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对数函数的图象和性质


y?2

x

指数式化 到对数式

x ? log2 y
x、y互换

y ? log2 x

一.对数函数的定义

形如 y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 的 函数叫做对数函数,其中x是自 变量,定义域是(0,+?)。

>
二.对数函数的图像
画出对数函数y ? log 2 x y ? log 10 x

y ? log0.1x
2

y ? log 1 x的图像。

作y=log2x图像
列 表 描 点 连 线
12
X y=log2x 1/4 1/2 -2 -1 1 0 2 1 4 2

新课

….. … …

列表、求对应的x和y值、描点作图

y
y=log x
2

y=log x
10

0
y=log 0.1 x y=log
0.5

x

x

二.对数函数的图像
y y y y y y y y y

y ? log a x (a>1)
0 01 01 01 0 1 x 01

x x 1 0 x1 x 01 0 1

x

x

x x

y ?y log ?a y log x ?a y log x ?y log ? xy log xa y log x ?y log ? x ylog ?xlog a a ? a a a xa x

(0<a<1 (0<a<1 ( )0<a<1 ( )0<a<1 ( ) 0<a<1 ( ) 0<a<1 ( )0<a<1 ( ) 0<a<1 () 0<a<1 ))

三.对数函数的性质
大 致 图 形
定义域 值域 定点
y

y ? log a x (a>1)
0 1

x

y ? log a x

(0<a<1)

?0, ? ??
R (1,0)

奇偶性

非奇非偶

大 致 图 形 单调性 数值 变化

y
0 1

y ? log a x
x

y
0 1

a>1

y ? log a x 0<a<1

x

y=logax在(0,+?) y=logax在(0,+?)上 上单调递增。 单调递减。 若a>1, x>1则y>0 若0<a<1, 0<x<1则y>0 若a>1, 0<x<1则y<0 若0<a<1, x>1则y<0

y

图 形

y=log x
2

y=log x
10

0

1
y=log
0.5

y=log 0.1 x x

x

补充 底数互为倒数的两个对数函数 性质 的图像关于x轴对称。 一 补充 底数a>1时,底数越大,其图像越 性质 接近x轴。 二 底数0<a<1时,底数越小,其图像
越接近x轴。

练一练: 比较a、b、c、d、1的大小。
y

y=log a x y=log b x

0

1

y=log c x y=log d x

x

答:b>a>1>d>c

四.例题
例1 求下列函数的定义域。

(1.) y ? log a x
2

2 x

(2.)y ? log ( x?1) (16 ? 4 )

?原函数的定义域是 ?? ?, 0) ? (0,?? ?

?1?由x ? 0得x ? 0或x ? 0 解:

? x ? 1 ? 0且x ? 1 ? 1 ?2?由? 解: 得 ? 1 ? x ? 2且x ? 0 x ? 16 ? 4 ? 0
?原函数的定义域是 ?? 1,0? ? ?0, 2?

?1?log 0.5 3与log 0.5 ?
?3?log 3 5与
log 5 4

例2比较大小。

(>)

(2) log2 3.4与log2 8.5 (<)

(>)

(4) loga 5.1与loga 5.9 (讨论)

例3、解不等式

log 1 (2 x ? 1) ? log 1 2
?2 x ? 1 ? 0 解:原不等式可化为: ? ?2 x ? 1 ? 2
? 1 1? ? 原不等式的解集是 ?? , ? ? 2 2?
变式

2

2

1 1 ?? ? x ? 2 2

log 1 (2 x ? 1) ? log 1 2
2 2

a

log a (2 x ? 1) ? log a 2


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