、参数取值或取值范围问题 求解圆锥曲线一类参数范围是涉及方程、不等式及函数的综合题,需要洞察已知条件和欲求参数范围之间内在联系,有 时还须引入中间参量,通过中间参数使问题过渡,而曲线上点坐标的运动变化范围往往也是控制所求参数的必要条件.

样题:

已知椭圆 C :3x ? 4 y ? 12 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l : y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不同的两
2 2

点关于这条直线对称. 分析 设出对称的两点及其所在的直线的方程,再使用判别式 ? ? 0 及中点在对称轴上求解. 解 设椭圆 C 上关于直线 l 对称的两点为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,其所在直线的方程为 y ? ?
2 2 2 2 圆 的 方 程 3x ? 4 y ? 12 并 整 理 得 13x ? 8bx ? 16b ? 48 ? 0 .

1 4

x ? b ,代入椭

x1 ? x2 ?? ? ?192(4b2 ?13) ? 0 ?

?

13 13 1 .又 ○ ?b? 2 2

x1 ? x2 4b y1 ? y2 x ? x2 y1 ? y2 1 x ?x 12b ? , ) 又在 ? ? , 1 2 ?b ? , ,而点 ( 1 2 13 2 2 2 4 2 13

y ? 4 x ? m 上, m ?

y1 ? y2 x ?x 4b 2 13 2 13 2 .把○ 1 代入○ 2 得? ? 4? 1 2 ? ? ○ ?m? 2 2 13 13 13

即 m 得取值范围是 (?

2 13 2 13 , ). 13 13
9

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2、最值问题

?1、几何法 ? 先定位,再计算其最值 ? 注意运用曲线的定义或平面几何的一些性质 ? ? 两种方法 ? ?二次函数 ?2、代数法 ? 恰当引入变量,建立目标函数求其最值 ? 运用求函数最值的一般方法 ?nike函数 ? ?
? 代数法中,有一类问题可使用参数方程
3、定点、定值问题

?1、通过特殊位置探索结论 ? 如果是选择、填空题,做到这一步就够了 ? 处理定点方法 ? ?2、演绎推理进行一般性证明 ? 注意整体处理技巧
4、求轨迹方程问题

注:专题热点问题是热点,也是解析几何知识与函数、向量、数列知识交汇的力量之源,学生应当在学习过程中,注意总 结归类这几大类题目的小技巧。这里,只说明两点,第一,很多题目都需要计算到韦达定理那一步,之后才会分化出很多 的不同。我们在掌握通性通法的同时,也要注意掌握小经验、小技巧。第二,还有几个热点难点没有介绍,如相切问题、 圆锥曲线与圆的问题等,不做相应专题的原因有两点。一是考虑到高考着重于以直线与圆锥曲线为载体,我们应当把主要 精力投入到细化这方面的知识中来;二是没有介绍的专题目前并不是考察的重点,本身却是难点。

? ?伴随曲线 ? ?平行转移 ?1、坐标转移 ? ? ? ?垂直转移 ? ? ?一般转移 ? ? ?坐标轴的平移 ?2、图形变换 ? ?圆锥曲线图形的平移 ? ? 圆锥曲线的一些待发展方向 ? ?3、反比例函数的双曲线研究 ?4、二次函数的抛物线研究 ? ?5、圆锥曲线的半图形研究 ?6、圆锥曲线与圆的相互生成问题 ? ?7、典型问题 ? 面积、垂直、最值、角度等 ? 小技巧 ?8、五心问题 ?

注:只有在解题过程中来掌握,才能使以上知识体系栩栩如生

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最适合中国学生的教学模式 巩固大练习 一、椭圆部分(一) 1、已知动圆 P 过定点 A(?3, 0) ,并且在定圆 B( x ? 3)2 ? y 2 ? 64 的内部与其相切,求动圆圆心 P 的轨迹 方程. 2、已知 ?ABC , A(3, 0)、B(?3, 0) 且三边长 | AC | 、 | AB | 、 | BC | 依次成等差数列,求顶点 C 的轨迹方程.

y2 ? a 2 (a ? 0) 和连接 A(1,1)、B(2,3) 两点的线段有公共点,那么 a 的取值范围是 3、椭圆 x ? 4
2

.

4、过点 P(3, ?2) 且与椭圆 4x2 ? 9 y 2 ? 36 有相同焦点的椭圆方程是

.

5、椭圆 是

x2 y 2 ? ? 1 上 一 点 P 到 两 个 焦 点 的 距 离 分 别 为 m、n , 则 mn 取 最 大 值 时 , 点 P 的 坐 标 25 9
.

6、推算椭圆的焦点三角形面积公式.

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点,关于直线 y ? 4 x ? m 7、已知椭圆 C : 4 3
对称. 8、 过椭圆的一个焦点 F 作与 x 轴不垂直的直线交椭圆于 A, B 两点, 线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M ,

证明

| AB | 为定值. | FM |
一、椭圆部分(二)

1、已知 ?ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 3
.

BC 边上,则 ?ABC 的周长是
2、 F1、F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点, P 是椭圆上任一点,过一焦点引 ?F1PF2 的外角平分 a 2 b2
.

线的垂线,垂足为 Q 的轨迹为

2 2 3、已知 A(? , 0) , B 是圆 C : ( x ? ) ? y ? 4 上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BC ( C 为圆 C 的

1 2

1 2

圆心)于 P ,则动点 P 的轨迹方程为

.

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最适合中国学生的教学模式 4、如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂 25 16

F 是椭圆的一个焦点,则 线交椭圆的上半部分于 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点,
_______. PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?

5、设椭圆的中心为原点,在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直,且此焦点和长轴较近的端点 的距离为 10 ? 5 ,则椭圆的方程为 .

6、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点到直线 x ? y ? 10 ? 0 的距离的最小值是 16 9

.

7、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4(m ? R) 的交点情况是 16 9

.

8、点 P 是椭圆 值之差为

x2 y 2 ? ? 1 上一点, k ?| PF1 || PF2 | ( F1、F 是椭圆的两个焦点) ,则 k 的最大值和最小 4 3
.

9 、 F1、F2 是椭圆的两个焦点,椭圆方程为 是 .

x2 y 2 P 的个数 ? ? 1 ,点 P 满足 PF 1 ? PF ,则椭圆上点 8 4

10、直线 y ? kx ? 1 (k ? R) 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,求 m 的取值范围. 5 m

11、 E、F 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, l : x ? 2 2 ,点 P 在 l 上,求 ?EPF 的最大值. 4 2

12、设椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两焦点为 F1、F2。 (1)若点 P 是椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,求Δ F1PF2 的 9 25

面积; (2)若 AB 是经过椭圆中心的一条弦,求 ?F1 AB 的面积的最大值. 二、双曲线部分(一)

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, P(3,1)为双曲线内一点,点 A 在双曲线上,求 1 、 已知 F1 , F2 为双曲线 5 4

| AP | ? | AF2 | 的最小值.

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最适合中国学生的教学模式 2、已知双曲线定义中的常数为 2 a ,线段 AB 为双曲线上过焦点 F2 的弦,且 | AB |? m , F1 为另一焦点, 求 ?ABF1 的周长. 3、已知动圆 M 与圆 C1 : ( x ? 4)2 ? y2 ? 2 外切,与圆 C2 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 2 内切,求动圆 M 圆心的轨迹 方程. 4、判断平面上同时和两相交定圆(半径不等)外切的动圆圆心的轨迹.

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3, 2 3) 的双曲线;如果过点 (?3,6 3) 呢? 5、求与双曲线 9 16
6、求与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2, 2) . 16 4
2 2

? P 到 x 轴的距 7、已知 F1 , F2 为双曲线 C : x ? y ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ?F 1PF 2 ? 60 ,求点

离. 8、求双曲线的焦点三角形. 9、试确定实数 k 的不同取值,讨论直线 y ? k ( x ? 1) 与双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的公共点的个数.

10、试证明双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数. a 2 b2
二、双曲线部分(二)

1、设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足 a 2 b2

| PF2 |?| F1F2 | ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,求该双曲线的渐近线方程.
2、 ?ABC 的顶点 A(?5, 0), B(5, 0) , ?ABC 的内切圆圆心在直线 x ? 3 上,求顶点 C 的轨迹方程. 3、在 ?ABC 中, | BC |? 4 ,且 tan B ? tan C ? ?2 ,试求顶点 A 的轨迹方程. 4、已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1,过点 P(1,1) 的直线 l 与双曲线只有一个公共点,求直线 l 的斜率 k 的值. 4

x2 y 2 y 2 x2 5、双曲线 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的四个顶点连线围成的图形面积为 S1 ,四个焦点连线 a b a b
围成的图形面积为 S2 ,求

S1 的最大值. S2

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最适合中国学生的教学模式 6、设 x ? 0, y ? 0, x2 ? y 2 ? 1 ,求

y 的最大值. x?2

7、 已知双曲线 2 x 2 ? y 2 ? 2 , 过点 B(1,1) 能否作直线 l , 使直线 l 与所给双曲线交于 Q1、Q2 两点, 且B 是 弦 Q1Q2 的中点?如果存在,求出它的方程;如果不存在,请说明理由. 8、直线 y ? ax ? 1 和双曲线 3x2 ? y 2 ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过原点?

y2 ? 1与点 P(1, 2) ,过点 P 作直线 l 与双曲线交于 A、B 两点,若 P 为 AB 的中点. 9、已知双曲线 x ? 2
2

(1)求直线的方程; (2)若 Q(1,1) ,判断以 Q 为中点的弦是否存在?并说明理由. 10、已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1,经过点 M (1,1) 能否作一条直线 l ,使直线 l 与双曲线交于 A、B ,且 M 是 2

线段 AB 的中点,若存在这样的直线 l ,求出它的方程;若不存在,说明理由.

x2 ? y 2 ? 1有相同的焦点,直线 y ? 3x 为 C 的一条渐近线. 11、双曲线 C 与椭圆 5
(1)求双曲线 C 的方程; ( 2)过点 P(0, 4) 的直线 l ,交双曲线 C 于 A、B 两点,交 x 轴于点 Q (点 Q 与 C 的顶点不重合) . 当

PQ ? ?1QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ? 时,求点 Q 的坐标.
三、抛物线部分(一) 1、(1)若抛物线的焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,求此抛物线的标准方程; (2)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的一条弦 AB 过焦点 F ,且 | AF |? 1,| BF |? 2 ,求抛物线的方程;
2

8 3

(3)定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y ? x 上移动, AB 的中点为 M ,则当点 M 的坐标为
2

时,到 y 轴的距离最短,最短距离为
2



(4)已知 M 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上动点,两定点 A( p, p) 和 B ( 值.

p , 0) ,求 | MA | ?| MB | 的最小 2

2、 (1)动点 P 到 y 轴的距离比到点 P(2, 0) 的距离小 2 ,求点 P 的轨迹方程 (2)求抛物线 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的焦点坐标、准线方程.
2

3、 (1)已知 A、B 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的两个点, O 为坐标原点,且抛物线的焦点恰为 ?ABO
2

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最适合中国学生的教学模式 的垂心,求直线 AB 的方程; (2) 若 ?ABC 的顶点在抛物线 y 2 ? 32 x 上, 且 A 的纵坐标 yA ? 8 ,?ABC 的重心恰是抛物线的焦点, 求直线 BC 的方程. 4、已知圆 A : ( x ? c)2 ? y 2 ? 4a 2 和点 B(c, 0) ,其中 c ? a ? 0 , M 是圆 A 上的动点, MB 的垂直平分线 交直线 MA 于点 P ,判断点 P 的轨迹. 5、设 A 为直线 l 外一定点,点 A 到直线 l 的距离为 p , BC 为直线 l 上的定长线段,且 BC ? 2 p ,当 BC 在直线 l 上滑动时. (1)求 ?ABC 的外心 M 的轨迹方程 C ,并说明它表示什么曲线; (2)当 p ? 1 时,若 P 是 C 上任一点,直线 l 过点 P 且与 C 交于另一点 Q ,若直线 l 与曲线 C 上的 P 处 的切线垂直,求线段 PQ 中点 R 的轨迹方程. 三、抛物线部分(二)
2 2 1、已知点 P ( x, y ) 满足 5 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ?| 3 x ? 4 y ? 12 | ,判断点 P 的轨迹.

2、已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的点,求点 P 到 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的距离的最小值.
2

3、直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y ? 8x 于 A、B 两点,若 AB 的中点横坐标为 2,求 | AB | .
2

4、顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y ? 2 x ? 1 所得的弦长为 15 ,求抛物线的方程. 5、过抛物线 y ? 4 x 的顶点 O 作两条互相垂直的直线分别交抛物线于 A、B 两点,线段求 AB 的中点的
2

轨迹方程. 6、设抛物线 y ? 8x 的准线与 x 轴交于点 Q ,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,求直线 l 的斜率的取
2

值范围.
2 (1 ? m ? 4) 7 、设 A、B、 C 是抛物线 y ? x( y ? 0) 上的三个点,它们的横坐标依次为 1、 m 、 4 ,当

?ABC 的面积取最大值时,求 m 的值.
8、证明:过抛物线 y ? 2 px 的对称轴上的定点 P(m,0)(m ? 0) 任作一条直线交抛物线于 A、B 两点,则
2

OA ? OB 为定值.
2 9、已知 O 为坐标原点, A、B 为抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的点,设 ?ABC ? t ? tan ?AOB .

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最适合中国学生的教学模式 (1)求 t 的最小值; (2)当 t 取最小值时,求 S?ABC 的最小值. → → 10、在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y ? x 2 上异于坐标原点 O 的两不同动点A、B满足AO·BO=0; (1)求 ?AOB 得重心 G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (2) ?AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 四、直线与圆锥曲线综合问题部分 1、试确定实数 k 的不同取值,讨论直线 y ? k ( x ? 1) 与双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的公共点的个数。 2、过点 (0,1) 作直线与双曲线 4x2 ? ay 2 ? 1 相交于 P, Q 两点, O 为坐标原点, ?POQ ? 围。 3、正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y ? x ? 4 上, C、D 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形 ABCD 的面积。 4、 过抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线于 P , 若线段 PF 与 QF 的长分别为 m、n , Q 两点, 求

?
2

,求 a 的范

1 1 ? 的值。 m n
2

5、 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 过 F 的直线交抛物线于 A、B 两点, 且 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) ,

y1 ? 0, y2 ? 0 , P 是抛物线准线上一点, O 为坐标原点。
(1)求证: y1 y2 ? ? p2 ; (2)直线 PA、PF、PB 的方向向量分别为 (1, a), (1, b) , (1, c) ,求证 a, b, c 成等差数列。

x2 ? y 2 ? 1 ,求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程。 6、已知椭圆 2
7、如果抛物线 y ? ax2 ?1(a ? 0) 上总有关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点,试求 a 的取值范围。 8、直线 y ? kx ? 1 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,求 m 的取值范围。 5 m

9、已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F (2, 0) 为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 是否存在平行于 OA 的直线 l , 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。

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10、直线 l : x ? 2 y ? 3 ? 0 与椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 交于 A、B 两点, R 是抛物线 C2 : y2 ? 2 px( p ? 0) 上 4 3
21 ,求 p 的值和 R 点的坐标。 4

一点,若直线 l 与 C2 无公共点,且 ?ABR 有最小面积

11、已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在 x 轴上.斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两 点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线. (1)求

c ; (2)设 M 是椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (? , ? ? R) ,证明 ? 2 +? 2 为定值。 a

12、 已知椭圆 相切.

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的上顶点为 A , 右焦点为 F , 直线 AF 与圆 M : x2 ? y 2 ? 6x ? 3 y ? 7 ? 0 2 a

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若不经过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点,且 AP ? AQ ? 0 ,求证:直线 l 过定点,并求 出该定点 N 的坐标。

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最适合中国学生的教学模式 高考大预测 1、在 ?ABC 中, A 、 B 为定点, C 为动点,记 ? A 、 ? B 、 ?C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 c ? 2 ,

ab cos 2

C ? 1. 2

(1) 证明:动点 C 一定在某个椭圆上,并求出该椭圆的标准方程; (2) 设点 O 为坐标原点,过点 B 作直线 l 与(1)中的椭圆交于 M ,N 两点,若 OM ? ON ,求直线 l 的方程.

2、定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形” 。如果两个椭圆 的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆” ,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。 已知椭圆 C1 :

x2 ? y2 ? 1 。 4

x2 y 2 ? ?1, (1) 若椭圆 C2 : 判断 C2 与 C1 是否相似?如果相似, 求出 C2 与 C1 的相似比; 如果不相似, 16 4
请说明理由; (2)写出与椭圆 C1 相似且短半轴长为 b 的椭圆 Cb 的方程;若在椭圆 Cb 上存在两点 M 、 N 关于直线

y ? x ? 1 对称,求实数 b 的取值范围?
(3) 如图: 直线 l 与两个 “相似椭圆” 和点 C , D ,证明: AC ? BD

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 2 (a ? b ? 0, 0 ? ? ? 1) 分别交于点 A, B 和 2 2 2 a b a b

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最适合中国学生的教学模式 3、已知椭圆的焦点 F 1 1 ?1,0? , F 2 ? ?1,0 ? ,过 P ? 0, ? 作垂直于 y 轴的直线被椭圆所截线段长为 6 ,过 F 作直线 l 与椭圆交于 A、B 两点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 A 是椭圆与 y 轴负半轴的交点,求 ?PAB 的面积;

? ?

1? 2?

l (3)是否存在实数 t 使 PA ? PB ? tPF 1 ,若存在,求 t 的值和直线 的方程;若不存在,说明理由.
y
P

F2

O

F1

x

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P( 2, 6) ,上、下焦点分别为 F1 、 F2 ,向量 PF1 ? PF2 .直 a 2 b2 1 3 线 l 与椭圆交于 A, B 两点,线段 AB 中点为 M ( , ? ) . 2 2
4、已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)求直线 l 的方程; (3)记椭圆在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D ,若曲线

x2 ? 2mx ? y 2 ? 4 y ? m2 ? 4 ? 0 与区域 D 有公共点,试求 m 的最小值.

5、设 ? ? 0 ,点 A 的坐标为 (1,1) ,点在 B 抛物线 y ? x 2 上运动, 点 Q 满足 BQ ? ?QA ,经过点 Q 与 x 轴 垂直的直线交抛物线于点 M ,点 P 满足 QM ? ? MP ,求点 P 的轨迹方程.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 P 的坐标为 (?a, b) . a 2 b2 1 (1) 若直角坐标平面上的点 M、A(0,?b)、B(a,0)满足 PM ? ( PA ? PB) ,求点 M 的坐标; 2
6、已知椭圆 ? 的方程为 (2) 设直线 l1:y?k1x?p 交椭圆 Γ 于 C、D 两点,交直线 l2:y?k2x 于点 E.若 k1 ? k2 ? ? 证明:E 为 CD 的中点; (3) 对于椭圆 Γ 上的点 Q( acos? , bsin? )(0<? <?), 如果椭圆 Γ 上存在不同的两点 P1、 P2 使 PP 1 ? PP 2 ? PQ , 写出求作点 P1、P2 的步骤,并求出使 P1、P2 存在的? 的取值范围.

b2 , a2

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7、 已知椭圆 C :

x2 M 是 C 的右顶点, ? y2 ? 1 (常数 m ? 1 ) , 点 P 是 C 上的动点, 定点 A 的坐标为 (2, 0) . 2 m

(1)若 M 与 A 重合,求 C 的焦点坐标; (2)若 m ? 3 ,求 | PA | 的最大值与最小值; (3)若 | PA | 的最小值为 | MA | ,求 m 的取值范围.

8、已知双曲线 C 的中心是原点,右焦点为 F ( 3,0) ,一条渐近线 m : x ? 2 y ? 0 ,设过点 A(?3 2,0) 的 直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) . (1)求双曲线 C 的方程; (2)若过原点的直线 l1 / /l ,且 l1 与 l 的距离为 6 ,求 k 的值; (3)证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 . 2

9、如图,已知抛物线 E : y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A、B、C、D 四个点。 (1)求 r 的取值范围。 (2)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交点 P 的坐标。

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10 、我们把由半椭圆

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1( x ? 0) ? ? 1( x ? 0) 合成的曲线称作“果圆” 与半椭圆 ,其中 a 2 b2 b2 c 2

a 2 ? b2 ? c2 , a ? 0, b ? c ? 0 .如图,点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和 B1 , B2 分别是“果
圆”与 x, y 轴的交点. (1)若 ?F0 F 1F2 是边长为 1 的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)当 | A1 A2 |?| B1B2 | 时,求

b 的取值范围; a

(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数 k ,使斜率为 k 的“果 圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的 k 值;若不存在,说明理由.

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