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高中-数学-用样本估计总体


用样本估计总体 一、频率分布的概念 1、 概念: 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频 率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为: (1)计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 (2)决定组距与组数 (3)将数据分组 (4)列频率分布表 (5)画频率分布直方图 2、频率分布直方图的特征: (1)从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.

(2)从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有 的具体数据信息就被抹掉了. 注; (1)直方图中各小长方形的面积之和为 1. (2)直方图中纵轴表示 频率 频率 ,故每组样本的频率为组距× ,即矩形的面积. 组距 组距

(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数. 3、频率分布折线图、总体密度曲线 (1)频率分布折线图的定义: 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线的定义: 在样本频率分布直方图中,样本容量越大,所分组数越多,相应的频率折线图 会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 4、样本的数字特征
数字特征 众数 定 义 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 将一组数据按大小依次排列,把处在最中间 中位数 数据的平均数 右边的直方图的面积相等 平均数 1 样本数据的算术平均数.即 x = (x1+x2+…+xn) ,在频率分布直方图中,中位数左边和

n

方差

s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2], n
其中 s 为标准差

1

1

二、茎叶图 当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字, 两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部 分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图. 1、茎叶图的特征: (1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是在统计图上没有原始数据信息的损 失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录, 随时添加,方便记录与表示. (2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的 数据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰. 注意: 1.在频率分布直方图中, 中位数左边和右边的直方图的面积相等, 由此可以估计 中位数的值, 而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之和,众数是最高的矩形的中点的横坐标. 2.注意区分直方图与条形图,条形图中的纵坐标刻度为频数或频率,直方图中 的纵坐标刻度为频率/组距. 3.方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,虽然方差与 标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采 用标准差.

典型例题
类型一:频率分布表、频率分布直方图 1、把样本容量为 20 的数据分组,分组区间与频数如下:[10,20),2;[20,30), 3;[30,40),4;[40,50),5;[50,60),4;[60,70],2,则在区间[10,50)上的 数据的频率是( A.0.05 C.0.5 ) B.0.25 D.0.7

解析:由题知,在区间[10,50)上的数据的频数是 2+3+4+5=14,故其频率为 14 =0.7. 故选 D 20 2、(2012·长春)从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数 据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在 [120,130] 内的学生人数为 ( ) A.20 C.30 B.25 D.35
2

解析: 由题意知 a×10+0.35+0.2+0.1+0.05=1, 则 a=0.03,故学生人数为 0.3×100=30. 故选 C 3、(2012·山西大同)将容量为 n 的样本中的数据分为 6 组,绘制频率分布直方 图,若第一组至第六组的数据的频率之比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据 的频数之和为 27,则 n=________. 解析:依题意得,前三组的频率总和为 即 n=60. 4、在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日,评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计,绘制了 频率分布直方图(如下图所示) .已知从左到右各长方形的高的比为 2∶3∶4∶6∶ 4∶1,第三组的频数为 12,请解答下列问题: 2+3+4 9 27 9 = ,因此有 = , 2+3+4+6+4+1 20 n 20

(1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品数最多?有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖,问这两组哪 组获奖率较高? 【答案】 (1)60 (2)四组 18(3)六组 4 1 ? . 【思晨解析】 (1)依题意知第三组的频率为 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1 5 ∵第三组的频数为 12, 12 ∴本次活动的参评作品数为 ? 60 件) . 1 5 ( 2 )根据频率分布直方图,可以看出第四组上交的作品数量最多,共有 6 60 ? ? 18 (件) . 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1 10 5 (3)第四组的获奖率是 ? , 18 9 1 ? 3 (件) 第六组上交的作品数量为 60 ? , 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1 2 6 ∴第六组的获奖率为 ? . 3 9 显然第六组的获奖率较高.
3

5、 、一个容量为 20 的样本,分组后,组距与频数如下[10,20],2; (20,30],3; (30,40],4; (40,50],5; (50,60],4; (60,70],2,则样本在(-∞,50] 上的频率为( ) 1 1 1 7 A. B. C. D. 20 4 2 10 【思晨解析】 频率 ? 根据频率的计算公式频率 ?
频数 求解. 样本容量

2?3? 4?5 14 7 ? ? . 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? 2 20 10

6、 、对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下: 寿命/h 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 个数 20 30 80 40 30 (1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计该电子元件寿命在 100~400 h 以内的占总体的比例; (4)估计该电子元件寿命在 400 h 以上的在总体中占的比例. 【思晨解析】 (1)样本频率分布表如下: 寿命/h 频数 频率 100~200 20 0.10 200~300 30 0.15 300~400 80 0.40 400~500 40 0.20 500~600 30 0.15 合计 200 1 (2)频率分布直方图如下图所示;

(3)估计该电子元件寿命在 100~400 h 以内占总体的比例为 65%; (4)估计该电子元件寿命在 400 h 以上的在总体中占的比例为 35%.

4

类型二:众数、中位数、平均数 7、 .据报道,某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位)如下: 职务 董事长 副董事 董事 总经理 经理 管理员 职员 长 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500 (元) (1)求该公司人员月工资的平均数、中位数、众数; (精确到元) (2) 假设副董事长的工资从 5000 元提升到 20000 元, 董事长的工资从 5500 元提升到 30000 元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平?结合此问题谈 一谈你的看法. 【思路点拨】理解平均数、中位数、众数的概念. 【答案】 (1)2091 1500 1500 (2)3288 (3)中位数和众数 【解析】 (1)平均数是 4000 ? 3500 ? 2000 ? 2 ? 1500 ? 1000 ? 5 ? 500 ? 3 ? 0 ? 20 x ? 1500 ? 33 ? 1500 ? 591 ? 2091 (元) , 中位数是 1500 元,众数是 1500 元. (2)平均数是 28500 ? 18500 ? 2000 ? 2 ? 1500 ? 1000 ? 5 ? 500 ? 3 ? 0 ? 20 x ' ? 1500 ? ? 1500 ? 1788 ? 3288 33 (元) , 中位数是 1500 元,众数是 1500 元. (3)在这个问题中,中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平.因为 公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大, 这样导致平均数与中位数 偏差较大,所以平均数不能反映这个公司人员的工资水平. 类型三:方差、标准差 8、在一次科技知识竞赛中,两组学生的成绩如下表: 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 已经算得两个组的平均分都是 80 分.请根据你所学过的统计知识,进一步 判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由. 【思晨解析】 (1) 甲组成绩的众数为 90 分, 乙组成绩的众数为 70 分, 从成绩的众数比较看, 甲组成绩好些. 1 2 ? ( 2 ) s甲 [2(50 - 80)2+5(60 - 80)2+10(70 - 80)2+13(80 - 2 ? 5 ? 10 ? 13 ? 14 ? 6 1 80)2+14(90-80)2+6(100 -80)2]= (2×900+5×400+10×100+13×0+14 ×100+6 50 ×400)=172,
5

2 s乙 ?

1 (4×900+4×400+16-100+2×0+12×100+12×400)=256. 50

2 2 ∴ s甲 , ? s乙

∴甲组成绩较乙组成绩稳定,故甲组成绩好些. (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是 80 分,其中,甲组成绩在 80 分以 上的有 33 人,乙组成绩在 80 分以上的有 26 人,从这一角度看,甲组的成绩总 体较好. (4) 从成绩统计表看, 甲组成绩大于或等于 90 分的人数为 14+6=20 (人) , 乙组成绩大于或等于 90 分的人数为 12+12=24(人) ,∴乙组成绩集中在高分段 的人数较多,同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多 6 人,从这一角度 看,乙组的成绩较好 类型四:茎叶图 9、某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来,每次数学考试成绩 情况如下: 甲:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107; 乙:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101. 画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较. 【答案】乙同学的成绩比较稳定 【解析】 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.

从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是 98; 甲同学的得分情况,也大致对称,中位数是 88.乙同学的成绩比较稳定,总体 情况比甲同学好.

样本估计总体——学考真题
1、 (本小题满分 8 分) 如图是一名篮球运动员在某一赛季 10 场比赛得分原始记录的茎叶图. (1)计算该运动员这 10 场比赛的平均得分; (2)估计该运动员在每场比赛中得分不少于 40 分的概率.

1 2
6

6 4 3 1 7 4 4 6 6 9

3 4

2、 (本小题满分 8 分)某中学有高一学生 1200 人,高二学生 800 人参加环保知识竞赛,现 用分层抽样的方法从中抽取 200 名学生, 对其成绩进行统计分析, 得到如下图所示的频率分 布直方图. (1) 求从该校高一、高二学生中各抽取的人数;

(2) 根据频率分布直方图,估计该校这 2000 名学生中竞赛成绩在 60 分(含 60 分)以上
频率

的人数.

0.03
0.025 0.02

组距

0.015
0.01

0.005

3、 (本小题满分 8 分)

O

40 50 60 70 80 90 100 成绩

一批食品,每袋的标准重量是 50 g ,为了了解这批食品的实际重量情况,从中 随机抽取 10 袋食品,称出各袋的重量(单位: g ) ,并得到其茎叶图(如图) . (1)求这 10 袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数; (2)若某袋食品的实际重量小于或等于 47 g ,则视为不合格产品,试估计这批 食品重量的合格率.
4 5 5 6 6 9 0 0 0 1 1 2

(第 3 题图)

4、 (本小题满分 8 分) 某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况, 抽样调查了 100 位职员的早餐日平均费用 (单 位:元) ,得到如图所示的频率分布直方图,图中标注 a 的数字模糊不清。 (1)试根据频率分布直方图求 a 的值,并估计该公司职员早餐日平均费用的众数; (2)已知该公司有 1000 名职员,试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于 8 元?
频率 组距 a 0.10 0.05

0

2

4

6

8

10

12 早餐日平均费用(元)

(第17题图)

7

5、 某市为了节约生活用水, 计划在本市试行居民生活用

分组

频数 10 a 30 20 10 10 100

频率 0.1 0.2 0.3 b 0.1 0.1 1

水定额管理.为了较合理地确定居民日常用水量的标准, [0,1) 有关部门抽样调查了 100 位居民.右表是这 100 位居民月 均用水量(单位:吨)的频率分布表,根据右表解答下 列问题: (1)求右表中 a 和 b 的值; (2) 请将下面的频率分布直方图补充完整, 并根据直方 图估计该市每位居民月均用水量的众数. [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) 合计

6、 (本小题满分 8 分) 某班有学生 50 人,期中男同学 300 人,用分层抽样的方法从该班抽取 5 人去参加某社区服 务活动. (1)求从该班男、女同学中各抽取的人数; (2)从抽取的 5 名同学中任选 2 名谈此活动的感受,求选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学 的概率. 频率/组距 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6
月均用水量

8


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