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成都七中高2015级高一下学期数学期末考试试题(教师版)(1)


成都七中 2015-2016 学年度下学期期末考试高一年级数学试卷答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,请将正确答案填涂到答题卷上。 1.已知 A ? ? x |

? ?

x ?1 ? ? 0? , B ? ??1,0,1? ,则 card

? A ? B? ? ( x ?1 ?



A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案: C 2.设 a ? (1, 2), b ? (1,1), c ? a ? kb ,若 b ? c ,则实数 k 的值等于(

?

?

?

?

?

?

?



A. ?

3 5 3 5 B. ? C. D. 2 3 2 3

答案: A 3.已知数列 ?an ? 是递增的等比数列, a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8 ,则数列 ?an ? 的前 n 项和等于( )

A. 2n ?1 B. 5n ?1 C. 3n ?1 D. 4n ?1
答案: A 4.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是( )

A. 若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 B. 若 m, n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C. 若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线
D. 若 m, n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面
答案: D 5.若 tan ? ?

3 ,则 cos 2 ? ? 2 sin 2? ? ( 4

)

A.

64 48 16 B. C. 1 D. 25 25 25

答案: A

6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如 下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米 几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆 锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长
第 1 页 共 1 页

为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立 方尺,圆周率约为 3 ,估算出堆放斛的米约有( )

A. 14 斛
答案: B

B. 22 斛

C.

斛 3 6

D.

斛 6 6

7.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的表面积为( )

A. 1 ? 3 ? 7 B. 2 ? 2 ? 3
C. 4 3 D. 3 ? 3 ? 6
答案: A 8.如右图所示,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的内切球, 则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为( )
A1 D1 C1

B1

? A. B. C. D. 2 3 6 4
答案: B 提示:找到球心与球的半径即可求解.
A

?

?

?

D

C

B

9.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和为 Sn 满足 Sn 2 ? an (Sn ?1) ,设 bn ? log 2

Sn ,数列 Sn ? 2

?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则满足 Tn ? 6 的最小正整数 n 是(
A. 10 B. 11 C. 12 D. 9
答案: A 10.如果函数 f ? x ? ? 为( )

).

1 ? 1 ? 单调递减,则 mn 的最大值 n ? 0 ? 在区间 ? , 2 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ? 1? m ? 0, 2 ?2 ? ?

A. 16 B. 18 C. 25 D.
答案: B

81 2 n ?8 n ?8 ?2即 .据题意,当 m ? 2 时, ? m?2 m?2

解析:当 m ? 2 时,抛物线的对称轴为 x ? ?

2m ? n ? 12 .? 2m ? n ?

2m ? n ? 6 ? mn ? 18 .由 2 m ? n 且 2m ? n ? 12 得 m ? 3, n ? 6 .当 m ? 2 时, 2 n ?8 1 2n ? m 81 ? 即 m ? 2n ? 18 ? 2n ? m ? ? 9 .? mn ? . m?2 2 2 2

抛物线开口向下,据题意得, ?

由 2 n ? m 且 m ? 2n ? 18 得 m ? 9 ? 2 , 故应舍去.要使得 mn 取得最大值, 应有 m ? 2n ? 18(m ? 2, n ? 8) . 第 2 页 共 2 页

所以 mn ? (18 ? 2n)n ? (18 ? 2 ? 8) ? 8 ? 16 ,所以最大值为 18 .选 B . 11. 已 知 梯 形 ABCD 中 , A B?

? ? ?? A, D A ?B 3

? ? ?? D , cC o ? s

3 D ?A C 2

? ? ?? , ? BE

? ? ?? , ( m ?0B C ? 若 1) m

? ? ?? A E?

? ? ? ? ? CE ? ?? ?( AC A B ,则 CB



A.

1 2 1 ? 15 2 ? 15 B. C. D. 7 3 7 7
y D C E x

答案: A 解:法一:以 A 为原点,建立如图直角坐标系,依题意,?DAC ? 30? , 不妨设 DC ? 1 ,则 AD ? 3 , AC ? 2, AB ? 3 , 故 C(1, 3), B(3,0) ,故 CB ? (2, ? 3) ,则 CB ? 由题知 E 为线段 BC 上的点,设

??? ?

??? ?

7;

A

B

??? ? CE ? ? (0 ? ? ? 1) ,故 CE ? (2?, ? 3?) ,故 E(2? ?1, 3 ? 3?) ; CB

依题意, AE ? AC ? AB ,即 (2? ? 1)2 ? 因为 0 ? ? ? 1 ,故 ? ?

??? ?2

???? ??? ?

?

3 ? 3?

?

2

? 2 ? 3 ,展开得 7? 2 ? 2? ? 2 ? 0 ,

CE 1 ? 15 1 ? 15 ,即 . ? CB 7 7 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 法二:选定 AC, AB 为基向量表达 AE ,然后表达条件 AE ? AC AB ,即可以求解.
P 在对角线 BD1 上,过点 12.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 3 ,动点
D1 C1

P 作垂直于 BD1 的平面 ? ,平面 ? 截正方体的表面得到一个多边形,记这

A1

B1

P ? x , 样得到的截面多边形 (含三角形) 的周长为 y , 设B 当 x ? ? , ? 时, 3 2
函数 y ? f ( x) 的值域为( )
A

?1 5 ? ? ?

D P

C

B

?3 6 ? ? C. ? ? , 4 6 6,3 6 A. ?1,3? B. ? ? D. ? ? 6, 4 6 ? ? ? 2 ? ?
答案: B 提示:此题先通过证明教材必修 2 第 79 页 B 组第 2 题找到两个垂直于体对角线 BD1 的垂面 ACB1 和垂面

AC 1 与两平面的交点正好是线段 BD 1 三等分点,分别讨论:如图所 1 1 D 作为辅助,而且该题告诉我们 BD
示:①当 x ? ? ,1? 时,截面多边形是三角形 EFG ,由相似可得到周长范围为 ? 6,3 6 ? ;

?1 ? ?3 ?

?

?

第 3 页 共 3 页

②当 x ? ?1, 2? 时,截面多边形是六边形 HIJKLM ,由相似可得到周长大小不变为 3 6 ; ③当 x ? ? 2, ? 时,截面多边形是三角形 NQR ,由相似可得到周长范围为 ? ,3 6 ? ; ? 2? ? 2 ?
D1 C1 O' A1 H P M L D O K C B1 I J

? 5?

?3 6

?

A

B

二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案写在答题卷指定横线上. 13.已知 tan ? ? ?2, tan(? ? ? ) ? 答案: 3 14.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧 一山顶 D 在西偏北 30? 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏 北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此山的高度 CD ? m .
? ?

1 ,则 tan ? 的值为_______. 7

答案: 100 6 15.已知各项都为正数的等比数列 ?an ? 满足 a5 ? 2a4 ? 3a3 , 存在两项 am , an 使得 am ? an ? 27a1 ,



1 4 ? 的最小值为 m n

答案:

17 15

16.已知 a , b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,其中正确的命题有(填序号) ①已知 ?A ? 60 , b ? 4 , c ? 2 ,则 ?ABC 有两解;
? ? ② 若 ?A ? 9 0 ,b ? 3 c , ? 4, ?ABC 内 有 一 点 P 使 得 PA, PB, PC 两 两 夹 角 为 120? , 则

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?2 ??? ? 2 ??? ? 2 PA ? PB ? PC ? 30 ;
? ? ? ③若 ?A ? 90 , b ? 1, c ? 3 , ?ABC 内有一点 P 使得 PA 与 PB 夹角为 90 , PA 与 PC 夹角为 120 ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

则 tan ?PAC ?
?

3 ; 4

④已知 ?A ? 60 , b ? 4 ,设 a ? t ,若 ?ABC 是钝角三角形,则 t 的取值范围是 (2 3, 4) ? (4 3, ??) ; 答案:③④ 提示:①已知两边及夹角,三角形只有一解; 第 4 页 共 4 页

②分别在 ?PAB, ?PAC, ?PBC 利用余弦定理将三式相加建立关系,再通过 ?PAB, ?PAC, ?PBC 的面积 之和等于 ?ABC 的面积建立关系,整体求解; ③设 ?PAC ? ? ,在 ?PAB, ?PAC, ?PBC 中,分别把每个三角形角用 ? 表 达出来,然后用正弦定理求解; ④如右图可得, 要使 ?ABC 是钝角三角形有可能 ? B 是钝角, 还有可能 ?C 是钝角,分别找出直角的临界情况求出范围. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,把答案写在答题卷指定位置上. 17. (本题满分 10 分) 已知向量 m ? ? sin A,cos A? , n ? ( 3,1), m ? n ? 3 ,且 A 是锐角. (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4sin A sin x( x ? R) 的值域. 解: (Ⅰ)由题已知:? m ? n ? 3 sin A ? cos A ? 3 ????????????? 2 分
A
4 t

C
t

60。

B

D

B'

??

?

?? ?

? 3 ? . ? 2sin( A ? ) ? 3, sin( A ? ) ? 6 2 6
由 A 为锐角得: A ?

????????????? 4 分 ????????????? 5 分

?
6

?

?
3

, A?
1 , 2

?
6

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ?

f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? )2 ? .
1 3 ? x ? R ,?sin x ? ? ?1,1? ,因此,当 sin A ? 时, f ( x) 有最大值 , 2 2

1 2

3 2

????????????? 7 分

当 sin x ? ?1 时, f ( x) 有最小值 ?3 , 故所求函数 f ( x) 的值域是 [?3, ] . 2 18.(本题满分 12 分)

????????????? 9 分
????????????? 10 分

3

数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 ,公差不为零的等差数列,且 b1 , b3 , b11 成等 比数列, (1)求出数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式;(2)求证: 解: (1)? Sn ? 2an ? 2 ┈① ,

b b1 b2 b3 ? ? ??? n ? 5 . a1 a2 a3 an

? Sn?1 ? 2an?1 ? 2 (n ? 2, n ? N * ) ┈②

????????????? 1 分

由①式-②式可得 Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 (n ? 2, n ? N * ) ,即 an ? 2an?1 (n ? 2, n ? N * ) , ????????????? 3 分 而当 n ? 1 时,带入①式,可得 a1 ? 2 , 所以数列 ?an ? 是以首项为 2 ,公比为 2 的等比数列,? an ? 2n ????????????? 4 分 第 5 页 共 5 页

根据题意, b1 ? 2 , b32 ? b1 ? b11 ,又因为 ?bn ? 是公差不为零的等差数列,设公差为 d , 则满足 ? 2 ? 2d ? ? 2 ? 2 ? 10d ? ,即 d 2 ? 3d ,所以 d ? 3 ,则 bn ? 3n ? 1
2

综上所述 an ? 2n , bn ? 3n ?1 ; (2)令 Tn ? 则 Tn ?

????????????? 6 分

b b1 b2 b3 2 5 8 3n ? 1 ? ? ? ? ? n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ┈① a1 a2 a3 an 2 2 2 2

2 5 8 3n ? 1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ┈② 2 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3n ? 1 则由①式-②式可得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ????????????? 9 分 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3n ? 1 即 Tn ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 2n 1 2

????????????? 8 分

1? 1 ? ?1 ? n?1 ? 3n ? 1 3n ? 5 2 2 ? 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 5 ? n ? 5 ,得证 1 2 2 1? 2
19. (本小题满分 12 分)

????????????? 12 分

AB ? ? (? ? 1) ,将其沿 AC 翻折,使点 D 到达 AD 点 E 的位置,且二面角 C ? AB ? E 为直二面角. (1)求证:平面 ACE ? 平面 BCE ; (2)设 F 是 BE 的中点,二面角 E ? AC ? F 的平面角的大小为 ? ,当
如图,矩形 ABCD 中,

? ? [2,3] 时,求 cos ? 取值范围;
解: (1)? 二面角 C ? AB ? E 为直二面角, AB ? BC ? BC ? 平面 ABE ? AE ? 平面 ABE ? BC ? AE

? AE ? CE, BC ? CE ? C ? AE ? 平面 BCE 又? AE ? 平面 ACE

? 平面 ACE ? 平面 BCE ????????????? 4 分
(2)如图,以 E 为坐标原点,以 AD 长为一个单位长度,建立如图空间直角坐标系, 则

AB ? ? A(0,1,0), B( ?2 ? 1,0,0), C ( ?2 ? 1,0,1), E (0,0,0), F (
则 EA ? (0,1,0), EC ? (

?2 ? 1
2

,0,0)

?2 ? 1,0,1) ????????????? 7 分
? ?y ? 0 , 2 ? ? ? 1 ? x ? z ? 0 ?

设平面 EAC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则 ?

第 6 页 共 6 页

取 x ? 1 ,则 m ? (1,0,?

?2 ? 1) ????????????? 9 分

同理设平面 FAC 的法向量为 n ? (2,

?2 ? 1,? ?2 ? 1)

?? ? m?n ? 2 ?1 2 1 ?? ? ? cos ? ? ? ? ? 1? 2 2 2 ? | m | ? | n | ? ? 2(? ? 1)

? ? ? [2,3] ? cos? ? [

5 10 , ] ????????????? 12 分 3 4

20. (本题满分 12 分) 如图所示, 甲船由 A 岛出发向北偏东 45? 方向匀速直线航行, 速度为 15 2 海 里/小时, 在甲船从 A 岛出发的同时, 乙船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛出发, 朝北偏东 ? (tan ? ?

1 ) 的方向匀速直线航行,速度为 m 海里/小时. 2

(1)若两船能相遇,求 m 的值; (2)当 m ? 10 5 时, 两船出发后多少小时距离最近, 最近距离为多少海里. 解 :( 1 ) 设 t 小 时 后 , 两 船 在 点 M 处 相 遇 , 所 以

sin ?AMB ? sin(45? ? ? ) ?


10 ????????????? 2 分 10

AM AB ? 得 AM ? 40 2 ,同理,得 BM ? 40 5 sin ? sin ?AMB

所以 t ?

40 2 8 40 5 ? ,m ? ? 15 5 ????????????? 5 分 8 15 2 3 3

(2)以 A 为原点, BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设在

t 时刻甲、乙两船分别在 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) 处,则 AP ? 15 2t, BQ ? 10 5t ,
由任意角三角函数的定义可得, 点 P 的坐标是 (15t ,15t ) ,点 Q 的坐标是 (10t , 20t ? 40) ????????????? 9 分 所以 PQ ?

(?5t ) 2 ? (5t ? 40) 2 ? 50t 2 ? 400t ? 1600 ? 50(t ? 4) 2 ? 800 ? 20 2 ,

当且仅当 t ? 4 时, PQ 取得最小值 20 2 , 即两船出发后 4 小时距离最近,最近距离为 20 2 海里. 21.(本题满分 12 分)

????????????? 12 分

第 7 页 共 7 页

如右图所示,三棱锥 P ? ABC 中, PC ? 平面 ABC , PC ? 3 , ?ACB ?

?
2

.

D, E 分别为线段 AB, BC 上的点,且 CD ? DE ? 2, CE ? 2EB ? 2.
(1)证明: DE ? 平面 PCD (2)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值。 (1)证明:? PC ? 平面 ABC 且 DE ? 平面 ABC ,? PC ? DE

? CD ? DE ? 2 且 CE ? 2 ,则 CD2 ? DE 2 ? CE 2 ,? DE ? CD
又因为直线 PC , CD ? 平面 PCD ,? DE ? 平面 PCD .

????????????? 4 分

(2)如图所示,过 A 点作 AG ? CD 于 G ,过 A 点作 AH ? PD 于 H ,连接 GH ,

? PC ? 平面 ABC ,

? PC ? 平面 PCD ,

? 平面 PCD ? 平面 ABC , ????????????? 5 分

又? AG ? 平面 ABC ,且 AG ? CD ,所以 AG ? 平面 PCD ,

? PD ? 平面 PCD ,所以 AG ? PD ,又因为 AH ? PD , AG ? AH ? H , ? PD ? 平面 AGH
? PD ? GH ,所以 ?GHA 为二面角 A ? PD ? C 的平面角.
由(1)问知道 DE ? CD ,且 DE ? CD ?
?

????????????? 6 分

2,
?

所以 ?CED ? ?BCE ? 45 ,则 ?DEB ? 135 ,
2 2 2 ? 在 ?DEB 中,由余弦定理可得 DB ? DE ? EB ? 2DE ? EB cos135 ,

P

C

E G H D

B

2 即 DB 2 ? 2 ? 1 ? 2 2 ? (? ) ? 5 ,所以 DB ? 5 , 2
由正弦定理可得

A

DE DB ? , sin ?EBD sin ?DEB



5 2 5 ,? sin ?EBD ? , ? ? 5 sin ?EBD sin135
?

又因为 ?ACB ? 90 ,所以 sin ?CAB ? 又? ?ACB ? 90 ,??ACD ? 45 ,
? ?

2 5 5

在 ?ACD 中由正弦定理可得

AD CD AD 2 ? ,即 ? ? sin 45 sin ?CAD 2 2 5 2 5

所以 AD ?

3 5 2 2 ,? AC ? AB ? BC ? , 2 2
第 8 页 共 8 页

? S ?ACD ?

1 1 AC ? AD sin ?CAD ? CD ? AG , 2 2

带入数据得

3 2 1 3 5 2 5 1 ????????????? 9 分 ? ? ? ? ? 2 ? AG ,则 AG ? 4 2 2 2 5 2

在 ?PAD 中,? PA ?

AC 2 ? PC 2 ?

9 3 5 5 , PD ? PC 2 ? CD2 ? 11 , AD ? ?9 ? 2 4 2
2

? 7 55 ? AP 2 ? PD 2 ? AD 2 7 55 330 ,?sin ?APD ? 1 ? ? ? cos ?APD ? ? ? ? ? ? 2 AP ? PD 55 55 ? 55 ?
? AH ? PA ? sin ?APD ? 3 5 330 3 66 3 22 , GH ? AH 2 ? AG 2 ? ? ? 2 55 22 44

3 22 GH 3 3 所以二面角 A ? PD ? C 的余弦值是 . ? cos ?GHA ? ? 44 ? AH 3 66 6 6 22

????????????? 12 分

(提示,利用法 1:空间向量;法 2 等体积法;法 3:借助 DE 均可求出二面角的余弦值) 22.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 为公差不为 0 的等差数列, Sn 为其前 n 项和, a5 和 a9 的等差中项为13 ,且 a2 ? a5 ? a1 ? a14 . 令 bn ?

1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . an ? an ?1

(Ⅰ)求 Tn ; (Ⅱ)是否存在不同的正整数 m, n ,使得 T2 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有的 m, n 的值;若不存 在,请说明理由; (Ⅲ)若 cn ?

3an ,是否存在互不相等的正整数 m, n, t ,使得 m, n, t 成等差数列,且 cm , cn , ct 成等比 3an ? 2

数列?若存在,求出所有的 m, n, t 的值;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)因为 ?an ? 为等差数列,设公差为 d ,则由题意得 ?

? a5 ? a9 ? 26 , ?a2 ? a5 ? a1 ? a14

即?

?

2a1 ? 12d ? 26

?(a1 ? d )(a1 ? 4d ) ? a1 (a1 ? 13d )

整理得 ?

?d ? 2 ?a1 ? 6d ? 1 3 ,解得 ? , a ? 1 d ? 2 a ? 1 ? 1

所以 an ? 1 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ?1 ,由 bn ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

第 9 页 共 9 页

1? 1 1 1 1 1 ? n ????????????? 3 分 Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 n ? 1
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 T2 ?

2 m n , Tm ? , Tn ? , 5 2m ? 1 2n ? 1
2
2

? m ? 2 n 因为 T2 , Tm , Tn 成等比数列,所以 Tm ? T2 ? Tn ,即 ? , ? ? ? ? 2m ? 1 ? 5 2n ? 1
对上等式左右同时取倒数可得

4m2 ? 4m ? 1 10n ? 5 ? m2 2n

? m 2 ? 4m ? 1 5 ? m 2 ? 4m ? 1 5 ? 0 ,? ? ? 0 ,只需要 ?m2 ? 4m ? 1 ? 0 , 即 ,? 2 2 2n m 2n m
* 所以 m ? 2 ? 5, 2 ? 5 ,因为 m ? N ,所以 m 可以取值 1, 2,3, 4

?

?

讨论:①当 m ? 1 时,带入

? m 2 ? 4m ? 1 5 5 ? , n ? ,不满足 n ? N * ,所以此时不存在. 2 8 m 2n

? m 2 ? 4m ? 1 5 ? ②当 m ? 2 时,带入 , n ? 2 ,满足 n ? N * ,但是不满足 m, n 为不同整数的条件,所 2 m 2n
以此时也不存在. ③当 m ? 3 时,带入

? m 2 ? 4m ? 1 5 45 * ? ,n ? ,不满足 n ? N ,所以此时不存在. 2 8 m 2n ? m 2 ? 4m ? 1 5 * ? , n ? 40 ,满足 n ? N ,所以存在. m2 2n

④当 m ? 4 时,带入

综上所述,存在 m ? 4, n ? 40 满足 T2 , Tm , Tn 成等比数列.

????????????? 7 分

32 m?1 32 n?1 32t ?1 , cn ? 2 n?1 , ct ? 2t ?1 (Ⅲ)由(Ⅰ)得 cm ? 2 m?1 ,且 2n ? m ? t , 3 ?2 3 ?2 3 ?2
因为 cm , cn , ct 成等比数列,所以 cn 2 ? cm ? ct ,

? 32 n ?1 ? 32 m?1 32 n?1 32t ?1 32 m?1 32t ?1 ? ? , cn ? 2 n?1 , ct ? 2t ?1 将 cm ? 2 m?1 带入上式可得: ? 2 n ?1 ? 2 m ?1 ? 2 32t ?1 ? 2 3 ?2 3 ?2 3 ?2 ?3 ?2? 3
将 2n ? m ? t 带入上式化简得: 2 ? 3 不妨设 m ? n ? t ,则 2 ? 3 即3
2 m ?1

2

2 n ?1

? 32m?1 ? 32t ?1

2 n ?1

? 32m?1 ? 32t ?1 ? 32n?1 ? 32m?1 ? 32t ?1 ? 32n?1

? ? 32 n ? 2 m ? 1? ? 32 n ?1 ? ? 32t ? 2 n ? 1?

第 10 页 共 10 页

? 2n ? 2m ? 0 且 2n ? 2m ? N *
所以上式左端因式 32 n ? 2 m ? 1 不含因数 3 ,同理上式右端因式 32t ? 2 n ? 1 不含因数 3 . 而上式左端含有因数 3 的次数为 2m ? 1 次,上式右端含有因数 3 的次数为 2n ? 1 次

? 2m ? 1 ? 2n ? 1 ,所以 32 m ?1 ? ? 32 n ? 2 m ? 1? ? 32 n ?1 ? ? 32t ? 2 n ? 1? ,所以方程无解
综上所述,不存在互不相等的正整数 m, n, t ,使得 m, n, t 成等差数列,且 cm , cn , ct 成等比数列.

???????? 12 分

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