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2014年高中数学复习方略课时作业:3.6简单的三角恒等变换(人教A版·数学文·四川专用)]


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课时提升作业(二十一)
一、选择题 1.
sin(180? ? 2?) cos2 ? 等于 ? 1 ? cos 2? cos(90? ? ? )

(

) (C

)sinα ) (D)cosα

(A)-sinα

(B)-cosα

2.函数 y= 5 sin2xcos 2x 是 (
? 2 ? (B)周期为 的偶函数 2 ? (C)周期为 的奇函数 4 ? (D)周期为 的偶函数 4

(A)周期为 的奇函数

3.(2013·淄博模拟)已知 cos(α - )= (A)
2 4

? 4

2 ,则 sin2α = 4
3 4

(

)

(B)-

2 4

(C)

3 4

(D)-

4.已知函数 f(x)= 的值为

x x 1 ? cos 2x -asin cos(π - )的最大值为 2,则常数 a ? 2 2 4sin( ? x) 2

( (A) 15 (C)± 15 (B)- 15 (D)± 10

)

5.(2013·太原模拟)若函数 f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m 在[0,

? ]上 2

有零点,则实数 m 的取值范围为( (A)[-1, 2 ] (C)[1, 2 ] (B)[-1,1]

)

(D)[- 2 ,-1]
3 2 , 5

6.已知 y=f(x)是奇函数,且图象关于 x=3 对称,f(1)=1,cosx-sinx= 则 f(
15sin 2x )= ? cos(x ? ) 4

(

) (C)1 (D)2

(A)-1 二、填空题

(B)0

7.( 能 力 挑 战 题 ) 已 知 tan2 θ =-2
2 ? 2co s? 2

2 , π <2 θ <2 π , 化 简

s ? i?n

? 2 s i? n?( 4

=
)

1

.

8.(2013· 温州模拟)函数 y=(acosx+bsinx)cosx 有最大值 2,最小值-1, 则实数(ab)2 的值为 9.函数 y= . .

cos x 的单调递增区间为 1 ? sin x

三、解答题 10.(2013·西城模拟)已知函数 f(x)=cos2(x- )-sin2x. (1)求 f(
? )的值. 12 ? 6

(2)若对于任意的 x∈[0, ],都有 f(x)≤c,求实数 c 的取值范围. 11.(2013·临沂模拟)已知函数 f(x)=2sin( x- ),x∈R.
5? )的值. 4 ? ? 10 6 (2)设α ,β ∈[0, ],f(3α + )= ,f(3β +2π )= ,求 cos(α +β )的 2 2 13 5 1 3 ? 6

? 2

(1)求 f(

值.

12.( 能力挑战题 ) 已知函数 f(x)=sin ω x · sin(

? ? - φ )-sin( + ω 2 2

x)sin( π + φ) 是 R 上的偶函数 . 其中ω >0,0 ≤φ ≤π , 其图象关于点 M(
3? ? ,0)对称,且在区间[0, ]上是单调函数,求φ和ω 的值. 4 2

答案解析
?sin 2? cos2? ? 1.【解析】选 D.原式= 1 ? cos 2? ?sin? ? ?2sin?cos? cos 2? ? 2cos 2? ?sin?

=cosα 2.【思路点拨】利用倍角公式化简成 y=Asinωx 的形式,即可得其相应 性质. 【解析】选 A.y= 5 sin2xcos 2x= ∴最小正周期为 ∵f(-x)=-f(x), ∴函数 y= 5 sin2xcos 2x 是奇函数. 3.【解析】选 D.方法一:由 cos(α- )= 得
? 4

5 sin4x, 2

2? ? ? . 4 2

2 , 4

1 2 2 2 cosα+ sinα= ,即 sinα+cosα= , 2 2 2 4

平方得 1+2sinαcosα= , 故 sin2α=- . 方法二:由 cos(α- )=cos( -α), 所以 cos( -2α)=2cos2( -α)-1
? 2 ? 4 ? 4 ? 4 3 4

1 4

=2〃(

3 2 2 ) -1=- . 4 4

∵cos( -2α)=sin2α,∴sin2α=- . 4. 【 思 路 点 拨 】 先 利 用 公 式 进 行 三 角 恒 等 变 形 , 把 f(x) 化 成 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再利用最大值求得 a.
2cos 2 x 1 【解析】选 C.因为 f(x)= + asinx 4cos x 2
1 1? a2 1? a2 = (cosx+asinx)= cos(x-φ)(其中 tanφ=a),所以 =2,解 2 2 2

? 2

3 4

得 a= 〒 15 . 5.【解析】选 A.f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m =1+sin 2x-2cos2x-m =1+sin 2x-1-cos 2x-m = 2 sin(2x- )-m. ∵0≤x≤ ,∴0≤2x≤π,∴- ≤2x- ≤ ∴-1≤ 2 sin(2x- )≤ 2 ,
? 2 3 6.【解析】选 A.∵cosx-sinx= 2, 5 18 ∴1-sin2x= . 25 7 ? 3 ∴sin2x= ,且 2 cos(x+ )= 2. 4 5 25 ? 3 ∴cos(x+ )= . 4 5 ? 4 ? 2 ? 4 ? 4 3? , 4 ? 4

故当-1≤m≤ 2 时,f(x)在[0, ]上有零点.

15sin 2x ? ? ? cos(x ? ) 4

15 ? 3 5

7 25 ? 7.

f(7)=f(-1)=-f(1)=-1.
cos? ? sin? 1 ? tan? ? . cos? ? sin? 1 ? tan? ? ∵2θ∈(π,2π),∴θ∈( ,π). 2 2tan? 而 tan2θ= =-2 2 . 1 ? tan 2 ?

7.【解析】原式=

∴ 2 tan2θ-tanθ- 2 =0, 即( 2 tanθ+1)(tanθ- 2 )=0. 故 tanθ=2 或 tanθ= 2 (舍去). 2

1 ? tan? ? ∴ 1 ? tan?

1?

2 2 =3+2 2 . 2 1? 2

答案:3+2 2 8.【解析】y=acos2x+bsinxcosx= a ? =
1 2 a a ? b 2 sin(2x+φ)+ , 2 2 1 ? cos 2x b ? sin 2x 2 2

a ?1 2 a ? b 2 ? ? 2, ? ?2 2 ?? ?? 1 a 2 ? b 2 ? a ? ?1, ? ? 2 2

∴a=1,b2=8,∴(ab)2=8. 答案:8 【方法技巧】三角恒等变换的特点 (1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角 公式、半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与

数学变换的结合点上. (2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差 异 ,而且还会有所包含的角 ,以及这些角的三角函数种类方面的差异 , 因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系 ,这 是三角恒等变换的重要特点. 9.【思路点拨】利用倍角公式展开约分后化为正切再求解.
x x cos 2 ? sin 2 cos x 2 2 【解析】 y ? ? 1 ? sin x (cos x ? sin x )2 2 2 x x x cos ? sin 1 ? tan 2 2 ? 2 ? x x x cos ? sin 1 ? tan 2 2 2 x ? =tan( + ). 2 4 ? x ? ? 由 kπ- < + < +kπ,k∈Z, 2 2 4 2 3? ? 知 2kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z. 2 2 3? ? 答案:(2kπ- ,2kπ+ ),k∈Z 2 2

10.【解析】(1)f(
1 2

? ? ? ? 3 )=cos2(- )-sin2 =cos = . 12 12 12 6 2

(2)f(x)= [1+cos(2x- )]- (1-cos2x) = [cos(2x- )+cos2x] = (
1 2 3 ? 3 3 sin2x+ cos2x)= sin(2x+ ). 2 3 2 2

1 2

? 3

? 3

1 2

因为 x∈[0,
? 3

? ? ? 4? ],所以 2x+ ∈[ , ], 2 3 3 3
? 2 ? 3 时,f(x)取得最大值 . 12 2

所以当 2x+ = ,即 x=

所以对于任意的 x∈[0, 故对于任意的 x∈[0,

? 3 ],f(x)≤c 等价于 ≤c. 2 2

? 3 ],都有 f(x)≤c 时,c 的取值范围是[ ,+∞). 2 2

【变式备选】设函数 f(x)=2cos2x+2 3 sinxcosx-1(x∈R). (1)化简函数 f(x)的表达式,并求函数 f(x)的最小正周期. (2)若 x∈[0,
? ],求函数 f(x)的最大值与最小值. 2

【解析】(1)∵f(x)=2cos2x+2 3 sinxcosx-1 =cos2x+ 3 sin2x=2sin(2x+ ), ∴函数 f(x)的最小正周期 T=π. (2)∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ ∴- ≤sin(2x+ )≤1,
1 2 ? 2 ? 6 ? 6 7? , 6 ? 6

? 6 ? ? 7? ∴-1≤2sin(2x+ )≤2,∴当 2x+ = , 6 6 6 ? 即 x= 时,f(x)min=-1; 2 ? ? 当 2x+ = , 6 2 ? 即 x= 时,f(x)max=2. 6 5? 5? ? ? 11.【解析】(1)f( )=2sin( - )=2sin = 2 . 4 12 6 4 ? 10 (2)f(3α+ )=2sinα= , 2 13 5 ? 12 ∴sinα= . 又α∈[0, ],∴cosα= , 13 2 13 ? 6 f(3β+2π)=2sin(β+ )=2cosβ= , 2 5 3 ∴cosβ= . 5 ? 4 又β∈[0, ],∴sinβ= , 2 5 16 ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= . 65

12.【解析】由已知得 f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ =sin(ωx+φ), ∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+ ,k∈Z. 又∵0≤φ≤π,∴φ= . ∴f(x)=sin(ωx+ )=cosωx.
3? ,0)对称, 4 3? ? 4k 2 故 ω=kπ+ ,k∈Z.即ω= ? , k∈Z. 4 2 3 3 ? 2 ? 2
? 2

又 f(x)关于(

又ω>0,故 k=0,1,2,… 当 k=0 时,ω= ,f(x)=cos x 在[0, 当 k=1 时,ω=2,f(x)=cos2x 在[0,
2 3 2 3 ? ]上是减函数. 2

? ]上是减函数. 2 10 10 ? 当 k=2 时,ω= ,f(x)=cos x 在[0, ]上不是单调函数, 3 3 2 ? 当 k>2 时,同理可得 f(x)在[0, ]上不是单调函数, 2 2 综上,ω= 或ω=2. 3

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